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Kollineationsgruppe
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Lineare Abbildungen
Vektorräume
Tags: Lineare Abbildungen, Vektorraum
 
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Hallo, ich habe folgende Aufgabe: Man bestimme die Ordnung der Kollineationsgruppe der affinen Ebene der Ordnung 3. Was muss man hier machen? Ich soll irgendwelche Triple von Punkten finden. Sollen das immer die Punkte sein, die nicht auf einer Grade liegen? Vielleicht kann mir ja jemand helfen. Danke schon mal! Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo, eine affine Ebene wird gern als Tripel beschrieben, wobei die Punktmenge, die Geradenmenge und die Inzidenzrelation darstellt. Wenn du nun eine affine Ebene der Ordnung 3 hast, so ist damit (wohl) diejenige affine Ebene gemeint, für die gilt und "passend" dazu gewählt ist. Mit anderen Worten: es geht um ein Dreieck. Kollineationen sind Isomorphismen zwischen den Punktmengen, die zusätzlich Kollinearität (das Auf-der-gleichen-Geraden-liegen) respektieren. Nun musst du also diese Untergruppe der Isomorphismengruppe zwischen den Punktmengen finden. Nur Mut, so viele sind es nicht. Mfg Michael |
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Also zum Beispiel wird abgebildet auf ? |
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Hallo, äh, also, eine Kollineation ist zunächst mal ein Isomorphismus von der Punktmenge der einen Ebene in die der anderen Ebene, hier also in sich. Wenn du die Punkte numerierst, ok (so verstehe ich jedenfalls dein posting). Du musst aber letztlich alle Punkte auf Punkte abbilden. Das kann ich bei dir nicht erkennen... Mfg Michael |
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Ok, dann weiß ich jetzt nicht, welche Punkte ich zählen soll. Kannst du mir das noch irgendwie anders oder genauer erklären? |
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Ich habe jetzt folgendes überlegt: Setzte 0 als Nullpunkt. Die Gruppe der Kollineationen, unter denen 0 Fixpunkt ist, besteht aus den linearen Abbildungen, die invertierbar sind. Die Anzahl von Matrizen in ist wovon invertierbar sind. Die Gruppe der Kollineationen werden von Abbildungen und 9 Translationen erzeugt. Insgesamt sind das dann Kollineationen. Stimmt das so? Wenn ja, dann habe ich noch eine Zusatzaufgabe, bei der du mir vielleicht helfen kannst: Man zeige, dass in der affinen Ebene der Ordnung 4 eine Kollineation ungleich id existiert, die drei nicht-kollineare Punkte festlässt. Da habe ich absolut keine Ahnung, kannst du mir vielleicht sagen, was man da machen muss. Danke schon mal! |
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Hallo, ich hätte zunächst einmal gedacht, dass es überhaupt nur 6 verschiedene Automorphismen auf gibt. Stellt sich die Frage, ob es auch alle Kollineationen sind. Mfg Michael |
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Wie sehen diese Automorphismen aus? |
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Hallo, stellst du dir diese Ebene der Ordnung 3 als ein gleichseitiges Dreieck vor, so kannst du dir Drehungen und Spiegelungen darunter vorstellen. Eine der Abbildungen ist (natürlich) die Identität. Eine weitere spiegelt 1 auf 2 und umgehkehrt, wobei 0 festbleibt. Kurz könnte man sie mit beschreiben. Auf gleiche Weise stelle ich mir und vor. Die Abbildung dreht 0 auf 1, 1 auf 2 und 2 wieder auf 0. Die "umgekehrte" Drehung gibt's dann natürlich auch. Zunächst einmal musst du dir klarmachen, dass es sich bei diesen 6 Automorphismen auch tatsächlich um Kollineationen handelt. Da es aber nur 3 Geraden in deiner Ebene gibt, sollte das nicht allzu schwierig werden. Dann musst du dir natürlich auch klarmachen, dass es keine weiteren Kollineationen (ja nicht einmal weitere Automorphismen) gibt. Alles klar? Mfg Michael |
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Bei uns war die Ebene der Ordnung Punkte . Das ist dann was anderes oder? |
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Hallo, hm, dann verstehen wir unter Ordnung jeweils etwas anderes. Ich hatte es als die Anzahl der Elemente von interpretiert. Wie ist Ordnung bei euch definiert? Mfg Michael |
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Eine affine Ebene der Ordnung wird durch Punkten, mit dazugehörigen Graden dargestellt. Daher müsste meine Rechnung von oben stimmen oder? |
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Hallo, hm, ja, da war so was. Immer gleich viele Punkte auf den (parallelen) Geraden... Nun, da aber 9 Punkte erheblich mehr sind als 3, wird es nicht so einfach, die Kollineationen herauszufiltern... Das muss ich mir erst einmal ansehen. Mfg Michael |
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Ja, dewegen kam mir ja auch sechs sehr wenig vor :-) |
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