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Kombination zweier Platten
Lehrer
Tags: Kombination, Platten, Summenbildung
 
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Jemand benutzt zwei Arten von Holzplatten, die er aufeinanderlegen kann, um einen "Untersetzer" beliebiger ganzzahliger Höhe herzustellen. Die eine Sorte ist 4, die andere 7 cm dick. Ab welcher Höhe kann er alle beliebigen Höhen durch geschicktes Kombinieren der Anzahlen erreichen? Allgemein gefragt: Gegeben sind zwei natürliche Zahlen a und b mit ggt(a|b)=1. Gesucht ist N mit für jedes n N gibt es x,y , so dass ax + by = n ist. ------------------------------- Mit Hilfe des euklidschen Algorithmus lassen sich zwei Zahlen r, s finden, für die ar - bs = 1 ist. (*) Multiplikation mit n liefert dann: ar n - bsn = n Die beiden Summanden müssen aber für die Lösung des obigen Problems positiv sein. Dies lässt sich erreichen durch Verkleinern des ersten zu Gunsten des zweiten Summanden: ar n - bsn = n a(r n-bv) + b(av-sn) = n mit v Dies gelingt genau dann, wenn solch eine natürliche Zahl v existiert, bei der dann x = r n - bv 0 und y = av - sn 0 ist. Das ist äquivalent mit . Das Intervall, in dem v liegen muss, hat somit die Breite wegen (*). Für n ab hat dieses Intervall also mindestens die Länge 1, so dass man darin immer eine natürliche Zahl v finden kann. Zwischenergebnis: Ab =ab lassen sich alle natürlichen Zahlen als Vielfache von a und b schreiben, im obigen Beispiel also ab = 28. ----------------------------------- Tatsächlich klappt das aber schon genau ab N = (a-1)(b-1), im obigen Beispiel also ab = 18. Durch Computersimulationen habe ich mit verschiedenen Zahlenpaaren dieses Ergebnis "erkannt", kann es aber nicht beweisen. Beweisen lässt sich allerdings, dass das für N - 1 = (a-1)(b-1)-1 = ab - a - b nie klappt. Hat jemand eine Beweisidee für N = (a-1)(b-1)? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.) |
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Nachtrag: Beweis, dass für n = (a-1)(b-1)-1 = ab - a - b keine Lösung existiert. Aus ar - sb = 1 folgt (1) sb = ar - 1 und (2) ar = bs + 1 Für n = ab - a - b wird die untere Intervallgrenze zu mit (1) und die obere Intervallgrenze zu mit (1) Die untere Intervallgrenze ist etwas größer als k , die obere etwas kleiner als k+1, so dass keine ganze Zahl v dazwischen liegen kann. ---------------------------------- Bei jedem Anstieg von n um 1 wächst die untere Grenze um , die obere um . Letztere wird damit k+1, aber je nach Größe von s und r ist für mich nicht erkennbar, dass im Weiteren immer eine natürliche Zahl zwischen den Intervallgrenzen liegt, was aber meine Simulationen zeigen. Hier fehlt mir ein Beweis. |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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