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Körper und Charakteristik
Universität / Fachhochschule
Tags: Körper, natürliche Zahlen, Primzahl
 
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Hallo ich habe leider keine Idee wie ich hier vorgehen muss. Sei ein Körper. Für eine natürliche Zahl definiert man ein Element durch die Vorschrift: Mal). Man sagt, dass endliche Charakteristik besitzt, wenn es ein in den natürlichen zahlen gibt, so dass ist. In diesem Fall heißt die natürliche Zahl char(K):= in nat.Z.| die Charakteristik von K. Sonst ist die Charakteristik von per Definition gleich Null. Zeigen sie, dass wenn ein Körper positive Charakteristik hat, dann ist sie eine Primzahl. |
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Hallo, welche Voraussetzungen hat ihr denn? Wisst ihr bspw. schon, welcher Art die Ideale in sind? Dann könntest du den Ringhomomorphismus zwischen den beiden Ringen betrachten. Sein Kern muss als Ideal in von der Art mit sein. Damit ist die Sache fertig. Solltet ihr noch nichts über Ringe wissen, dann brauchen wir einen anderen Weg. Deshalb müssen wir wissen, was ihr schon kennt. Mfg Michael |
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Hallo über Ringe haben wir noch nicht gesprochen. Nur über Körper. Und auch nicht über Ideale in Z. |
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Hallo, nun gut. Dann low level: Nimm an, die kleinste Zahl mit sei KEINE Primzahl. Dann müsste es mit geben. Betrachte dann und folgere daraus einen Widerspruch. Mfg Michael |
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Wenn ergibt dann muss ja a oder auch Null ergeben bei m=ab. oder nicht ? |
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Hallo, ja, aber warum? Mfg Michael |
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Wenn dann ergibt das eingesetzt also muss mindestens einer der Varibeln Null ergeben. Das würde bedeuten wenn zb ist dann folgt . |
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Hallo, hm, alles so beinahe richtig. Also: wäre (die Einsen können wir wohl in dieser Notation fortlassen), so müsste entweder oder gelten, weil als Körper insbesondere nullteilerfrei ist! Da aber gilt, stünde das im Widerspruch zur Wahl von als KLEINSTES Element dieser Art. Mfg Michael |
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Das bedeutet das a und größer 1 sein müssen und da es sich um natürliche Zahlen handelt wäre die nächstgrößere eine 2. Also muss mindestens gelten. liege ich damit richtig ?. |
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Hallo, ok, nochmal für Anfänger: Definiere für den Term rekursiv gemäß , . (Eigentlich ist eure Definition formal nicht ok. Ich vermute, sie sollte vereinfachen. Statt schreiben wir nun und können davon ausgehen, dass alle natürlichen Zahlen Teil des Körpers sind.) Beweise: Ist K, so ist . Beweis: Sei also und . Annahme: ist nicht prim. Dann muss es Zahlen geben mit . Außerdem muss gelten: . ( muss als echtes Produkt darstellbar sein, sonst ist es ja doch eine Primzahl.) Wegen UND folgt . Ebenso . Wegen (in ) und der Teilefreiheit des Körpers muss also schon oder gelten. führt aber dazu, dass und . Damit wäre kleiner als da Minimum , wasa im Widerspruch zur Wahl von als eben genau das Minimum von steht. Ebenso führt zum Widerspruch. Also kann nicht als solches Produkt dargestellt werden, d.h. muss prim sein. Mfg Michael |
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Ok jetzt habe ich es verstanden danke :-) |
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