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Körper mit 4 Elementen

Universität / Fachhochschule

Tags: Lineare Algebra

anonymous

18:53 Uhr, 06.11.2004

Hallo,

wie mach ich denn das da...???

Man finde einen Körper mit 4 Elementen, d.h. sei K:= {0,1,a,b}.

Man definiere +: KxK-->K und *: KxK-->K (durch Tabellen) so,

dass (K,+,*) ein Körper ist.

Dachte, ein tabellenförmiger Körper geht nur, wenn die Anzahl der Elemente eine Primzahl ist??? Aber 4 Elemente?

Hilfe!? Bitte!

anonymous

19:09 Uhr, 06.11.2004

Hi!

Nee, die Anzahl der Elemente eines Körpers muss nicht unbedingt prim sein. Was du meinst, sind Restkörper (Z2, Z3, Z31, etc. etc.)! Aber das sind ja nicht die einzigen! Du kannst dir deinen Körper mit 4 Elemente wie folgt bauen:

Du nimmst 0 als neutrales Element der Addition und 1 als neutrales Element der Multiplikation. a und b musst du nun so verknüpfen, dass sie den Körperaxiomen genügen. Hört sich schwieriger an als es ist. Kannst es ja mal probieren und wenn du gar nicht weiterkommst, dann fragst du nochmal nach, okay?

Lieben Gruß

Christina

anke

19:35 Uhr, 06.11.2004

Hallo Christina,

erstmal vielen vielen Dank für deine Hilfe!!!

Ich merk bei jeder Aufgabe wieder, dass ich den Sprung von der Schul- zur Hochschulmathematik noch nicht gepackt hab und dann hauts mir bei manchen Fragen die Fragezeichen raus. ;-))

Ich weiß zwar meistens was ich machen soll, aber weniger komm ich dann drauf WIE...

Körper-Axiome sind klar:

Abelsche Gruppe für Addition und Multiplikation mit neutralem und inversen Element und Distributivgesetz.

Aber wie beweise ich das???

Kannst du mir das mal für diese Aufgabe zeigen, dass ich das dann nachvollziehen und hoffentlich dann auch verstehen kann warum das so gemacht werden muss?

Vielen lieben Dank nochmal!

Anke

anonymous

20:21 Uhr, 06.11.2004

Gern geschehen...
Bruauchst du jetzt im Grunde nur die Tabellen?

Addition:

\begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} + & 0 \end{matrix} & 1 \end{matrix} & a \end{matrix} & b \end{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} 0 & 0 \end{matrix} & 1 \end{matrix} & a \end{matrix} & b \end{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} 1 & 1 \end{matrix} & 0 \end{matrix} & b \end{matrix} & a \end{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} a & a \end{matrix} & b \end{matrix} & 0 \end{matrix} & 1 \end{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} b & b \end{matrix} & a \end{matrix} & 1 \end{matrix} & 0 \end{matrix}

Mist, n bisschen verschoben. Ich hoffe, du kannst es trotzdem entziffern...

Multiplikation:

\begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} * & 0 \end{matrix} & 1 \end{matrix} & a \end{matrix} & b \end{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} 0 & 0 \end{matrix} & 0 \end{matrix} & 0 \end{matrix} & 0 \end{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix} & 1 \end{matrix} & a \end{matrix} & b \end{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} a & 0 \end{matrix} & a \end{matrix} & b \end{matrix} & 1 \end{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} b & 0 \end{matrix} & b \end{matrix} & 1 \end{matrix} & b \end{matrix}

Ganz unten rechts muss ein a statt einem b sein. Also b*b=a
Ich hoffe, das stimmt so alles, müsste aber...

Und jetzt brauchst du den Körper eben nur noch auf die Körperaxiome hin zu prüfen...

Viel Erfolg!
Ansonsten: Nochmal fragen ;)

Gruß
Christina

anke

21:00 Uhr, 06.11.2004

Muss ich da jetzt wirklich alle 32 Fälle mit Kommutativgesetz, assoziativgesetz und distributiv gesetz durchtesten??? Ist das nicht ein bisschen viel Aufwand???

Vielen Dank nochmal für deine Hilfe!!!

Anke

anonymous

21:05 Uhr, 06.11.2004

Ich denke es reicht, wenn du es für alle Körperaxiome allgemein zeigst. Also

"f.a. x aus ... : ..."

etc.

Würdest das ja auch nicht für einen Körper mit 101 Elementen oder so für jeden Fall durchgehen sondern nur allgemein beweisen...

Gruß

Christina

anke

21:19 Uhr, 06.11.2004

Da komm ich jetzt nicht ganz mit. ;-)

Wie beweise ich das allgemein?

Es gibt doch 3 Axiome:

(1) (K,+) ist Abelsche Gruppe

(neutrales Element: 0, inverses Element zu a: -a)

(2) (K\{0},*) ist Abelsche Gruppe

(neutrales Element: 1, inverses Element zu a: -a)

(3) a(b+c)=ab+ac für alle a, b, c in K (distributivgesetz)

Wie beziehe ich die allgemein auf meinen 4 elementigen Körper?

Oder steh ich jetzt auf der Leitung???

anonymous

21:27 Uhr, 06.11.2004

Naja, jeder macht es anders. Ich würde beweisen, dass (K,+,0) und (K,*,1) Gruppen sind. Also im Grunde, dass für beides gilt:

1. Die Verknüpfung ist assoziativ

2. Existenz des neutralen Elements

3. Jedes Element ist invertierbar

Ist irgendwie schwer zu beschreiben, wie ich das meine mit "allgemein".

Im Grunde eben, dass für alle Elemente obiges gilt.

Gruß

Christina

anke

21:51 Uhr, 06.11.2004

Ich glaub, da bin ich zu doof dazu... ;-))

Das wird noch ne lange Nacht!

Vielen Dank!

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Karla

09:54 Uhr, 16.11.2005

mist kann hier einer nochmal die tabellen darstellen. sie werden bei mir irgendwie nicht angezeigt und ich bräuchte sie ganz dringend.

danke!!

Karla

13:51 Uhr, 16.11.2005

ok die tabellen habe ich, aber um zu überrpüfen, dass es ein körper ist, muss man ja auch das disrtibutivgesetz überprüfen. und das gilt irendwie nicht für manche fälle.... oder wie funktioniert das mit körpern und distributivgesetzen?

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