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Kombinatorische Optimierung

Tags: Kombinatorische Optimierung

 
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RomischEins

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20:04 Uhr, 29.06.2019

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Ich bereite mich gerade auf eine Prüfung vor und eine alte Prüfungsfrage lautet:

"Gegeben seien 9 Bücher in englischer, 7 Bücher in französischer und 10 Bücher in deutscher Sprache. Wie viele Möglichkeiten gibt es, 7 Bücher so auszuwählen,dass jede der drei Sprachen vertreten ist?"

Meiner Meinung nach handelt es sich hierbei um eine <Kombination> (keine Permutation und auch keine Variation), da
1. eine Auswahl vorliegt und
2. keine bestimmte Reihenfolge gegeben ist

Meine Vorgehensweise wäre folgende gewesen:

ich will sicher 1 englisches, 1 französisches und 1 deutsches das bedeutet:

<<<(Bitte um Information wie ich einen Binomialkoeffizienten formatieren muss!)>>>

(9 über 1)(7 über 1)(10 über 1)

dann bleiben mir insgesamt noch 8+6+9=23 Bücher aus denen ich 4 beliebige auswählen kann also schlussendlich:

(9 über 1)(7 über 1)(10 über 1)(23 über 4)

ist das so richtig oder hab ich etwas missverstanden :-) ?

Danke im Voraus

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Online-Nachhilfe in Mathematik
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supporter

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20:42 Uhr, 29.06.2019

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Hätte es genauso gerechnet.
Gemeint ist, dass mindestens 1 von allen Sorten dabei ist.
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Roman-22

Roman-22

21:11 Uhr, 29.06.2019

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Leider ist dein Ansatz nicht richtig, da du damit viele Auswahlen mehrfach zählst.

Rechne das mal durch! Du kommst mit deinem Ansatz auf 5578650 Möglichkeiten.
Insgesamt gibt es aber nur (267)=657800 Möglichkeiten, aus den 26 Büchern beliebige sieben zu wählen!

Richtige Lösung ist: 576681

Tipp: Die Aufgabe ist vl nicht so straightforward wie du dachtest und erfordert es, mehrere unterschiedliche Fälle zu betrachten.
Möglicherweise fällt es leichter, die Anzahl der Auswahlen, bei denen mindestens eine Sprache fehlt, zu ermitteln ;-)

P.S.: Es steht nicht so eindeutig in der Angabe, aber ich bin davon ausgegangen, dass auch die Bücher derselben Sprache irgendwie unterscheidbar sind und dass es zB nicht egal ist, welches englischsprachige Buch gewählt wird.
Sollte das nicht so sein, dann ist die Lösung der Aufgabe bloß 15. Dann ginge es nur mehr um die Fälle
1 deutsches Buch, 1 englisches Buch, 5 franz. Bücher
1 deutsches Buch, 2 englische Bücher, 4 franz. Bücher
....
5 deutsche Bücher, 1 engl. Buch, 1 franz. Buch.
Die Aufgabe könnte durchaus auch so gemeint sein.



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HAL9000

HAL9000

21:46 Uhr, 29.06.2019

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I have a dream ... EINMAL einen ehrlichen Crossposter erleben, d.h. einen, der seine Postings selber verlinkt. Mal sehen, ob ich das noch erlebe.

www.matheboard.de/thread.php?threadid=591848
RomischEins

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21:46 Uhr, 29.06.2019

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Nein du hast die Angabe schon richtig verstanden, die Bücher selbst sind unterscheidbar.

das heißt die Lösung ist also:
(26 über 7) minus den Kombinationen in denen nicht alle drei Sprachen vorkommen?

(btw wie formatiere ich einen Binomialkoeffizienten?)
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Roman-22

Roman-22

21:57 Uhr, 29.06.2019

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> Nein du hast die Angabe schon richtig verstanden, die Bücher selbst sind unterscheidbar.
Ja, das macht bei Büchern auch Sinn und unterscheidet dann diese Aufgabe von einer ähnlich formulierten, bei der es um 26 Kugeln in drei Farben in einer Urne geht.
Nur steht es in deiner Angabe halt nicht explizit da - sollte es aber.

>(26 über 7) minus den Kombinationen in denen nicht alle drei Sprachen vorkommen?
Ja, aber auch da besteht die Gefahr der Mehrfachzählung.
Sehe eben, dass HAL dir den Rechenweg im anderen Forum ohnedies schon aufgeschrieben hat.

> (btw wie formatiere ich einen Binomialkoeffizienten?)
Kommt darauf an ob du den normalen Textmodus verwendest oder den LaTeX mode. Ich vermute Ersteres und dort schreibt man "((26),(7))" aber ohne die Anführungsstriche.
Siehe auch www.onlinemathe.de/download/onlinemathe_mathematische_zeichen.pdf

Und ja, so sehr ich auch verstehe, dass man seine Fragen gleichzeitig in mehreren Foren stellt, so denke ich auch, das es ein Akt der Höflichkeit wäre, diesen Umstand anzumerken und evt. auch dorthin zu verlinken.
Frage beantwortet
RomischEins

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22:04 Uhr, 29.06.2019

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@HAL9000 Sorry für das nicht Verlinken meines Crossposts! Ich bin nicht sehr bewandert im Umgang mit Foren und gleichen Einträgen in verschiedenen Foren, werde deinen Ratschlag das nächste Mal berücksichtigen!
Ich habe mir deine Lösung im MatheBoard Forum angesehen und verstehe den Lösungsweg mit dem Inklusions-Exklusions Prinzip jetzt!

Danke an alle die mir in diesem Thread geholfen haben :-) !