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Körper prüfen

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Körper

Tags: Isomorphismus, Körper

MathsTom aktiv_icon

06:53 Uhr, 05.11.2013

Guten Morgen,
ich bin seit gestern am Verzweifeln beim Lösen einer Aufgabe. Ich werde sie gleich mal hier reinstellen und euch dann bitten, mir zu erklären, was genau ich machen soll.

Also es geht (noch) um das WAS und nicht um das WIE.

Also:
Ich soll beweisen, dass

ℝ [t] / ℝ [t] \cdot (t^{2} + 1)

ein Körper ist. Und das ganze soll geschehen, indem ich zeige, dass die Auswertungsabbildung

ℝ [t] \to ℂ, p \mapsto p (i)

an der Stelle

i = (0,1) \in ℂ = ℝ^{2}

einen Isomorphismus

ℝ [t] / ℝ [t] \cdot (t^{2} + 1) \to ℂ, [p] \mapsto p (i)

von Ringen induziert.

[p] = p + ℝ [t] \cdot (t^{2} + 1)

ist die Nebenklasse von

p \in ℝ [t] / ℝ [t] \cdot (t^{2} + 1)

.

Gut, ich soll also zeigen, dass etwas ein Körper ist. Aber.. wie? Muss ich hier nicht der Reihe nach die Axiome durchgehen?
Es wäre großartig, wenn mir einer schrittweise erklären kann, was ich zeigen muss.

Lieben Dank,
Tom

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Raummessung

Sina86

07:43 Uhr, 05.11.2013

Hallo,

du sollst zeigen, dass diese Abbildung ein Isomorphismus ist. Also zunächst einmal, dass es ein Ringhomomorphismus ist (verträglich mit der Ring-Addition und -Multiplikation) und dann, dass sie bijektiv ist.

Hast du einen Ringisomorphismus

f : R \to S

, dann hat

R

dieselbe algebraische Struktur wie

S

. Stellt sich nun heraus, dass

S

nicht nur ein Ring, sondern sogar ein Körper ist (ein Körper ist ein Ring, der noch stärkere Eigenschaften hat), dann ist

R

automatisch auch ein Körper. Und bei dir ist

S = ℂ

ein Körper.

Beste Grüße
Sina

MathsTom aktiv_icon

18:23 Uhr, 05.11.2013

Danke! Das leuchtet ein. Hab mir auch schon soetwas gedacht, aber es wurde nie in der Vorlesung erwähnt.

Also so wie ich es sehe, muss folgendes gemacht werden:

1. Addition und Multiplikation Definieren:

[p] + [q] = [p + q]

und

[p] \cdot [q] = [p \cdot q]

.

2. Wohldefiniertheit prüfen

3. Zeigen, dass die Struktur ein Ring ist.

4. Zeigen dass die Abbildung ein Isomorphismus ist.

Ist 2. notwendig?

Wieso genügt es, sich die Stelle

i

anzugucken?
Wenn ich nun das alles bis 4. gezeigt habe, dann:

φ : ℝ [t] / (ℝ [t] \cdot (t^{2} + 1) \to ℂ, [p] \mapsto p (i)

soll zunächst Ringhomomorphismus sein.

Es ist dann

φ ([p] + [q]) = φ ([p + q]) = (p + q) (i)

p

und

q

sind Polynome mit reellen Koeffizienten. Für solche haben wir definiert, dass

(p + q) (x) = p (x) + q (x)

gilt.
Also folgt weiter

p (i) + q (i) = φ ([p]) + φ ([q])

.
Multiplikation dann analog, oder?

Die Wohldefiniertheit macht mir noch Probleme. Was ich zeigen möchte ist klar, aber wie...

Sina86

20:21 Uhr, 05.11.2013

Hallo,

ich behaupte einfach mal, dass die Punkte 1 bis 3 überflüssig sind. Das sollte alles schon gezeigt worden sein. Wenn ich einen Faktorring

S = R / α

betrachte, wobei

α \subseteq R

ein Ideal ist, dann ist klar, dass

S

mit den von dir definierten Verknüpfungen einen Ring bilden und die Verknüpfungen auch wohldefiniert sind. Das ist die normale Definition für einen Faktorring und sollte Teil der VL/Übung gewesen sein.

Genau, wie du es geschrieben hast, weißt man nach, dass

φ

ein Homomorphismus ist. Allerdings musst du nachweisen, dass

φ

wohldefiniert ist (das muss man immer machen, wenn man eine Funktion hat, die mit Äquivalenzklassen arbeitet). D.h. du musst überprüfen, ob für

[p] = [q]

gilt, dass

φ ([p]) = p (i) = φ ([q]) = q (i)

. Das ist ja nicht wirklich offensichtlich. Und hier wird es auch wichtig, dass man die Polynome bei

i

auswertet, denn

i

ist eine Nullstelle von

t^{2} + 1

. Mehr sage ich dazu erst einmal nicht...

Und dann natürlich noch die Bijektivität...

Beste Grüße
Sina

MathsTom aktiv_icon

22:44 Uhr, 05.11.2013

Könnten wie 2. zur Sicherheit bitte noch einmal machen? Ich wüsste nämlich nicht wie das geht. Ich tue mich immer schwer damit, wohldefiniertheit zu zeigen. Also auch damit

z . Z .,

dass

φ

wohldefiniert ist.

Wieso dass mit

i

wichtig ist, sehe ich nicht.

Zu

3 . :

Wenn ich einen Isomorphismus von irgendeiner algebraischen Struktur zu einem Körper (hier

ℂ)

finde, hat diese beliebige Struktur dann auch die Körpereigenschaft? Dann müsste man ja wirklich nicht zeigen, dass das

ℝ [t] / . .

. ein Ring ist.

Liebe Grüße zurück!

Sina86

00:19 Uhr, 06.11.2013

Hallo,

also, es sollte bereits gezeigt sein, dass

a + α

für ein Ideal

α \subseteq R

eines Ringes

R

eine Äquivalenzklasse ist. Nehmen wir nun zwei Vertreter dieser Äquivalenzklasse

[a] = [a ʹ]

und einer weiteren Äquivalenzklasse

[b] = [b ʹ]

, dann kann man die Wohldefiniertheit einfach nachweisen:

[a + b] = [a] + [b] = [a ʹ] + [b] + [a ʹ] + [b ʹ] = [a ʹ + b ʹ]

Bei der Multiplikation geht es analog.

Warum das

i

wichtig ist, ist auch nicht offensichtlich, wirst du aber an einer Schlüsselstelle bemerken.

Wenn du einen Ringisomorphismus

φ : R \to S

hast, dann besitzen

R

und

S

dieselbe algebraische Strukturen. Ist

S

ein Ring mit Eins, dann ist auch

R

ein Ring mit Eins. Ist

S

ein kommutativer Ring, so auch

R

. Ist

S

ein Körper, so ist auch

R

ein Körper etc. Das gilt natürlich auch umgekehrt.

Allerdings ist das Problem, dass

φ

ein RINGisomorphismus ist, d.h. eine bijektive Funktion zwischen zwei Ringen (per Definition). Angenommen

R

wäre kein Ring, dann wäre

φ

auch kein Ringisomorphismus (dann macht die ganze Sache auch gar keinen Sinn, da es keine Ringverknüpfungen gibt, mit denen

φ

komform sein könnte) und die obige Aussage über gleiche algebraische Strukturen trifft nicht zu.

Du musst also auf jeden Fall nachweisen, dass

R

und

S

Ringe sind. Allerdings sollte das in den meisten Fällen bekannt sein...

Gruß
Sina

MathsTom aktiv_icon

06:22 Uhr, 06.11.2013

Naja, bisher war nur klar, dass

ℝ [t]

ein Ring ist. Wir wissen aber bereits, dass die Äquivalezklasse gerade die Nebenklasse ist.
Macht das den Beweis, dass es ein Ring ist, einfacher?

Das

ℂ

ein Ring ist, ist klar. Auch dass es ein Körper ist.

Wie zeige ich denn nun, dass

φ

wohldefiniert ist?
Sei

[p] = [p']

.
Dann

φ ([p]) = φ ([p']) \Rightarrow p (i) = p' (i)

? Wirklich so einfach?

Eine Frage: Was genau heißt eigentlich dieses

ℝ [t] / ℝ [t] (t^{2} + 1)

? Dass ich zu einem Polynom aus

ℝ [t]

genau ein weiteres polynom

q \cdot (t^{2} + 1)

addiere, wobei

q \in ℝ [t]

Sina86

07:58 Uhr, 06.11.2013

Also, mich wundert das ja schon.

(t^{2} + 1) \cdot ℝ [t]

ist ein Ideal und daher sollte klar sein, dass der entsprechende Faktorring ein Ring ist. Aber wenn das nicht klar ist, musst du das natürlich zeigen und dafür die Ringaxiome nachweisen...

Ja, die Wohldefiniertheit zeigt man so. Zumindest ist es erst einmal nicht so einfach, denn zwei verschiedene Polynome nehmen normalerweise nicht an derselben Stelle denselben Wert an.

Also die Elemente von

ℝ [t] / (t^{2} + 1) ℝ [t]

sind von der Form

[p] := p + I := {p + (t^{2} + 1) q ∣ q \in ℝ [t]}

. Also, eigentlich wohl so, wie du es dir gedacht hast.

MathsTom aktiv_icon

21:08 Uhr, 06.11.2013

Eine Frage noch: Wenn ich

p, q \in ℝ [t]

habe, gilt dann

p \cdot (t^{2} + 1) \cdot q = p \cdot q \cdot (t^{2} + 1)

? Und wenn ja, wieso?

1.

- 4

. habe ich durch.
Wie zeigt man nun, dass

φ

wirklich wohldefiniert ist?
Was hat es jetzt genau zu bedeuten, dass an der Stelle

i

ausgewertet wird?
Und wie geht man an den Bijektiv Beweis ran? Man muss ja ein Urbild angeben.

Sina86

00:16 Uhr, 07.11.2013

Hallo,

dass die Polynommultiplikation kommutativ ist, ergibt sich aus der Definition derselben. Letztendlich liegt es daran, dass sowohl die Addition als auch die Multiplikation in

ℝ

kommutativ ist. Ich will das hier aber nicht vorrechnen.

Wenn

[p] = [q]

, dann existiert ein

r \in ℝ [t]

, so dass

p = q + (t^{2} + 1) r

(nach Definition der Äquivalenzklassen). Einsetzen, schauen was passiert, dann siehst du auch, was das mit dem

i

auf sich hat (ansonsten vergiss das erst einmal). Das Urbild musst du natürlich konstruieren um die Surjektivität zu beweisen. Dafür ist etwas Hirnschmalz und ausprobiererei vonnöten. Hier gilt immer: Think simple! Welches Polynom nimmt an der Stelle

i

den Wert

z \in ℂ

an?

Gruß
Sina

MathsTom aktiv_icon

08:27 Uhr, 07.11.2013

Du machst aber auch ein ziemlich großes Geheimnis aus dem

i,

haha :-D)

Okay, die Wohldefiniertheit bekomme ich hin.
Und wie geht das mit der Injektivität? Kann man dazu zeigen, dass der Kern trivial ist, also nur die Klasse vom Nullpolynom enthält?

Kann man als Urbild einfach irgendein Polynom aus

ℂ [t]

wählen? Oder wie sieht das Urbild aus?

EDIT: Urbild gefunden, juhu :-) Fehlt nur noch Injektivität.

Sina86

18:39 Uhr, 08.11.2013

Hallo,

ich hoffe, du hast das Urbild nicht in

ℂ [t]

gefunden ;-)
Die Trivialität des Kerns reicht aus.

Grüße
Sina

MathsTom aktiv_icon

19:43 Uhr, 08.11.2013

Nene, einfach ein Polynom 1. Grades aus

ℝ [t]

;-)
Danke!

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