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Kombination Substitution und partielle Integration

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration, Partielle Integration, Substitution

Lisaa97 aktiv_icon

09:48 Uhr, 13.09.2018

Hallo,

ich soll nachstehendes Integral lösen:

x^{3} \cdot e^{- x^{2}} d x

Da habe ich jetzt folgenden Ansatz:

x^{2} = z

2 x = d z

\frac{1}{2} z \cdot z \cdot e^{- z} d x

Dann substituiert:

\frac{1}{2} z \cdot z \cdot (- e^{- z}) -

Integral

- e^{- z} \cdot \frac{1}{2} d x

\frac{1}{2} z \cdot z \cdot (- e^{- z}) + e^{- z} \cdot \frac{1}{2}

Dannhabe ich zurück substituiert:

\frac{1}{2} x^{2} \cdot x^{2} \cdot (- e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \cdot \frac{1}{2}

Aber die Lösung ist:

- \frac{1}{2} e^{- x^{2}} \cdot (x^{2} + 1) + C

Jetzt zu meinen Fragen. Warum ist dann

\frac{1}{2}

negativ und warum kann man für

x^{3}

einfach

- \frac{1}{2} z

schreiben. Das wäre doch eher

- \frac{1}{2} z \cdot z

Wo liegt mein Fehler das ich nicht auf das richtige Ergebnis komme?

Vielen Dank :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

ledum aktiv_icon

10:34 Uhr, 13.09.2018

Hallo

x^{3} \cdot e^{- x^{2}} = \frac{x^{2}}{2} \cdot e^{- x^{2}} \cdot 2 x d x

jetzt deine Substitution

x^{2} = z, d z = 2 x \cdot d x

führt uter dem Integral zu

\frac{z}{2} \cdot e^{- z} d z

bei dir bleibt anscheinend nach Substitution das

d x

statt

d z

stehen?
richtig musst du jetzt

\int \frac{z}{2} \cdot e^{- z} d z

mit partieller Integration lösen.
(nach dem integrieren solltest du zur Probe differenzieren, dann kannst du sehen, dass dein Ergebnis falsch ist)
wie du partiell integriert hast ist mir auch rätselhaft, wenn das

z^{2}

statt

z

richtig wäre ist immer noch deine partielle Integration falsch.
Gruß ledum

Lisaa97 aktiv_icon

12:12 Uhr, 13.09.2018

Jaa ich habe es raus. Es hat zwar ein bisschen gedauert. Danke dir :-)

Habe aber nochmal eine kleine Frage bezüglich des Vorzeichens.
Vor dem Integral steht ja ein Minus. Wird das Integral dann wie eine Klammer gesehen? Also das sich die Vorzeichen im Integral dann umkehren?

Vielen Dank nochmal

ledum aktiv_icon

12:46 Uhr, 13.09.2018

Hallo
ja,

- \int f (x) d x = \int - f (x) d x

wenn du das meinst.
Gruß ledum

Lisaa97 aktiv_icon

13:00 Uhr, 13.09.2018

Ja, okay danke!

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