Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Kombinationen bestimmen die genau einen Wert haben

Kombinationen bestimmen die genau einen Wert haben

Schüler

Tags: Kombination, Kombinationsmöglichkeiten, Kombinatorik, Wert

anonymous

12:42 Uhr, 07.02.2017

Hallo zusammen,
ich möchte gerne die Kombinationen bestimmen aus

n

Elementen die genau den Wert

X

treffen.
Zum Beispiel ich hab

n = 7

verschieden Elemente die den Wert von 1 bis 7 haben. Und ich möchte jetzt herausfinden wie viele Kombinationsmöglichkeiten es gibt auf genau den Wert 7 zu kommen. Also zum Beispiel

1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1

oder

1 + 5 + 1

. Dabei sollen Wiederholungen möglich sein also ist

1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2

eine andere Kombination wie

1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1

. Durch ausprobieren ist

e

zwar Möglich das Ergebniss heraus zu finde wie in diese Beispiel

32

Kombinationen, aber für mehr Werte wird es dann komplizierter und es muss ja auch eine Weg geben das zu berechnen. Ich hoffe ihr könnt mir helfen

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Gemischte Aufgaben der Kombinatorik
Kombinatorik: Ziehen mit Reihenfolge und mit Zurücklegen
Kombinatorik: Ziehen mit Reihenfolge und ohne Zurücklegen
Kombinatorik: Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen

anonymous

17:00 Uhr, 07.02.2017

Hallo Iss04
Leider drückst du dich unheimlich missverständlich aus.
Ich muss schon sehr heftig spekulieren, um einigermaßen eine grobe Ahnung zu erhalten, was du eigentlich willst.

Ich ahne:
Eine Größe ist die natürliche Zahl

' X',

ich nenne sie mal der Einfachheit halber

x

.
Diese Größe soll als Summe von Summanden errechnet, werden, die selbst wieder natürliche Zahlen - außer der Null - sind.
Stimmt das so weit?

Dann verwirbelst du da noch irgend eine Größe

' n'

.
Ehrlich gesagt, keine Ahnung, was das sein soll. Das hast du nicht wirklich erklärt.
Und das benannte Beispiel

n = 7

führst du gleich im nächsten Satz wieder ad absurdum, indem du trotz der Ankündigung von

n = 7

Summanden (?) gleich mal Beispiele mit

> 7

Summanden, "1+1+1+1+1+1+1"

> 3

Summanden, "1+5+1"

> 6

Summanden, "1+1+1+1+1+2"
anführst.

Dann sprichst du zwar von "Wiederholungen". Aus deinem Beispiel ahne ich aber, dass du damit die Reihenfolge meinst. Ich ahne, dass du die Reihenfolge beachten, also unterscheiden willst, ob du die Summanden

1 + 2 = 3

2 + 1 = 3

in der einen oder anderen Reihenfolge zur Summe

x = 3

zusammensetzen willst.
Ist dem so?

Falls ja - dann bitte, bitte, bitte, lass uns nicht von "Kombinationen" sprechen, sondern von Variationen.
Denn, wenn du die Reihenfolge wirklich beachten willst, dann spricht die Fachwelt eben von Variationen.

Schließlich behauptest du, du hättest für

x = 7

32

Kombinationen bzw. besser Variationen gefunden.
Das kann keiner nachvollziehen.

Wenn du wirklich die Summe

x = 7

zusammensetzen willst, und

a)

die Reihenfolge beachten willst, dann komme ich auf

64

Variationen, nämlich:

1111111

111112

111121

111211

112111

121111

211111

11122

11212

11221

12112

12121

12211

21112

21121

21211

22111

11113

11131

11311

13111

31111

1222

2212

2122

2221

1123

1132

1213

1231

1312

1321

2113

2131

2311

3112

3121

3211

1114

1141

1411

4111

115

151

511

124

142

214

241

412

421

133

313

331

223

232

322

16

25

34

43

52

61

b)

...die Reihenfolge nicht beachten willst, dann komme ich auf

15

Kombinationen, nämlich:
7

61

52

511

43

421

4111

331

322

3211

31111

2221

22111

211111

1111111

Also, du siehst, du hast noch viel zu erklären.
Bitte bemühe dich, die Dinge eindeutig zu erklären. Sonst tun wir uns schwer, eine sinnvolle Aufgabe hierin zu erkennen oder hilfreich zu unterstützen.

anonymous

18:52 Uhr, 07.02.2017

Hallo, erst einmal danke für deine Antwort. Ja, du hast es richtig erahnt, dass die natürliche Zahl

x (

in diesem Fall ist

x = 7)

als Summe von Summanden errechnet werden soll. Mit der Größe

n

wollte ich nur zeigen, dass es in diesem Fall 7 Summanden gibt, aus denen die Summe 7 gebildet werden kann. Nämlich

1,2,3,4,5,6,7

und nicht das die gebildete Summe immer aus 7 Summanden bestehen muss. Ich hoffe damit ist verständlich wofür ich

n

verwendet habe. Also suche ich die Variationen die es gibt um die Summe 7 mit den Summanden 1 bis 7 zu bilden. Außerdem hast du richtig verstanden, dass ich die Reihenfolge beachten möchte. Tut mir leid, dass ich gesagt habe das es

32

verschiedene Variationen gibt, du hast natürlich recht, dass es

64

sind so wie ich es erklärt habe. Ich habe vergessen zu sagen, dass in diesem Fall der Summand 1 nicht an erster Stelle stehen darf. Wenn man das beachtet kommt man auf

32,

da es in deiner Lösung

32

Variationen gibt , bei denen die 1 an erster Stelle steht und

64 - 32 = 32

ist. Ich hoffe du kannst jetzt nachvollziehen wie ich auf

32

gekommen bin. Ich sollte vielleicht noch kurz erwähnen, warum die

1

in diesem Beispiel nicht an erster Stelle stehen darf. Ich brauche diese Berechnung für meine Facharbeit die um das Spiel Blackjack geht und wenn ich dort annehme, dass ich als erste Karte eine

10

gezogen habe und auf

17

kommen möchte, brauch ich ebend die Variationen die Summe 7 zu bilden. Die 1 darf aus dem Grund nicht an erster Stelle stehen, weil die Karte Ass 1 0der

11

zählen kann und wenn ich als erstes nach der

10

das Ass ziehe zählt sie ebend

11,

weil ich damit auf

21

komme und das nach den Spielregeln noch möglich ist, ich aber über meinen gewünschten

17

bin. Wenn ich als zweites ein Ass ziehe zählt es nur noch

1,

weil ich ansonsten über

21

wäre und mich damit überkauft hätte.
Ich würde mich freuen, wenn du mir erklären könntest wie du die Anzahl der Variationen berechnet hast, in unserem Fall

64

Variationen. Da muss es doch noch einen anderen Weg als ausprobieren geben ;-)

anonymous

20:57 Uhr, 07.02.2017

Hallo Iss04
Also, fassen wir zusammen:

Die Aufgabe ist,

a)

die Anzahl an Variationsmöglichkeiten zu errechnen,
die natürliche Zahl

x

als Summe von Summanden zusammen zu setzen, die alle aus natürlichen Zahlen außer Null bestehen.

Die Reihenfolge ist zu beachten.

Die Größe "n" spielt eigentlich keine Rolle. Sie diente nur zur Verwirrung.

Ich ahne ferner:
Die Einschränkung 'keine 1 am Anfang' ist quasi eine zweite Teilaufgabe.
Nennen wir sie:

b)

Die werden wir behandeln, wenn wir die

a)

erst mal systematisch klargestellt haben und gelöst haben.
Denn ich ahne, dass uns die Aufgabenstellung

b)

quasi in den Schoß fallen wird, wenn wir unter allen Variationsmöglichkeiten von

a)

diejenigen ausschließen, die

>

mit 1 beginnen,

>

und jene Variationsmöglichkeiten mit

(x - 1)

als Summe anschließen.

Soweit einverstanden?

Gut, dann könnten wir jetzt endlich beginnen.

Hinweise:
"...wenn du mir erklären könntest, wie du die Anzahl der Variationen berechnet hast."

c)

Ganz ehrlich, ich habe sie bisher nicht berechnet.
Sondern, ich habe sie abgezählt.
Eine Methode, die ich auch jedem empfehle.
Denn ich bin überzeugt: Erst wenn man einfache Beispiele abzählend sich selbst klar gemacht hat, wird man die Aufgabenstellung so weit verstanden und verallgemeinerbar erfasst haben, um sie eben in Formeln, Formalien und Verallgemeinerungen vergegenwärtigen zu können.

Ich bin abzählend auf folgende Ergebnisse gekommen:

>

Für

x = 1

gibt es 1 Variationsmöglichkeit, nämlich:
1

>

Für

x = 2

gibt es 2 Variationsmöglichkeiten, nämlich:

1 + 1

>

Für

x = 3

gibt es 4 Variationsmöglichkeiten, nämlich:

1 + 1 + 1

1 + 2

2 + 1

>

Für

x = 4

gibt es 9 Variationsmöglichkeiten, nämlich:

1 + 1 + 1 + 1

1 + 1 + 2

1 + 2 + 1

2 + 1 + 1

2 + 2

1 + 3

3 + 1

>

Für

x = 5

gibt es

16

Variationsmöglichkeiten,
(bitte gestatte, dass ich die jetzt nicht mehr aufzähle, du darfst dich aber gerne mal üben).

>

Für

x = 6

gibt es

32

Variationsmöglichkeiten.

>

Für

x = 7

gibt es

64

Variationsmöglichkeiten,
die ich ja schon aufgezählt hatte.

d)

Und es gibt eine 'anderen' Weg, dies auch formal zu rechnen.
Später mehr dazu.

anonymous

21:16 Uhr, 07.02.2017

Okay so weit hab ich es verstanden. Die Methode mit dem Abzählen habe ich ja auch bis jetzt genutzt.

anonymous

21:30 Uhr, 07.02.2017

Zum Formalismus:
Stell dir vor, du legst

x

Pralinen in einer Reihe vor dir auf den Tisch.

Z . B

. für

x = 7

eben 7 Pralinen.
Nennen wir die Pralinen "P".

Jetzt schneidest du

(x - 1)

Papierstreifen, und legst sie in die Lücken zwischen diesen Pralinen.

Z . B

. für

x = 7

Pralinen eben 6 Papierstreifen.
Diese Papierstreifen beschriften wir mit Zahlen, ich schlage vor mit:

1, 2, 3, 4, 5, ...

.
Dann haben wir jetzt folgendes Gebilde vor Augen:

P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 P 6 P

Die Papierstreifen nehmen wir jetzt und werfen sie in eine Urne.
Jetzt haben wir die Wahl.

e)

Wir können überhaupt keinen Papierstreifen ziehen.

D . h

. dann liegen 7 Pralienen auf dem Tisch.
PPPPPPP
Das soll den Summanden 7 repräsentieren.
Das heisst, die Summe

x = 7

kann durch die Variationsmöglichkeit 7 erzielt werden.

f)

Wir können genau einen Papierstreifen ziehen.
Der Papierstreifen soll die Pralinenreihe in zwei Gruppen,

d . h

. in zwei Summanden teilen.

Z . B

. wenn wir den Papierstreifen

' 3'

ziehen, dann:
PPP 3 PPPP
Das soll den ersten Summanden 3 und den zweiten Summanden 4 repräsentieren.
Auf jeden Fall aber kommt die Summe

x = 3 + 4 = 7

raus.
Natürlich haben wir hierzu 6 Möglichkeiten, genau einen Papierstreifen,

d . h

. genau eine Lücke zu ziehen.

g)

Wir können genau zwei Papierstreifen ziehen.
Der Papierstreifen soll die Pralinenreihe in drei Gruppen,

d . h

. in drei Summanden teilen.

Z . B

. wenn wir die Papierstreifen

' 2'

und

' 6'

ziehen, dann:
PP 2 PPPP

6 P

Das soll den ersten Summanden

2,

den zweiten Summanden

4,

den dritten Summanden 1 repäsentieren.
Auf jeden Fall aber kommt die Summe

x = 2 + 4 + 1 = 7

raus.
Na, wie viele Möglichkeiten haben wir wohl, genau zwei Papierstreifen zu ziehen.

h)

Wir können genau drei Papierstreifen ziehen.
Jetzt bist du dran.

i)

Wir können genau vier Papierstreifen ziehen.
Jetzt bist du dran.

j)

u . s . w

...,

jetzt bist du dran.

k)

Wir können genau

(x - 1)

Papierstreifen,

d . h

. alle Papierstreifen ziehen.
Das sieht dann so aus:

P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 P 6 P

Und klar, das entspricht der Variationsmöglichkeit

x = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 7

Und klar, auch dafür haben wir wieder 1 Möglichkeit.

Viel Spaß!
Und merke, die Pralinen haben wir uns erst verdient, wenn du die Aufgabe gelöst hast. So lange brauchen wir die noch!

anonymous

21:53 Uhr, 07.02.2017

g)Da müsste es dann

30

Möglichkeiten geben.

h) 120

Möglichkeiten

i) 360

Möglichkeiten

j)Bei 5 Streifen sind es dann

720

Möglichkeiten.

anonymous

22:26 Uhr, 07.02.2017

Und natürlich habe ich mich verzählt.

>

Für

x = 4

gibt es 8 Variationsmöglichkeiten,
eben jene, die ich oben aufgezählt hatte.
Ich sollte eben die Finger zu Hilfe nehmen...
:-)

Vielleicht war mein Gedankengang auch ein wenig zu kompliziert,
aber zielführend. Schaun wir doch mal:

x = 1 :

es gibt 1 Variationsmöglichkeit.

x = 2 :

es gibt 2 Variationsmöglichkeiten.

x = 3 :

es gibt 4 Variationsmöglichkeiten.

x = 4 :

es gibt 8 Variationsmöglichkeiten.

x = 5 :

es gibt

16

Variationsmöglichkeiten.

x = 6 :

es gibt

32

Variationsmöglichkeiten.

x = 7 :

es gibt

64

Variationsmöglichkeiten.

Na, fällt da was auf?

g)

"Da müsste es dann

30

Möglichkeiten geben."
Nein.
2 aus

6,

na was für ein Urnenmodell ist das?

h)

"120 Möglichkeiten"
Nein.
3 aus

6,

na was für ein Urnenmodell ist das?

i)

"360 Möglichkeiten"
Nein.
4 aus

6,

na was für ein Urnenmodell ist das?

j)

"Bei 5 Streifen sind es dann

720

Möglichkeiten."
Nein.
5 aus

6,

na was für ein Urnenmodell ist das?

anonymous

22:50 Uhr, 07.02.2017

Also es fällt natürlich auf wenn

x

eins mehr wird verdoppeln sich auch die Variationsmöglichkeiten. Was meinst du genau bei der Frage was das für ein Urnenmodell ist ich kenne bei Urnenmodellen nur die Unterscheidung mit oder ohne zurücklegen und in diesem Fall ist es ohne zurücklegen würde ich sagen. Ist dann die Berechnungsmethode nicht mithilfe der Fakultät?

anonymous

23:47 Uhr, 07.02.2017

Jawohl, der Verdacht/die These, dass es für die Summe

x

genau

2^{x - 1}

Variationsmöglichkeiten gibt, springt nahezu ins Auge.
Jetzt müssten wir dies nur noch allgemeingültig beweisen oder belegen.

"Was meinst du genau, was das für ein Urnenmodell ist"
Ja ganz genau, du hast doch schon angesprochen, dass es eben gängige Urnenmodelle gibt.
Nämlich: Permutation, Kombination, Variation

Und ja, die Unterscheidung mit oder ohne Zurücklegen.
Also, wie gesagt, wir legen doch

(x - 1), z . B

. 6 Papierstreifen in die Urne, und ziehen

>

bei

e)

keinen davon,

>

bei

f)

genau einen,

>

bei

g)

genau

2,

>

bei

h)

genau

3,

>

bei

i)

genau

4,

>

bei

j) . .

>

bei

k)

genau

(x - 1)

davon.

Das sind doch eben diese klassischen Urnenmodelle.
Also,
bei

g) 2

aus 6
Welches Urnenmodell? Permutation, Kombination, Variation?
Mit oder ohne Wiederholung?
Dann wird es dir auch besser gelingen, die Anzahl zu errechnen...

PS:
Bitte, gestatte noch einen freundschaftlichen Hinweis.
Schau dir mal deine Beiträge an.
Kein Absatz, mangelnde Zeichensetzung, ein endloser Wust an Wortfolge ohne Struktur oder Lesbarkeitsunterstützung.
Also ein klein wenig mehr Mühe, deine Gedanken durch Absätze oder Zeichensetzung ein klein wenig lesbarer, verständlicher und strukturierter zu gestalten, könntest du dir schon geben.
Danke.

anonymous

08:08 Uhr, 08.02.2017

Also wir verwenden bei

g)

das Urnenmodell der Variation, weil wir die Reihenfolge beachten.

Außerdem ist es ohne Wiederholung bzw. Zurücklegen, weil wenn wir

z . B

. zwei Papierstreifen ziehen, ziehen wir diese hintereinander ohne den ersten gezogenen wieder in die Urne zu legen.

So weit richtig?

Bummerang

10:41 Uhr, 08.02.2017

Hallo,

den Beweis, dass es für die Summe 7 genau

64

Möglichkeiten gibt ist doch sehr einfach, indem man eine eineindeutige Abbildung zwischen Deinen Pralinen und Deinen Papierstreifen und den binären Zahlen definierst. Dafür brauchst Du noch nicht einmal Zahlen auf den Streifen!

Es liegen die 7 Pralinen in einer Reihe mit einem Abstand, dass man einen der 6 Papierstreifen dazwischenlegen kann. Dann nimmt man die 6 Papierstreifen und legt so viele Papierstreifen zwischen jeweils zwei Pralinen, wie man will, also keinen Papierstreifen bis maximal 6 Papierstreifen. Einzige Einschränkung: zwischen zwei benachbarten Pralinen darf maximal ein Papierstreifen liegen. Jetzt schaut man sich das Ganze an: Von links beginnend zählt man die Pralinen vor dem ersten Streifen, die Anzahl der Pralinen ergibt den ersten Summanden. Gab es keinen Papierstreifen, dann ist die 7 eben die einzige Zahl für die "Summe". Dann tählt man die Pralinen zwischen dem ersten und dem zweiten Papierstreifen und die Anzahl ergibt den zweiten Summanden. Gibt es keinen zweiten Papierstreifen, zählt man eben bis zum Ende. Das macht man so weiter, bis zum letzten Papierstreifen. Die Anzahl der Pralinen hinter diesem Streifen (hinter: wir sind immer noch von links nach rechts unterwegs, also rechts vom Streifen) ergeben den letzten Summanden. So hat man auf diese Art und Weise eine Summe ermittelt, deren Wert 7 ist und die aus bis zu 7 Summanden besteht.

Jetzt schaut man sich das Ganze mit etwas Abstand an: Jede solche Summe ist eindeutig von der Lage der maximal 6 Papierstreifen abhängig. Und dabei kann man die Lage dieser Papierstreifen beschreiben, indem man für jede dieser 6 möglichen Ablagestellen den Wert 0 (für kein Papierstreifen) oder den Wert 1 (für ein Papierstreifen) notiert. Am Ende erhält man eine Ziffernfolge aus Nullen und Einsen, die genau 6 Stellen hat. Jede Papierstreifenverteilung ist durch genau eine solche Binärzahl darstellbar und umgekehrt kann ich aus jeder 6-stelligen Binärzahl (führende Nullen sind erlaubt) genau eine solche Papierstreifenverteilung erzeugen. Damit habe ich eine eineindeutige Abbildung der möglichen Summen auf Pralinen und Papierstreifen und eine weitere eineindeutige Abbildung der Pralinen und Papierstreifen auf die 6-stelligen Binärzahlen gefunden. Die Verknüpfung dieser beiden eineindeutigen Abbildungen ist natürlich wieder eineindeutig, so dass die Anzahl der Möglichkeiten für die Summen gleich der Anzahl der 6-stelligen Binärzahlen ist.

Das Ganze kann man analog mit

n

Pralinen und

(n - 1)

Papierstreifen für die Summe

n

machen, dann hat man am Ende eben die (n-1)-stelligen Binärzahlen zu betrachten. Und bei den (n-1)-stelligen Binärzahlen weiß man, dass es sich um eine Variation von 2 Elementen zur (n-1)-ten Klasse mit Wiederholung handelt. Die Formel dafür ist dann

2^{n - 1}

Klar ist ja, dass die Summen, die mit 1 beginnen wieder eineindeutig abgebildet werden können auf die Summen, die

(n - 1)

ergeben und beliebig beginnen können. Die Anzahl dieser ist dann

2^{n - 2}

.

Am Ende bleiben also

2^{n - 1} - 2^{n - 2} = 2^{n - 2}

Möglichkeiten übrig, was bei

n = 7

eben

2^{7 - 5} = 2^{5} = 32

ergibt.

anonymous

12:59 Uhr, 08.02.2017

"Also wir verwenden bei

g)

das Urnenmodell der Variation, weil wir die Reihenfolge beachten."
Nein.
Überleg dir doch mal das Beispiel, das ich angesprochen hatte.
Ich nahm das Beispiel, dass bei

x = 7

die Papierstreifen

' 2'

und

' 6'

gezogen würden.
Also:
PP 2 PPPP

6 P

Macht es wirklich einen Unterschied, ob ich zuerst den Papierstreifen

' 2'

ziehe, und dann erst den Papierstreifen

' 6'

?
Nein! Das macht doch keinen Unterschied. In jedem Fall kommt doch raus:
PP 2 PPPP

6 P

D . h

. die Reihenfolge spielt keine Rolle.

D . h

\to

Kombination.

Und die ohne Wiederholung. Da stimmt deine Argumentation schon gut. :-)

Also, was kommt dann raus?

e)

hatten wir schon gesagt: 1 Lösungsmöglichkeit.

f)

hatten wir schon gesagt: 6 Lösungsmöglichkeiten.

g)

bitte nochmals besser...

h)

bitte nochmals besser...

i)

bitte nochmals besser...

j)

bitte nochmals besser...

k)

bitte nochmals besser...

Zur Kontrolle: Wir hatten doch schon abgezählt und wissen doch, dass es insgesamt

64

Lösungsmöglichkeiten sind.

Und ganz klar: Dieser mein erster Lösungsansatz war zwar zielführend, aber ein wenig umständlich.
Die

2^{x - 1}

ließ uns schon ahnen, dass es eben einen kürzeren Weg gibt.
Bummerang hat ihn auf seine Weise beschrieben.
In meinen Worten:
Wir haben

(x - 1)

Papierstreifen.
Jeden dieser Papierstreifen kann ich beliebig nutzen oder weglassen.
Das sind 2 Zustände, nämlich

>

Papierstreifen nutzen,

>

Papierstreifen weglassen.
Folglich Variation mit Wiederholung:

2^{x - 1}

anonymous

18:08 Uhr, 08.02.2017

Also für die Berechnung von Kombinationen ohne zurücklegen verwende ich "n über k".
Gleichbleibend bei unserem Beispiel ist immer

n = 6

.
Verändern tut sich

k,

weil

k

die Anzahl der Papierstreifen darstellt.
Mithilfe dieser Informationen kommen dann folgende Ergebnisse raus.

e)

n = 6

k = 0

Ergebnis

: 1

f)

n = 6

k = 1

Ergebnis: 6

g)

n = 6

k = 2

Ergebnis:

15

h)

n = 6

k = 3

Ergebnis:

20

i)

n = 6

k = 4

Ergebnis:

15

j)

n = 6

k = 5

Ergebnis: 6

k)

n = 6

k = 6

Ergebnis: 1

Wenn ich alle Ergebnisse addiere komme ich auf die geforderten

64

Möglichkeiten.

anonymous

21:52 Uhr, 08.02.2017

Ja, siehst du. Jetzt macht das Ganze endlich Sinn.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1355413

1354974

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?