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Körperaxiome nachweisen

Universität / Fachhochschule

Tags: Axiom, Körper

kiarashayla84 aktiv_icon

13:38 Uhr, 11.10.2010

Hallo,

ich soll nachweisen, dass

K; +, \cdot

einen Körper definiert.

Def.
Wir betrachten K=

{

(a;b):a;b∈

ℝ

mit der Addition

(a_{1}, b_{1}) + (a_{2}, b_{2}) = (a_{1} + a_{2}, b_{1} + b_{2})

und der Multiplikation

(a_{1}, b_{1}) \cdot (a_{2}, b_{2}) = (a_{1} a_{2} - b_{1} b_{2}, a_{1} b_{2} + b_{1} a_{2})

.

zu beweisen:

K, +, \cdot

sind Körper

Jetzt müsste ich eig. meinen Beweis schreiben, allerdings liegt genau da mein Problem.

Ich weis:

a

,b∈

ℝ

so gilt auch

a

,b∈K

K

ist nicht leer (enthält 0 und

1)

aber wie beweise ich das jetzt richtig? bzw wie schreib ich das auf?
Bin erst im ersten Semester, heute erste Vorlesung gehabt und ich weis nicht genau, wie ich das richtig aufschreiben soll.
Ich hoffe es kann mir jem. einen Ansatz geben.

Liebe Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Raummessung

kalli

13:58 Uhr, 11.10.2010

Hallo,
das neutrale Element der Addition lautet

(0 | 0),

dass der Multiplikation lautet

(1 | 0)

.

Du musst nun zeigen, dass die Addition und Multiplikation abgeschlossen sind. Das Ergebnis also wieder in

K

liegt.

Beweis des neutralen Elements der Addition:

(a_{1} | b_{1}) + (0 | 0) = a_{1} + 0 | b_{1} + 0) = (a_{1} | b_{1})

Beweis des neutralen Elements der Multiplikation:

(a_{1} | b_{1}) \cdot (1 | 0) = (a_{1} \cdot 1 - b_{1} \cdot 0 | a_{1} \cdot 0 + b_{1} \cdot 1) = (a_{1} | b_{1})

.

Nun kannst Du noch die Kommutativität usw. beweisen.

Bei einem Körper muss es doch auch noch eine Umkehrung geben, oder? Dann müsstest Du noch die Division und die Subtraktion nachweisen)Musst bei der Divison aber auf die 0 aufpassen.
Schau einfach mal nach, was laut Definition alles gefordert ist und welche Axiome erfüllt sein müssen.

kiarashayla84 aktiv_icon

15:12 Uhr, 12.10.2010

Hallo,

das mit dem neutralen Element hab ich verstanden, auch wie ich das Beweisen muss.

Wenn ich jetzt die Kommutativität, Assoziativität und die Existenz des inversen Elementes nachweisen soll, die Axiome kenne ich aber kann ich da zB. für die Kommutativität folgendes schreiben:

Es ist

a + b = b + a

und

a \cdot b = b \cdot a

jetzt lautet ja meine Gleichung:

(a_{1}, b_{1}) + (a_{2} + b_{2}) = (a_{1} + a_{2}, b_{1} + b_{2})

Beweis Kommutativität:
Menge

K = {(a, b) : a, b \in ℝ}

a, b \in ℝ

so gilt auch

a, b \in K

mit

a \in K

ist auch

- a \in K

Jetzt ist die Frage, kann ich einfach :

(a_{1}, b_{1}) + (a_{2} + b_{2}) = (a_{1} + a_{2}, b_{1} + b_{1})

(a_{2} + b_{2}) + (a_{1}, b_{1}) = (a_{2} + a_{1}, b_{2} + b_{1})

schreiben? und ist es damit bewiesen?
also die Kommutativität besagt ja das

a + b = b + a

ist, aber was ist jetzt bei mir a und b? muss ich

a_{1}

mit

b_{1}

und

a_{2}

mit

b_{2}

tauschen? oder die Klammern wie ich es grade gemacht habe?
Irgendwie versteh ich das noch nicht so ganz und ich hoffe jem. kann mir das erklären?!

Dann bekomm ich das andere hoffentlich auch hin.

kalli

16:25 Uhr, 12.10.2010

Da die Einträge innerhalb

ℝ

liegen, gilt dann die Kommutativität der reellen Zahlen.

(a_{1}, b_{1}) + (a_{2} + b_{2}) = (a_{1} + a_{2}, b_{1} + b_{2}) =

(da hier die Kommutativität der reelen Zahlen gilt)

(a_{2} + a_{1}, b_{2} + b_{1}) = (a_{2}, b_{2}) + (a_{1}, b_{1})

kiarashayla84 aktiv_icon

18:51 Uhr, 13.10.2010

Hallo,

also hatte ich die Kommutativität der Add. richtig. Das ist doch schon mal schön.
Ich hab mich jetzt mal noch an den restlichen Axiomen versucht.

Beweis Kommutativität Multiplikation:

(a_{1}; b_{1}) \cdot (a_{2}; b_{2}) = (a_{1} a_{2} - b_{1} b_{2}; a_{1} b_{2} + b_{1} a_{2}) = (a_{2} a_{1} - b_{2} b_{1}; b_{2} a_{1} + a_{2} b_{1}) = (a_{2}; b_{2}) \cdot (a_{1}; b_{1})

Beweis Assoziativität der Addition:

(a_{1}; b_{1}) + ((a_{2}; b_{2}) + (a_{3}; b_{3})) = (a_{1}; b_{1}) + (a_{2} + a_{3}; b_{2} + b_{3}) = (a_{1} + a_{2}; b_{1} + b_{2}) + (a_{3}; b_{3})

= ((a_{1}; b_{1}) + (a_{2}; b_{2})) + (a_{3}; b_{3})

ich bitte um korrektur oder Hinweis bei Fehlern

=)

Beweis Assoziativität der Multiplikation:

(a_{1}; b_{1}) \cdot ((a_{2}; b_{2}) \cdot (a_{3}; b_{3})) = (a_{1}; b_{1}) \cdot (a_{2} a_{3} - b_{2} b_{3}; a_{2} b_{3} + b_{2} a_{3}) = (a_{1} a_{2} - b_{1} b_{2}; a_{1} b_{1} + b_{1} a_{2}) \cdot (a_{3}; b_{3})

= ((a_{1}; b_{1}) \cdot (a_{2}; b_{2})) \cdot (a_{3}; b_{3})

ich bitte um korrektur oder Hinweis bei Fehlern

=)

Beweis des inversen Elements der Addition:

(a_{1}; b_{1}) + (a_{2}; b_{2}) = (a_{1} + a_{2}; b_{1} + b_{2})

(a_{1}; b_{1}) + (- a_{2}; - b_{2}) = (0; 0)

Beweis des inversen Elements der Multiplikation:

(a_{1}; b_{1}) \cdot (a_{2}; b_{2}) = (a_{1} a_{2} - b_{1} b_{2}; a_{1} b_{2} + b_{1} a_{2})

(a_{1}; b_{1}) \cdot (\frac{a_{1}}{a_{1}^{2} + b_{1}^{2}}; - (- \frac{b_{2}}{a_{2}^{2} + b_{2}^{2}}) = 1

auch hier bitte ich um Hinweise auf Fehler, grade bei dem Beweis des inversen Elements der Multi. bin ich mir nicht sicher, ob das so stimmt. Ich glaub das ist falsch, aber ich versuch mich seit 2 Tagen an der Aufgabe...währe schön, wenn ich die jetzt endlich fertig hab und damit bewiesen hab, dass "K" "+" und "*" Körper definieren. Oder hab ich was vergessen?

danke schon mal

=)

hagman aktiv_icon

10:09 Uhr, 14.10.2010

Bei Assoziativität der Multiplikation ist es etwas kühn von dir, einfach

(a_{1}; b_{1}) \cdot (a_{2} a_{3} - b_{2} b_{3}; a_{2} b_{3} + b_{2} a_{3}) = (a_{1} a_{2} - b_{1} b_{2}; a_{1} b_{2} + b_{1} a_{2}) \cdot (a_{3}; b_{3})

zu schreiben. Dummerweise musst du beide Seiten ausrechnen, um zu sehen, ob sie gleich sind.

Das Inverse der Multiplikation hast du richtig angegeben bis auf ein paar überzählige Indizes und ein möglicherweise vertipptes Vorzeichen:

(a; b) \cdot (\frac{a}{a^{2} + b^{2}}; - \frac{b}{a^{2} + b^{2}}) = (1; 0),

aber du solltest noch übetlegen, ob der als Inverses hingeschriebene Ausdruck auch immer einen Sinn ergibt. Mach dir klar, dass der einzige Fall, in dem der Ausdruck keinen Sinn ergibt, derjenige ist, für den du kein Inverses zu finden brauchst :-)

kiarashayla84 aktiv_icon

11:58 Uhr, 14.10.2010

Hallo

ich versteh nicht, wie du es meinst, dass ich es für beide Seiten ausrechnen muss?!
Ich habe doch beide Seiten angegeben,
Zitat:
Bei Assoziativität der Multiplikation ist es etwas kühn von dir, einfach
(a_1;b_1)⋅(a_2a_3-b_2b_3;a_2b_3+b_2a_3)=(a_1a_2-b_1b_2;a_1b_2+b_1a_2)⋅(a_3;b_3)
zu schreiben

meine Rechnung geht doch weiter?!(siehe meine Antwort)

Beweis Assoziativität der Addition:

(a_{1}; b_{1}) + ((a_{2}; b_{2}) + (a_{3}; b_{3})) = (a_{1}; b_{1}) + (a_{2} + a_{3}; b_{2} + b_{3}) = (a_{1} + a_{2}; b_{1} + b_{2}) + (a_{3}; b_{3})

= ((a_{1}; b_{1}) + (a_{2}; b_{2})) + (a_{3}; b_{3})

ich bitte um korrektur oder Hinweis bei Fehlern

=)

Damit sind doch beide Seiten bewiesen, oder sehe ich das falsch? aber hab doch damit allg. stehen:

a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c

ansonsten weis ich jetzt leider nicht genau was du meinst

= (

hagman aktiv_icon

14:22 Uhr, 14.10.2010

Nehmen wir an, es wäre stattdessen

(a; b) \cdot (c; d) = (a^{2} b + c; d^{2} + b)

definiert.
Dann ist das folgende kein Beweis der Assoziativität dieser Verknüpfung:

(a_{1}; b_{1}) \cdot ((a_{2}; b_{2}) \cdot (a_{3}; b_{3}))

= (a_{1}; b_{1}) \cdot (a_{2}^{2} b_{2} + a_{3}; b_{3}^{2} + b_{2})

= (a_{1}^{2} b_{1} + a_{2}; b_{2}^{2} + b_{1}) \cdot (a_{3}; b_{3})

= ((a_{1}; b_{1}) \cdot ((a_{2}; b_{2})) \cdot (a_{3}; b_{3})

Eine entscheidende Rechnung fehlt hier nämlich

EDIT: Bei Lichte betrachtet sähe ich auch für die Addition lieber

(a_{1}; b_{1}) + ((a_{2}; b_{2}) + (a_{3}; b_{3}))

= (a_{1}; b_{1}) + (a_{2} + a_{3}; b_{2} + b_{3})

= (a_{1} + (a_{2} + a_{3}); b_{1} + (b_{2} + b_{3}))

= ((a_{1} + a_{2}) + a_{3}; (b_{1} + b_{2}) + b_{3})

= (a_{1} + a_{2}; b_{1} + b_{2}) + (a_{3}; b_{3})

= ((a_{1}; b_{1}) + (a_{2}; b_{2})) + (a_{3}; b_{3})

Die Gleichheit in der Mite gilt wegen der Assoziaztivität von

+

für reelle Zahlen, die anderen nach Definition von

+

auf

K

kiarashayla84 aktiv_icon

14:37 Uhr, 14.10.2010

Zitat:
Nehmen wir an, es wäre stattdessen

(a; b) \cdot (c; d) = (a^{2} b + c; d^{2} + b)

definiert.

Wieso denn

^2

?
Also irgendwie komm ich nicht drauf oO ach vllt sollte ich erstmal ne

h

Pause machen!

hagman aktiv_icon

14:49 Uhr, 14.10.2010

Meine "Multiplikation" war nur ein Beispiel für eine Verknüpfung aufs Geratewohl.
(Es wäre schon sehr unwahrscheinlich, dass die trotzdem assoziativ sein sollte)
Und in meinem "Beweis" sind natürlich das erste und das dritte Gleichheitszeichen durch eben diese Definition begründet, während für das mittlere eine Begründung fehlt.

Bei deiner Originalrechnung (mit der "richtigen" ;ultiplikation) ist die mittlere Gleichheit zwar sachlich richtig (schlißlich ist

K

ja wirklich ein Körper), aber eben nicht begründet.

kiarashayla84 aktiv_icon

17:54 Uhr, 14.10.2010

Ok das sehe ich ein, ich habe mich jetzt mal dran versucht aber irgendwie glaube ich, dass ich mich total verhädert habe (KNOTEN IM GEHIRN)^^

also:

(a_{1}; b_{1}) \cdot ((a_{2}; b_{2}) \cdot (a_{3}; b_{3}))

= (a_{1}; b_{1}) \cdot (a_{2} a_{3} - b_{2} b_{3}; a_{2} b_{3} + b_{2} a_{3})

= (a_{1} \cdot (a_{2} a_{3}) - b_{2} b_{3}; (b_{1} a_{2} b_{3}) + b_{2} a_{3})

= (a_{1} a_{2} - b_{1} b_{2}; a_{1} b_{1} + b_{1} a_{2}) \cdot (a_{3}; b_{3})

= ((a_{1}; b_{1}) \cdot (a_{2}; b_{2})) \cdot (a_{3}; b_{3})

ähm...ja ist das so richtig? mich hat es ein bisschen Durcheinander gebracht alles!

hagman aktiv_icon

22:29 Uhr, 14.10.2010

Nee, wenn wir

a_{4} := a_{2} a_{3} - b_{2} b_{3}

und

b_{4} := a_{2} b_{3} + b_{2} a_{3}

abkürzen, willst du ja

(a_{1}; b_{1}) \cdot (a_{4}; b_{4})

= (a_{1} a_{4} - b_{1} b_{4}; a_{1} b_{4} + b_{1} a_{4})

ausrechnen (und da kommt erst einmal ein ziemliches Ungetüm heraus)

Das Problem hätte die an deinem dritten = aufallen müssen - wie hast du da auskgeklammert??

kiarashayla84 aktiv_icon

23:15 Uhr, 14.10.2010

Ohhjee, da wär ich niemals drauf gekommen...naja mal sehen ob ich es jetzt hinbekomme zu so später Stunde.

(a_{1}; b_{1}) \cdot ((a_{2}; b_{2}) \cdot (a_{3}; b_{3}))

= (a_{1}; b_{1}) \cdot (a_{2} a_{3} - b_{2} b_{3}; a_{2} b_{3} + b_{2} a_{3})

= ((a_{1} (a_{2} a_{3} - b_{2} b_{3}); a_{1} (a_{2} b_{3} + b_{2} a_{3})); ((b_{1} (a_{2} a_{3} - b_{2} b_{3}); b_{1} (a_{2} b_{3} + b_{2} a_{3}))

= ((a_{1} a_{2} a_{3} - a_{1} b_{2} b_{3}); (a_{1} a_{2} b_{3} + a_{1} b_{2} a_{3})); ((b_{1} a_{2} a_{3} - b_{1} b_{2} b_{3}); (b_{1} a_{2} b_{3} + b_{1} b_{2} a_{3}))

=jetzt komm ich nicht weiter

wenn ich abkürze sehe ich gleich Fragezeichen

= (

dann bin ich doch in der Kommutativität?! Für die Assoziativität fehlt ja ein Term, oder?

a_{4} := a_{2} a_{3} - b_{2} b_{3}

und

b_{4} := a_{2} b_{3} + b_{2} a_{3}

= (a_{1}; b_{1}) \cdot (a_{4}; b_{4})

= (a_{1} a_{4} - b_{1} b_{4}; a_{1} b_{4} + b_{1} a_{4})

=

die Aufgabe nervt mich langsam

= (

ich seh den Wald vor lauter Bäumen nicht

= (

teppich aktiv_icon

06:42 Uhr, 15.10.2010

keine Panik, den Großteil hast du doch schon:
Dass

(K, +)

abelsche Gruppe ist, folgt direkt aus der Addition in

ℝ

, da

+

K

komponentenweise definiert ist.

Aufwendiger ist jedoch zu zeigen, dass

(K, •)

abelsche Gruppe ist:
- Abgeschlossenheit bzgl.

•

folgt aus der Abgeschlossenheit von

ℝ

- dein Nachweis der Kommutativität hält jeder Korrektur stand
- bei der Assoziativität ist wirklich Rechenaufwand von Nöten (rechne unabhängig voneinander

(a_{1}; b_{1}) • ((a_{2}; b_{2}) • (a_{3}; b_{3}))

und

((a_{1}; b_{1}) • (a_{2}; b_{2})) • (a_{3}; b_{3})

streng nach Definition aus und vergleiche die Ergebnisse. Das spart dir häufig eine Menge Arbeit beim Umformen... ich schreibe mir die Definition der Operation gern mit anderen Buchstaben nocheinmal auf. Habe die Erfahrung gemacht, dass dies oft Verwirrungen vorbeugt (hier z.B.

(u; v) • (x; y) = (u x - v y; u y + v x)

).
Bereits deine dritte diesbezügliche Zeile scheint mir fehlerbehaftet zu sein.
- Kalli sei Dank haben wir schon das neutrale Element bzgl.

•

- die Existenz einer muliplikativ Inversen für alle von "Null" verschiedenen Elemente hast du selbst bereits nachgewiesen.

Als letztes bleibt noch die Gültigkeit der Distributivgesetze zu zeigen

a (b + c) = a b + a c

und

(b + c) a = b a + c a

. Hier sind wieder Geduld und intensive Blicke auf die Definition der Multiplikation gefordert. (das zweite Distributivgesetz folgt unmittelbar mit der Kommutativität aus dem ersten)

kiarashayla84 aktiv_icon

17:40 Uhr, 15.10.2010

(a_{1}; b_{1}) \cdot ((a_{2}; b_{2}) \cdot (a_{3}; b_{3}))

= (a_{1}; b_{1}) \cdot (a_{2} a_{3} - b_{2} b_{3}; a_{2} b_{3} + b_{2} a_{3})

wenn ich jetzt

a_{4} := a_{2} a_{3} - b_{2} b_{3}

und

b_{4} := a_{2} b_{3} + b_{2} a_{3}

dann hab ich

= (a_{1}; b_{1}) \cdot (a_{4}; b_{4})

= (a_{1} a_{4} - b_{1} b_{4}); (a_{1} b_{4} + b_{1} a_{4})

= (a_{4} a_{1} - b_{4} b_{1}); (b_{4} a_{1} + a_{4} b_{1})

= (a_{4}; b_{4}) \cdot (a_{1}; b_{1})

wenn ich für

a_{4}

und

b_{4}

die Def. einzetze:

= ((a_{2} a_{3} - b_{2} b_{3}); (a_{2} b_{3} + b_{2} a_{3})) \cdot (a_{1}; b_{1})

Wie bekomm ich denn jetzt

(a_{2}; b_{2})

und

(a_{3}; b_{3})

wieder einzeln?
Ich glaub ich bekomm die Aufgabe nie hin

. .

(a_{1}; b_{1}) \cdot ((a_{2}; b_{2}) \cdot (a_{3}; b_{3})) = (a_{1}; b_{1}) \cdot (a_{2} a_{3} - b_{2} b_{3}; a_{2} b_{3} + b_{2} a_{3}) = (a_{1} a_{2} - b_{1} b_{2}; a_{1} b_{1} + b_{1} a_{2}) \cdot (a_{3}; b_{3})

= ((a_{1}; b_{1}) \cdot (a_{2}; b_{2})) \cdot (a_{3}; b_{3})

wieso reicht das nicht einfach...ist doch voll doch...!

teppich aktiv_icon

18:32 Uhr, 15.10.2010

Du sollst ja zeigen, dass egal, in welcher Reihenfolge du multiplizierst, das gleiche Element rauskommt:

x (y z) = (x y) z

also dann:

\begin{array}{rcl} (a_{1}; b_{1}) ((a_{2}; b_{2}) (a_{3}; b_{3})) \\ = & (a_{1}; b_{1}) (a_{2} a_{3} - b_{2} b_{3}; a_{2} b_{3} + a_{3} b_{2}) \\ = & (a_{1} (a_{2} a_{3} - b_{2} b_{3}) - b_{1} (a_{2} b_{3} + a_{3} b_{2}) & ; & a_{1} (a_{2} b_{3} + a_{3} b_{2}) + b_{1} (a_{2} a_{3} - b_{2} b_{3})) \\ = & (a_{1} a_{2} a_{3} - a_{1} b_{2} b_{3} - a_{2} b_{1} b_{3} - a_{3} b_{1} b_{2}) & ; & a_{1} a_{2} b_{3} + a_{1} a_{3} b_{2} + a_{2} a_{3} b_{1} - b_{1} b_{2} b_{3}) \end{array}

So, und weils so unterhaltsam war, nun einmal anders geklammert:

\begin{array}{rcl} ((a_{1}; b_{1}) (a_{2}; b_{2})) (a_{3}; b_{3}) \\ = & (a_{1} a_{2} - b_{1} b_{2}; a_{1} b_{2} + a_{2} b_{1}) (a_{3}; b_{3}) \\ = & ((a_{1} a_{2} - b_{1} b_{2}) a_{3} - (a_{1} b_{2} + a_{2} b_{1}) b_{3} & ; & (a_{1} a_{2} - b_{1} b_{2}) b_{3} + (a_{1} b_{2} + a_{2} b_{1}) a_{3}) \\ = & (a_{1} a_{2} a_{3} - a_{3} b_{1} b_{2} - a_{1} a_{2} b_{3} - a_{2} b_{1} b_{3} & ; & a_{1} a_{2} b_{3} - b_{1} b_{2} b_{3} + a_{1} a_{3} b_{2} + a_{2} a_{3} b_{1}) \end{array}

Ein scharfer Blick genügt um zu sehen, dass dies genau dem Ergebnis von oben entspricht

kiarashayla84 aktiv_icon

19:16 Uhr, 15.10.2010

Jetzt versteh ich das erst wie das gemeint ist...ohh man...jetzt sieht es voll einfach aus oO

danke danke danke...

und jetzt noch das Distributivgesetz:

(a_{1}; b_{1}) \cdot ((a_{2}; b_{2}) + (a_{3}; b_{3})) = (a_{1}; b_{1}) \cdot (a_{2}; b_{2}) + (a_{1}; b_{1}) \cdot (a_{3}; b_{3})

also dann:

(a_{1}; b_{1}) \cdot ((a_{2}; b_{2}) + (a_{3}; b_{3}))

= (a_{1}; b_{1}) \cdot (a_{2} + b_{2}; a_{3} + b_{3})

= (a_{1} \cdot (a_{2} + b_{2}); b_{1} \cdot (a_{3} + b_{3}))

= ((a_{1} + a_{2}) \cdot a_{3}; (b_{1} + b_{2}) \cdot b_{3})

ist das bis dato richtig?
bevor ich wieder elend viel schreib und es eh falsch ist^^

(a_{1}; b_{1}) \cdot (a_{2}; b_{2}) + (a_{1}; b_{1}) \cdot (a_{3}; b_{3})

= (a_{1} a_{2} - b_{1} b_{2}) + (a_{1} a_{3} + b_{1} b_{3})

=
ok hab es korregiert
hier komm ich allerdings nicht weiter

teppich aktiv_icon

19:25 Uhr, 15.10.2010

Beide Ansätze richtig (ich schätze beim ersten Teil ist dir nur ein kleiner copy+paste-Fehler unterlaufen)

kiarashayla84 aktiv_icon

19:30 Uhr, 15.10.2010

Bei welchem ersten Teil? Der eig. Gleichung oder meinem Versuch zu bewesen^^?

habs glaub ich grade selber gesehen

=)

habs auch korregiert, wenn es sich um das letzte

a_{3}

handelte was eigentlich

b_{3}

sein musste

=)

teppich aktiv_icon

19:42 Uhr, 15.10.2010

statt:

(a_{1}; b_{1}) ((a_{2}; b_{2}) + (a_{3}; b_{3}))

= (a_{1}; b_{1}) (a_{2} + a_{3}; b_{2} + a_{3}; a_{2} + b_{3}; b_{2} + b_{3})

meinst du bestimmt nur:

(a_{1}; b_{1}) ((a_{2}; b_{2}) + (a_{3}; b_{3}))

= (a_{1}; b_{1}) (a_{2} + a_{3}; b_{2} + b_{3})

kiarashayla84 aktiv_icon

19:49 Uhr, 15.10.2010

ja genau, habs auch korregiert, aber komm da nicht weiter

= (

langsam entwickel ich hass gegen diese aufgabe

= (

kiarashayla84 aktiv_icon

19:52 Uhr, 15.10.2010

hab oben noch was zu meiner Gleichung hinzugefügt...also dritte zeile und virte zeile...stimmt das so?

teppich aktiv_icon

19:53 Uhr, 15.10.2010

einfach gnadenlos die Definition der Multiplikation anwenden:

(a_{1}; b_{1}) (a_{2} + a_{3}; b_{2} + b_{3}) = (a_{1} (a_{2} + a_{3}) - b_{1} (b_{2} + b_{3}); \dots)

teppich aktiv_icon

19:54 Uhr, 15.10.2010

ne, leider nicht, die Multiplikation war doch wie bei den komplexen Zahlen definiert, nicht komponentenweise

kiarashayla84 aktiv_icon

20:07 Uhr, 15.10.2010

also das war ja noch richtig

(a_{1}; b_{1}) \cdot ((a_{2}; b_{2}) + (a_{3}; b_{3}))

= (a_{1}; b_{1}) \cdot (a_{2} + b_{2}; a_{3} + b_{3})

= (a_{1} (a_{2} + a_{3}) - b_{1} (b_{2} + b_{3})); (b_{1} (a_{2} + a_{3}) + a_{1} (b_{2} + b_{3}))

stimmt das?

teppich aktiv_icon

20:09 Uhr, 15.10.2010

ja, jetzt noch die einzelnen Komponenten ausmultiplizieren, dann den zweiten Teil rechnen und die Ergebnisse vergleichen

kiarashayla84 aktiv_icon

20:20 Uhr, 15.10.2010

ok also weiter

= (a_{1} (a_{2} + a_{3}) - b_{1} (b_{2} + b_{3})); (b_{1} (a_{2} + a_{3}) + a_{1} (b_{2} + b_{3})

= (a_{1} a_{2} + a_{1} a_{3} - b_{1} b_{2} + b_{1} b_{3}; b_{1} a_{2} + b_{1} a_{3} + a_{1} b_{2} + a_{1} b_{3})

=fertig?

teppich aktiv_icon

20:26 Uhr, 15.10.2010

Fertig mit der ersten Hälfte, denn zu zeigen war ja

x (y + z) = x y + x z

x (y + z)

hast du gerade berechnet:

(a_{1}; b_{1}) ((a_{2}; b_{2}) + (a_{3}; b_{3})) = \dots = (a_{1} a_{2} + a_{1} a_{3} - b_{1} b_{2} - b_{1} b_{3}; a_{2} b_{1} + a_{3} b_{1} + a_{1} b_{2} + a_{1} b_{3})

bei dir korrekt, bis auf die Klammern in der Mitte: nur "

;

" statt "

); (

"

nun zum zweiten Teil:

x y + x z

das Ende der Aufgabe ist schon in Sicht

kiarashayla84 aktiv_icon

20:38 Uhr, 15.10.2010

JUHU

na endlich..wenigsten etwas

=)

ok mal sehen wie lange für den zweiten teil brauch...kann a´s und b´s nicht mehr sehen...

und jetzt das andere, da muss jetzt das gleich rauskommen oder? man das so viel...und das muss ich alles noch zu Papier bringen

= (

(a_{1}; b_{1}) \cdot (a_{2}; b_{2}) + (a_{1}; b_{1}) \cdot (a_{3}; b_{3})

= (a_{1} a_{2} - b_{1} b_{2}) + (a_{1} a_{3} + b_{1} b_{3})

= (a_{1} a_{2} + a_{1} a_{3} - b_{1} b_{2}; b_{1} b_{2} + b_{1} b_{3} + a_{1} a_{3})

ok so oder hab ich mich vertan? bin grade durcheinander gekommen

teppich aktiv_icon

20:50 Uhr, 15.10.2010

Hmmm, da haben die a's und b's wohl ihren Tribut gefordert, es müssen doch bei jeder Multiplikation wieder Tupel rauskommen:

(a_{1}; b_{1}) (a_{2}; b_{2}) = (a_{1} a_{2} - b_{1} b_{2}; a_{1} b_{2} + a_{2} b_{1})

(a_{1}; b_{1}) (a_{3}; b_{3}) = (a_{1} a_{3} - b_{1} b_{3}; a_{1} b_{3} + a_{3} b_{1})

Jetzt beides zusammenzählen:

(a_{1} a_{2} - b_{1} b_{2}; a_{1} b_{2} + a_{2} b_{1}) + (a_{1} a_{3} - b_{1} b_{3}; a_{1} b_{3} + a_{3} b_{1}) =

(a_{1} a_{2} - b_{1} b_{2} + a_{1} a_{3} - b_{1} b_{3}; a_{1} b_{2} + a_{2} b_{1} + a_{1} b_{3} + a_{3} b_{1})

Beim Vergleich mit deinem Ergebnis von eben ist mir ein Vorzeichenfehler in deiner ersten Komponente aufgefallen (es muss

- b_{1} b_{3}

statt

+ b_{1} b_{3}

sein)
Ansonsten sind beide gleich und die Gültigkeit der Distributivgesetze erfolgreich nachgewiesen.

kiarashayla84 aktiv_icon

20:56 Uhr, 15.10.2010

Achso, ja stimmt...ich wollte a´s und b´s sparen XD

heißt das jetzt, dass ich mit dieser blöden Aufgabe endlich fertig bin?

Muss ich da jetzt noch einen Satz drunter schreiben? oder reicht mein # bzw "Kästchen" als Beweisschluss

kiarashayla84 aktiv_icon

20:58 Uhr, 15.10.2010

Ich danke dir sehr...sitze seit Tagen an dieser Aufgabe, danke danke danke

=)

teppich aktiv_icon

21:00 Uhr, 15.10.2010

Ja, alles fertig :-)

Ich würd genüßlichst einen Satz drunterschreiben: "Und damit ist gezeigt, dass

(K, +, •)

Körper ist.". Ein schlichtes Kästchen tut es allerdings auch.

kiarashayla84 aktiv_icon

21:02 Uhr, 15.10.2010

Du hast mir wirklich sehr geholfen...aufs Papier werd ich das aber erst morgen schreiben...=)

mal sehen was ich bei der anderen Aufgabe heute noch hinbekomme

ireland aktiv_icon

15:11 Uhr, 17.10.2010

hi ich arbeite an der selben aufgabe
versthe aber hier nicht wie du auf

a 3 b 3

kamst
in der aufgabenstellung ist doch nur von

a 1 a 2 b 1 b 2

die rede

lg ireland

kiarashayla84 aktiv_icon

15:19 Uhr, 17.10.2010

Hi,

ich habe das selbst dazu gefügt, da du ja für die Assoziativität

a, b, c

brauchst und wir eig nur

a, b

hatten musstest du selber ein

c

bilden und das ist dann mein

a_{3}

und

b_{3}

verstehst du? damit kannst du dann die gleichung bilden:

(a_{1}; b_{1}) + ((a_{2}; b_{2}) + (a_{3}; b_{3}))

entspricht:

a + (b + c)

das selbe mit multiplikation

ireland aktiv_icon

15:34 Uhr, 17.10.2010

jo danke versteh ich jz

(a 1, b 1)

is doch zb

(2,5)

aber was genau bedeutet das komma hier

kiarashayla84 aktiv_icon

15:43 Uhr, 17.10.2010

Ok

das ja kein Komme sondern ein Simikolon ; und für mich bedeutet das ein "und" . Also so hab ich es mir gedacht...

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