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Körper und Positivbereich

Universität / Fachhochschule

Körper

Tags: Körper

wild21 aktiv_icon

16:02 Uhr, 14.05.2012

Betrachte die Menge

K := {a + b \sqrt{2} | a, b \in ℚ} \subseteq ℝ

versehen mit dar gewöhnlichen Addition uns Multiplikation reeler Zahlen. Zeigen Sie, dass (K,+,•) ein Körper ist.
Zeigen Dir weiter, dass

P_{1} := {a + b \sqrt{2} | a, b \in ℚ, a + b \sqrt{2} > 0}

P_{2} := {a + b \sqrt{2} | a, b \in ℚ, a - b \sqrt{2} < 0}

Zwei verschidene Positivbereiche von

K

sind.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Raummessung

michaL aktiv_icon

17:06 Uhr, 14.05.2012

Hallo,

zähle doch bitte die Axiome auf, deren Überprüfung du vornehmen musst, um die Existenz eines Körpers nachweisen zu können.

Die Positivitätsbereiche machen wir dann später.

Mfg Michael

klauspeter aktiv_icon

11:09 Uhr, 17.05.2012

Hallo,

1) (K, +)

und

(K, \cdot)

müssen beide eine abelsche Gruppe sein:(D.h.) Assoziativität muss gelten, es muss ein neutrales Element sowie ein Inverses existieren und es muss zudem noch die Kommutativität gelten.

2)

Das wäre dann ein Ring (wenn ich mich recht entsinne) und wir müssen noch zusätzlich zeigen, dass die Distributivität gilt, damit das ganze der Definition eines Körpers entspricht. ( de.wikipedia.org/wiki/Körper_(Algebra)#Allgemeine_Definition )

Und wie wir dem Positivbereich auf den Leib rücken, weiss ich leider auch nicht :-) - würde mich über einen Tip freuen. Also die Definition kenne ich, aber wie zeige ich, dass die beiden unterschiedlich sind.

Danke und Grüße

klauspeter aktiv_icon

11:15 Uhr, 17.05.2012

Da ist ein kleiner Fehler in der Aufgabenstellung. Die "<" Relation ist im zweiten Positivbereich verdreht.

wild21 aktiv_icon

13:30 Uhr, 17.05.2012

Also, das mit dem Körper habe ich jetzt hinbekommen. Mit dem Positivbereich weiß ich noch nicht so recht was anzufangen... Oh richtig in

P_{2}

ist mir ein Fehler unterlaufen: es ist

a - b \sqrt{2} > 0!

Bisher habe ich hier nur so was stehen:

Aus

0 + (1) \sqrt{2} \in K

und

0 + 1 \sqrt{2} > 0 \in ℝ

\Rightarrow 0 + 1 \sqrt{2} \in P_{1}

und aus

0 + (- 1) \sqrt{2} \in K

folgt

0 + (- 1) \sqrt{2} \notin P_{1}

Aber

0 + (- 1) \sqrt{2} = - \sqrt{2} < 0 \in ℝ

und

0 - (- 1) \sqrt{2} = \sqrt{2} > 0 \in P_{2}

Also sind

P_{1}

und

P_{2}

verschiedene Positivbereiche.

Das sind doch jetzt nur Beispiele, bei denen es klappt. Reicht das um die Aufgabenstellung zu erfüllen?
Muss nich auch noch gezeigt werden, dass

P_{1}, P_{2}

Positivbereiche sind?

hagman aktiv_icon

13:37 Uhr, 17.05.2012

Allerdings ist die oben angegebene Axiomatik daneben:

(K, +)

muss eine abelsche Gruppe sein

(K \ {0}, \cdot)

muss eine abelsche Gruppe sein
Das Distributivgesetz muss gelten.
Die ersten beiden Bedingungen zusammen bedeuten keineswegs, dass

(K, +, \cdot)

ein Ring ist

klauspeter aktiv_icon

13:40 Uhr, 17.05.2012

Moin,

deswegen der Link zur Definition - man darf halt niemanden blind vertrauen :-)

Grüße

michaL aktiv_icon

13:46 Uhr, 17.05.2012

Hallo,

im Link steht aber nichts davon, dass ein Ring ausreicht. Eher sehe ich, dass ZUSÄTZLICH zu den Ringeigenschaften weitere Axiome gelten müssen.
Davon lasse man sich nicht täuschen. Letztlich läuft es immer auf den gleichen Satz an Axiomen hinaus.

Zum Positivitätsbereich: auch da sollte googlen helfen.

Mfg Michael

wild21 aktiv_icon

13:55 Uhr, 17.05.2012

Kannst du was zu meinem Positivbereich sagen? Weiß halt nicht so recht ob das richtig ist...

hagman aktiv_icon

18:25 Uhr, 17.05.2012

Ja, es reicht nicht nur aus, dass

P_{1}

und

P_{2}

verschieden sind. Es gehört wohl auch zur Aufgabenstellung, dass man zeigt, dass beide Positivbereiche sind.
zu zeigen ist demnach wohl jeweils

1) P + P \subset P,

2) P \cdot P \subset P

und

3) P \cup {0} \cup (- P) = K

(wobei die Vereinigung disjunkt ist)

wild21 aktiv_icon

19:15 Uhr, 17.05.2012

1)

und

2)

habe ich das folgende:

Seien

x_{1}, x_{2}, x_{3} \in K

. So ex

a_{1}, a_{2}, a_{3}, b_{1}, b_{2}, b_{3} \in ℚ

mit für alle

i \in {1,2,3} x_{i} = a_{i} + b_{i} \sqrt{2}

.

Nehme beliebige

x_{1}, x_{2} \in P_{1}

. So folgt

x_{1} + x_{2} = (a_{1} + b_{1} \sqrt{2}) + (a_{2} + b_{2} \sqrt{2}) \Rightarrow a_{1} + b_{1} \sqrt{2} > 0

und

a_{2} + b_{2} \sqrt{2} > 0

\Rightarrow (a_{1} + b_{1} \sqrt{2}) \cdot (a_{2} + b_{2} \sqrt{2}) < 0 \in P_{1}

Nehme beliebige

x_{1}, x_{2} \in P_{1}

. So folgt

x_{1} \cdot x_{2} = (a_{1} + b_{1} \sqrt{2}) \cdot (a_{2} + b_{2} \sqrt{2}) \Rightarrow a_{1} + b_{1} \sqrt{2} > 0

und

a_{2} + b_{2} \sqrt{2} > 0

\Rightarrow (a_{1} + b_{1} \sqrt{2}) \cdot (a_{2} + b_{2} \sqrt{2} < 0) \in P_{1}

Nehme beliebige

x_{1}, x_{2} \in P_{2}

. So folgt

x_{1} + x_{2} = (a_{1} - b_{1} \sqrt{2}) + (a_{2} - b_{2} \sqrt{2}) \Rightarrow a_{1} - b_{1} \sqrt{2} > 0

und

a_{2} - b_{2} \sqrt{2} > 0

\Rightarrow (a_{1} - b_{1} \sqrt{2}) \cdot (a_{2} - b_{2} \sqrt{2}) < 0 \in P_{2}

Nehme beliebige

x_{1}, x_{2} \in P_{2}

. So folgt

x_{1} \cdot x_{2} = (a_{1} - b_{1} \sqrt{2}) \cdot (a_{2} - b_{2} \sqrt{2}) \Rightarrow a_{1} - b_{1} \sqrt{2} > 0

und

a_{2} - b_{2} \sqrt{2} > 0

\Rightarrow (a_{1} - b_{1} \sqrt{2}) \cdot (a_{2} - b_{2} \sqrt{2} < 0) \in P_{2}

Wie das mit

3)

aussieht weiß ich nicht so recht:

Sei

x_{i}

in K\

{

0}. Entweder ist

x < 0,

so ist

x \in P

oder ist

x < 0

so ist

- x \in P

.

für

x > 0 :

fertig (habe ich doch gerade oben gezeigt, oder?)
für

x < 0 :

Dann ist

x

also negativ, also

- x

. wenden wir nun

- (- x)

an, sofolgt

x,

welches positiv ist, folglich ist

- (- x) \in P

.

Geht das so?

hagman aktiv_icon

00:24 Uhr, 18.05.2012

Ds ist irgendwie etwas wirr.
Ich versuche mal aufzudröseln:
Wenn

x_{1}, x_{2} \in P_{1},

dann gilt unmittelbar

x_{1} + x_{2} > 0

und

x_{1} x_{2} > 0

wegen

x_{1} > 0, x_{2} > 0,

da dies ja auch in

ℝ

gilt.
Ist

x \in K

beliebig, so gilt ja in

ℝ

entweder

x = 0

oder

x > 0

(also

x \in P_{1})

oder

x < 0

(also

- x > 0, d . h

- x \in P_{1})

Jetzt habe ich aber meine Zweifel bezüglich

P_{2} = {a + b \sqrt{2} | a - b \sqrt{2} < 0}

Denn es ist beispielsweise

\sqrt{2} \in P_{2}

wegen

0 - 1 \cdot \sqrt{2} < 0,

aber

2 = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}

ist nicht in

P_{2},

denn

2 - 0 \cdot \sqrt{2} = 2 > 0

und nicht

< 0

.
Hat sich da ein Fehler eingeschlichen?

wild21 aktiv_icon

01:34 Uhr, 18.05.2012

Da hat sich bei mir ein Fehler eingeschlichen, der zwischendurch korregiert wurde, aber leider nicht deutlich genug kenntlich gemacht wurde.
Also

P_{2} := {a + b \sqrt{2} | a, b \in ℚ, a - b \sqrt{2} > 0}

. An dieser Stelle hänge ich jetzt auch schon ein paar Std und weiß nicht so recht weiter. Für die Addition klappt es schon aber das für die Muliplikation aufzudrösenl funktioniert leider noch nicht.

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