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Kombinatorik
Universität / Fachhochschule
Binomialkoeffizienten
Tags: Binomialkoeffizient
 
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Hallo miteinander! Kann mir bitte jemand die Lösung und eine Erklärung dazuschreiben. Ich bedanke mich im Voraus! Angabe: In einer Fabrik werden Haarbänder hergestellt. Die Haarbänder werden mit 7 Perlen in unterschiedlichen Farben (lila, rosa, grün, gelb, rot, schwarz, orange) bestickt, keine Farbe kommt also zwei Mal auf demselben Haarband vor. Dabei werden die Perlen zufällig nacheinander an das Haarband genäht (jede Farb-Reihenfolge der Perlen ist gleich wahrscheinlich). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau die 3 Perlen in den Farben lila, rosa, grün (Reihenfolge egal, also beispielsweise auch grün, rosa, lila möglich) nebeneinander auf das Haarband aufgenäht werden? Fakultäten, Binomialkoeffizienten etc. müssen nicht konkret berechnet, sondern nur hingeschrieben werden! Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Eine Frage zu dem Haarband: Sollen Perle 1 und Perle 7 als benachbart betrachtet werden (d.h. kreisförmige Anordnung) oder nicht (lineare Anordnung)? Im ersten Fall ist die Antwort nämlich 1/5, im zweiten nur 1/7. |
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kreisförmige Anordnung |
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Hallo Zunächst mal solltest du dir klar machen, wie viele Möglichkeiten du überhaupt hast, die Perlen anzuordnen. Das ist noch einfach. Das ist noch ein Klassiker der kombinatiorischen Formeln. Wie viele? Für die benannte Anordnung mit lila-rosa-grün nebeneinander habe ich mir vorgestellt, wir drehen das Haarband einfach so, dass wir auf die grüne Perle guggen. Und jetzt kannst du mal aufschreiben, wie du die beiden anderen Perlen (lila und rosa) daneben anordnen kannst. Das meine ich ernst. Das lässt sich wirklich in wenige (abzählbare) Zeilen schreiben... |
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ich habe bereits die Lösung. Wollte nur vergleichen was ihr rausbekommts. |
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Kannst du bitte nur die Lösung schreiben? |
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>>ich habe bereits die Lösung.<< Welche? |
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ja, von der Aufgabe die Lösung frage ich. (Siege Angabe ganz oben) |
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Ja, ich kann die Lösung schreiben. Kannst auch du schreiben, was du für die Lösung hältst? |
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Was ist denn jetzt die Lösung? |
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(günstige/mögliche). Kannst du die endlösung aufschreiben? |
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Nochmal: Was ist deine Lösung? Schwierige Frage? |
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rud77 dieses zwanzigmal Hin und Her zeigt doch, dass ein Zahlenwert allein noch nicht von Verständnis, von Sinn, von Inhalt, von Tiefe, von Lehrsamkeit, von Nachhaltigkeit zeugt. Du merkst schon, dass wir jetzt, nach deiner Behauptung du hättest die Lösung, schon auch ein wenig Beitrag deinerseits erwarten. Und - wollen wir Zahlenwerte hin- und her-schmeissen, oder willst du verstehen und begreifen? Wenn du die Lösung abschreiben willst, dann kein Problem... dann bekommst du halt irgend einen Zahlenwert, Vorschläge waren schon benannt. Wenn du lernen, verstehen und begreifen willst, dann sollte halt mal eine Antwort erfolgen, auf: Zunächst mal solltest du dir klar machen, wie viele Möglichkeiten du überhaupt hast, die Perlen anzuordnen. Das ist noch einfach. Das ist noch ein Klassiker der kombinatiorischen Formeln. Wie viele? Für die benannte Anordnung mit lila-rosa-grün nebeneinander habe ich mir vorgestellt, wir drehen das Haarband einfach so, dass wir auf die grüne Perle guggen. Und jetzt kannst du mal aufschreiben, wie du die beiden anderen Perlen (lila und rosa) daneben anordnen kannst. Das meine ich ernst. Das lässt sich wirklich in wenige (abzählbare) Zeilen schreiben... |
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Ich habe da mal eine Frage: Hat nicht HAL schon alle Ergebnisse genannt? Gruß pwm |
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Also ich habe als Lösung entweder oder Aber ich weiß eben nicht welches von den beiden stimmt. Darum habe ich eine Lösung eurerseits gefragt. |
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Sorry irgendwie wird die Lösung verschwommen geschrieben, sobald ich auf Antwort drücke. Nomals in Worten „3 Fakultät mal 4 Fakultät dividiert durch minus Fakultät Oder 3 Fakultät mal 4 Fakultät dividiert durch 7 Fakultät |
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Tipp: Klammern setzen, dann stellt der Editor das auch lesbar dar... Das sind ja schon aussichtsreiche Zahlenhaufen. Wenn du dir noch klar machst, was die bedeuten sollen, dann wird auch das Verständnis näher rücken, was daran vernünftig, was daran verständlich und was daran ggf. interpretationsbedürftig ist. Also: Wofür steht denn dieses im Nenner? also: |
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7 steht für 7 Anordungungen. Aber ich war mir nicht sicher, ob vlt im Nenner stehen muss. |
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Ja, genauer: es sind Permutationen, die 7 Farben auf 7 Stellen anzuordnen. kann auch Sinn machen. Wenn du auf einem Kreis keinen Anfang oder Ende oder Ecke oder Unterscheidung findest, dann wirst du eben vielleicht immer auf die grüne Perle blicken, und nur noch restliche Perlen zu platzieren haben. Du siehst, die Zahlenhaufen für sich allein können je nach Zusammenhang Sinn und Zweck machen. Du wirst schon auch einen Gedanken dazu in Worte fassen und formulieren müssen, um den Zahlenhaufen einen Sinn, einen Zusammenhang und ein Verständnis zu geben. Dann, Vorschläge für die 'günstigen Ereignisse'? Hast du schon mal begonnen mit Für die benannte Anordnung mit lila-rosa-grün nebeneinander habe ich mir vorgestellt, wir drehen das Haarband einfach so, dass wir auf die grüne Perle guggen. Und jetzt kannst du mal aufschreiben, wie du die beiden anderen Perlen (lila und rosa) daneben anordnen kannst. Das meine ich ernst. Das lässt sich wirklich in wenige (abzählbare) Zeilen schreiben... |
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Aber es kann nicht sein dass entweder oder stimmt, eins von den beiden muss falsch sein! Was muss jetzt im Nenner stehen, was ist richtig? |
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Doch! Es ist falsch, nur einen Zahlenwert hin zu schreiben. Richtig ist: es gibt Permutationen, wenn du 7 Farben auf 7 Stellen anordnen willst. es gibt Permutationen, wenn du auf einem Kreis eben immer auf die grüne Perle schaust, und nur die 6 verbleibenden Perlen auf 6 verbleibende Stellen anordnest. auch eine Satz zum Verständnis zu geben, was man unter den Zahlen verstehen will, weil es sonst nur unverständliche Zahlenhaufen sind. |
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Hier eine mögliche Erklärung (die die ungeduldige Fragestellerin ohne den Crosspost www.matheboard.de/thread.php?threadid=599655 auch schon gestern abend hätte bekommen können) der Lösung: Es gibt Möglichkeiten, 3 aus den 7 Positionen für die Kugeln "lila, rosa, grün" auszuwählen. Günstig sind dabei alle Dreiermengen mit benachbarten Positionen, das sind insgesamt genau 7 Stück: 123 , 234 , ... , 567, 671, 712 (Die letzten beiden würden bei einer nur linearen Kugelanordnung wegfallen). Ergibt die Laplace-Wahrscheinlichkeit . |
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@HAL9000 Was steht deiner Meinung nach im Nenner? |
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> Was steht deiner Meinung nach im Nenner? Wie ich oben geschrieben hatte (Augen aufmachen!): 35, die Anzahl der möglichen Auswahlen (ohne Anordnung) von 3 aus 7. |
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Hallo, ich versuche mal eine Vermittlung: HAL hat ein elaboriertes Wahrscheinlichkeitsmodell zugrunde gelegt: Für die gestellte Frage interessiert "nur" die Position der 3 Sonderfarben, unabhängig von ihrer Reihenfolge. Also erklärt man diese Auswahlmöglichkeiten zu den Elementarereignissen, Anzahl . Ein mehr bodenständiger Ansatz geht von der Gesamtzahl aller Anordnungen aus, im Falle der linearen Anordnung: Dann zählt man die günstigen Ereignisse: - Wähle eine Reihenfolge für die 4 Nicht-Sonderfarben: - Wähle eine Position zu dieser Wahl für die 3er-Sonderfarben-Kette: 5 - Wähle die Reihenfolge der Sonderfarben in dieser Kette: Also: Gruß pwm |
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@HAL9000 Kannst du bitte mit Fakultät des aufschreiben, was im Nenner stehen sollte, deiner Meinung nach? (Also nicht ausrechnen) |
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Noch nie vom Binomialkoeffizienten gehört bzw. wie man ihn ausrechnet? Da muss ich mich aber sehr über deine Überschrift wundern... |
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@HAL9000 Ist das nicht umgekehrt, dass im Nenner steht und im Zähler ? |
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Nein ! |
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Deine Frage war, was im NENNER der Wahrscheinlichkeit steht!!! Wenn du direkt nach der gesuchten Wahrscheinlichkeit fragst, dann ist . Wer präzise fragt, bekommt auch präzise Antworten. |
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Du hast im Nenner geschrieben. Aber ist es nicht so, dass im Nenenr stehen muss? Darf ich dich um eine Erklärung bitten. |
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Ich hatte zwar schon am . versucht, zu erklären. Aber vielleicht hilft ja, ein weiteres Mal in Worte fassen... Ein guter Läufer läuft etwa Kilometer in einer Stunde, also: (15km)/h Das sind genauso Kilometer in Minuten, also: (15km)/(60min) Aber was ist richtig? Muss jetzt im Nenner stehen, oder muss da im Nenner stehen? Das ist etwa die Frage, die du zum wiederholten Male stellst. Aber vielleicht hilft dir dieses alltäglichere Beispiel, um endlich nicht nur nach dem Nenner zu fragen. Sondern um die Sache im Zusammenhang zu verstehen und begreifen. Wie ich schon sagte, kann sowohl stimmig und zielführend sein, als auch stimmig und zielführend sein kann, als auch wie HAL ja schon sehr erklärlich vorgeschlagen hat. Wichtig ist nur, dass du dir nicht nur Zahlen in irgendwelche Formeln einzusetzen suchst, sondern auch klar machst, was sie bedeuten. Wenn du dir klar machst, dass die für die Anzahl der Permutationen steht, in denen du 7 Perlen beliebig auf einem Kreis anordnest, und für die Anzahl der günstigen Ereignisse ebenso hieraus und in dieser Idee überlegst, wie viele entsprechende günstige Ereignisse du zählen kannst, . du in den Zähler rechnen kannst), dann kommt auf diesem Weg ein sinnvoll, verständliches Ergebnis raus, wie oben ausgeführt: die für die Anzahl der Permutationen steht, in denen du 6 Perlen beliebig auf einem Kreis anordnest, wenn du den gedanklich so hingedreht hast, dass du auf die grüne Perle blickst, und für die Anzahl der günstigen Ereignisse ebenso hieraus und in dieser Idee überlegst, wie viele entsprechende günstige Ereignisse du zählen kannst, . du in den Zähler rechnen kannst), dann kommt auch auf diesem Weg ein sinnvoll, verständliches Ergebnis raus, wie oben ausgeführt: die für die Anzahl der Möglichkeiten steht, in denen du 3 Stellen aus 7 Stellen im Kreis auswählen kannst, und für die Anzahl der günstigen Ereignisse ebenso hieraus und in dieser Idee überlegst, wie viele entsprechende günstige Ereignisse du hieraus zählen kannst, . du in den Zähler rechnen kannst), dann kommt auch auf diesem Weg ein sinnvoll, verständliches Ergebnis raus, wie HAL besser als ich erklärte: Merke: Es kommt nicht darauf an, nach einem Nenner zu fragen. Es kommt darauf an, sich ein Verständnis für die Zahlen und Größen zu verschaffen, die du nutzt. Und mein wiederholtes Werben, nicht nur in diesem Thread, dieses Verständnis dir selbst zu liebe auch neben deine Zahlenformeln in beliebig eigenen verständlichen erläuternden anschaulichen einleuchtenden Verständnis-vertiefenden erleichternden Worten auch hin zu schreiben. Dann kommt auch Lerneffekt, Verständnis, Studium und Sachverstand hinzu, nicht nur Zahlen in Formeln kippen... Sorry für die vielen Worte. Aber vielleicht hilft's. Oder vielleicht kann auch noch wer anders besser den Draht kurzschließen... |
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Oder vielleicht kann auch noch wer anders besser den Draht kurzschließen... Ob ein Kurzschluss hier helfen kann und ob die Threaderstellerin überhaupt noch Interesse hat, weiß ich nicht. Das ist hier schon ein außergewöhnlicher Thread. Aber wenn es der Fragestellerin vielleicht nur um die Beantwortung der Frage geht, welcher ihrer beiden Lösungsvorschläge vom Uhr, nämlich oder richtig sei, dann kann man doch kurz mit " ist richtig " antworten. Das Verständnis wird dadurch halt nicht unbedingt größer werden, fürchte ich. |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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