Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Körperaxiome gilt (-a) = (-1a) = (-a1) ?

Körperaxiome gilt (-a) = (-1a) = (-a1) ?

Universität / Fachhochschule

Sonstiges

Tags: Sonstiges

tommy40629 aktiv_icon

15:42 Uhr, 25.11.2013

Hi,

Gilt im Körper: (-a)=(-1a)=(-a1)?

Ein Axiom ist, dass 1a=a1=a ist. Klar ist, dass 1(-a)=(-a)1=(-a) ist.

Ich habe schon gezeigt, dass a=(a) ist. Da das Inverse Element zu a, definiert ist als (-a) darf man hier nicht sagen, dass -a=(-a) ist.

Bleibt die Frage, wie schmuggelt man eine 1 in das (-a)?

Ich will das wissen, weil ich dann zeigen kann, dass:
(-a)=(-1a)=>(-1a)1=>(-1)(a1)=>(-1)(a)=>(-1)a

el holgazán aktiv_icon

17:13 Uhr, 25.11.2013

Was meinst du mit

a = (a)

bzw.

(- a) = - a

?
Worin siehst du den Unterschied zwischen

(a)

und

a

? (Nur damit die Notation klar ist).

Siehe auch deine andere Frage bezüglich

a = (a)

die ja schon beantwortet wurde. (Die kurze Antwort ist, dass du nichts zeigen musst, da

(- 1 a)

und

- 1 a

per Definition die selben Elemente sind.
Jedoch musst du für

- (1 a) = (- 1) a

etwas zeigen. In Worten: Ist das additive Inverse von

1 \cdot a

das selbe wie das Produkt aus (dem additiven Inversen von 1) und a?

tommy40629 aktiv_icon

18:29 Uhr, 25.11.2013

Es geht darum, aus dem Axiom 1a = a1 = a

Auf (-a) = (-1a) = (-a1 )zu schließen.

Ich könnte dann zeigen, dass gilt: (-a)=(-1)a durch diese Kette:

(-a)= (-1a)=>(-1a)1=>(-1)(a1)=>(-1)(a) =>(-1)a

Dazu muss ich aber in das (-a) eine 1 schmuggeln können.
Und dazu muss ich zeigen, dass (-a)=(-1a)=(-a1) ist.

tommy40629 aktiv_icon

18:44 Uhr, 25.11.2013

Ich habe jetzt das probiert:

z.z.: (-1)a = (-a)

(- 1) a = > (- a a^{- 1}) a = (- a) (a^{-^{1}} a) = (- a) 1 = > (- a)

Hatte mich schon gefreut, ABER:

Problem, ist woher weiß man, dass

(- 1) = (- a a^{- 1})

ist??

Klar gilt laut Axiom

a a^{- 1} = 1

aber man muss erst zeigen, dass

(- 1) = (- a a^{- 1})

ist. Dann stimmt der Beweis.

Also

z.z.:

(- 1) = (- a a^{- 1}) = (- a^{- 1} a)

Da bin ich aber gerade am überlegen

michaL aktiv_icon

18:52 Uhr, 25.11.2013

Hallo,

nein, du durchschaust einfach nicht, dass im Gegensatz zu

a = (a)

(wo es nichts zu beweisen gibt) bei

- a = - 1 \cdot a

sehr wohl eine Aussage dahintersteckt.

So wird hier gesagt, dass man in einem Körper (additive) Inverse durch Multiplikation mit -1, also dem (additiven) Inversen von 1 bekommt.

Wie in all den anderen (sinnvollen) Fragen zu diesem Thema (

0 a = 0

usw.) gilt:
* Anfängerstoff! (Warum hast du dich erst mit den schwierigen Dingen beschäftigt ud dabei immer behauptet, es sei im Studium nicht erklärt worden?)
* Verwende das Distributivgesetz!

Mfg Michael

tommy40629 aktiv_icon

19:48 Uhr, 25.11.2013

Also muss ich erst mal zeigen, dass

- 1 a = - a

ist?

Ok dann zeige ich das einmal für die extrem strenge Sichtweise, in der

- a = (- a)

ist und dann für die Sichtweise mit dem

- a

.
......

tommy40629 aktiv_icon

19:48 Uhr, 25.11.2013

Also muss ich erst mal zeigen, dass

- 1 a = - a

ist?

Ok dann zeige ich das einmal für die extrem strenge Sichtweise, in der

- a = (- a)

ist und dann für die Sichtweise mit dem

- a

.
......

tommy40629 aktiv_icon

19:51 Uhr, 25.11.2013

(Wegen Anfängerstoff, also das ist LA1 im 1. Semester, also Anfänger oder?)

Also muss ich erst mal zeigen, dass

- 1 a = - a

ist?

Ok dann zeige ich das einmal für die extrem strenge Sichtweise, in der

- a = (- a)

ist und dann für die Sichtweise mit dem

- a

.
......

EDIT:

Ich habe gerade mit jemanden gesprochen, der meiner Meinung ist, aber Mathematiker ist.
Wenn definiert worde, dass a + (-a) = (-a) + a = 0, dann gehören die Klammern immer um die -a. -a + a = 0 ist nicht definiert und darf nicht verwendet werden.

Und schon gar nicht gilt (-a) = -a

tommy40629 aktiv_icon

09:51 Uhr, 26.11.2013

ich habe mich wieder rangesetzt. Das ist Seite 25 im Script wir sind aktuell auf Seite 68.

z.z.:
-1a = -a oder streng wegen unserer Definition des Inversen als (-a): (-1)a = (-a)

z.z.: (-1)a = (-a)

zu jedem a ex. ö, s.d.: aö = öa = 1

(-a)=> 1(-a) => aö(-a)=> ()
hier mit Fehler:
(-a)=> (-a)+0 => (-a)+(a+(-a)) => (-a)+(a1+(-a1)) Es gilt NICHT (-a)=(-a1)=(-1a), weil das Inverse ist eindeutig mit (-a) def. es gilt: (-a)=1(-a)=(-a)1 es folgt NICHT (-a)+a(1+(-1)) => (-a)+a+a(-1) wegen (-a)+a=0 =>
=> 0+a(-1)=>a(-1)=>(-1)a

(-a)=> (-a)+0=>(-a)+(a+(-a)) =>(-a)+(a1+(-a)1) => (-a)+a(1+(-1)) => (-a)+a+a(-1)

(-1)a => (-1)1a => (-1)aöa =>(-1)a(öa)=> (-1)a1....
(-1)a => (-1)a+0 => (-1)a+(a+(-a)) es gilt: a+(-a)=(-a)+a => (-1)a+((-a)+a)=> rechte Distributivität (x+y)z=xz+yz
(-1)a+(-a+a)1 => (-1)a+((-a)1+a1) nun muss man zeigen, dass ((-a)1)=a(-1), was genau dem z.z. entspricht!!!

(-a)1 => (-a)(1) => (1)(-a)=> (1)((-a)+a+(-a))=>(-a)+a+(-a)=>(-a)+(-a)+a=>(-a)(1+1)+a=>????

tommy40629 aktiv_icon

12:51 Uhr, 26.11.2013

Die Antwort ist, man kann (-a) = (-1a) = (-a1) nicht zeigen.
Da es ein Verstoß gegen die Definition von (-a) ist.

michaL aktiv_icon

13:13 Uhr, 26.11.2013

Hallo,

möchte folgendes nicht unkommentiert lassen:
> Ich habe gerade mit jemanden gesprochen, der meiner Meinung ist, aber Mathematiker ist.
> Wenn definiert worde, dass a + (-a) = (-a) + a = 0, dann gehören die Klammern immer um die -a. -a + a = 0 ist nicht definiert
> und darf nicht verwendet werden.

Hier irrt dein jemand.
Klammern haben eine klare Bedeutung und Aufgabe. Natürlich darf ich Klammern im Term

(- a)

weglassen, wenn dieser Term nicht in weitere Terme eingebettet ist.
Wie ich früher oder in einem anderen deiner Fäden schon schrieb (ist nicht so einfach, das auseinanderzuhalten; deine Fragen sind in letzter Zeit extrem einfach und sehr ähnlich geworden), braucht man die Klammern, um die Reihenfolge von Operatoren festzulegen.

Der Operator "

-

" ist ein unärer Operator. Im Term

- a + a

muss man nun festlegen, was gemeint ist. Soll der unäre Operator "

-

" zuerst angewendet werden? Dann ist

- a + a = (- a) + a

.
Soll der binäre Operator "

+

" zuerst angewendet werden? Dann gilt

- a + a = - (a + a)

.

Nun definiert man "Vorfahrtsregeln". Etwa: Wenn keine Klammern da sind und keine anderen Regeln gelten, werden die Operatoren von links nach rechts angewendet.
Oder: "Punkt- vor Strichrechnung"
Damit wird es einem erlaubt, Klammern wegzulassen, was die Lesbarkeit vieler Terme erhöht.

Korrekt ist auch, dass ich den Klammern andere Beduetungen geben kann. So kann man etwa

(a)

im Kontext des Teilens mit Rest modulo

p

verstehen als Restklasse, d.h. es gilt (dann)

(a) = {\dots, a - p, a, a + p, a + 2 p, \dots}

.
Das ist aber im Falle eines Körpers und der (additiven) Inversen nicht gemeint. Eigentlich wird das vermutlich auch den meisten in deinem Semester so klar geworden sein.

> Die Antwort ist, man kann (-a) = (-1a) = (-a1) nicht zeigen.
> Da es ein Verstoß gegen die Definition von (-a) ist.

Hm, da du keine Definition von

(- a)

angibst, und ich im Zweifel bin, was DU damit meinst, will ich mir kein abschließendes Urteil darüber erlauben. Ich fürchte aber, dass du (wie so oft) falsch liegst.

Immerhin kann man folgende Regel in einem Körper

K

mit Addition "

+

" und Multiplikation "

\cdot

" (die aber auch gern fortgelassen wird und die Vorrang gegenüber Addition und "Subtraktion" hat) beweisen:

- a = (- 1) \cdot a

Beweis: Es gilt sicher

a + (- a) = 0

(Definition des Inversen).
Außerdem gilt

1 a = a

(1 ist (multiplikatives) neutrales Element).

Damit gilt auch

a + (- 1 \cdot a) = 1 \cdot a + (- 1) \cdot a \overset{(D)}{=} (1 + (- 1)) \cdot a = 0 a = 0

.

Damit habe ich die "beiden" Inversen

- a

und

(- 1) a

. Da das Inverse aber eindeutig ist (Körperaxiom), gilt Gleichheit:

- a = (- 1) \cdot a

Übrigens ist

- a = - (1 \cdot a)

schon trivial.

Mfg Michael

PS: Mir wäre statt der vielen Trivialfäden einer lieber, bei dem dann auch deine Fragen ausgeräumt werden.

1129051

1128776

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?