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Kombinatorik

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Urnenmodell

sweethome aktiv_icon

15:51 Uhr, 07.11.2010

Hallo!
Ich habe seit ein Paar Wochen Wahrscheinlichkeitsrechnung als Thema in der Schule und blicke noch überhaupt nicht durch.
Die 3 verschiedenen Urnenmodelle mit ihren Formeln versteh ich.
Nur das anwenden an schwereren Aufgaben klappt dann nicht.
Hier die Aufgabe:

1)Urne mit

15

kugeln: 6 schwarze, 5 rote, 4 weiße
Es werden 3 Kugeln mit einem Griff gezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeit für

a)

alle Kugeln haben die gleiche Farbe

b)

höchstens 2 Kugeln sind gleichfarbig

c)

genau eine Kugel ist weiß

d)

mindestens eine Kugel ist rot

zur

a)

Ich hätte jetzt daran angesetzt,die Wahrscheinlichkeit für jede Farbe einzeln auszurechnen und die ergebnisse dann zu addieren.
Also: 6/15³

+

5/15³+ 4/15³

= 0,12 = 12 %

richtig??

Ich würde mich sehr über Hilfe freuen!!!
Lg:-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Didgeridoo aktiv_icon

16:10 Uhr, 07.11.2010

Du hast geschrieben, dass die Kugeln mit einem Griff gezogen werden. Was bedeutet das überhaupt? Das bedeutet, dass die Reihenfolge keine Rolle spielt und du nicht zurücklegen darfst.

a)

Deine Lösung ist leider nicht richtig, denn das was du aufgeschrieben hast, wäre mit Zurücklegen. Da hast du jeweils immer wieder dieselbe Wahrscheinlichkeit, eine gleichfarbige Kugel zu ziehen.
Du musst dies so berechnen:

P = \frac{(\begin{matrix} 6 \\ 3 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 5 \\ 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 0 \end{matrix})}{(\begin{matrix} 15 \\ 3 \end{matrix})} + \frac{(\begin{matrix} 6 \\ 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 0 \end{matrix})}{(\begin{matrix} 15 \\ 3 \end{matrix})} + \frac{(\begin{matrix} 6 \\ 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 5 \\ 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 3 \end{matrix})}{(\begin{matrix} 15 \\ 3 \end{matrix})}

b)

Höchsens 2 Kugeln sind gleichfarbig! Da musst du die Wahrscheinlichkeit für keine Kugel ist gleichfarbig

+ 2

Kugeln sind gleichfarbig berechnen. Das geht nach demselben Prinzip wie bei

a)

.
zu

c)

genau 1 Kugel ist weiss: Gut, was gibt es denn da für Möglichkeiten: 1 Kugel ist weiss und die beiden anderen sind schwarz oder eine ist schwarz, die andere ist rot oder beide anderen sind rot. Auch hier wieder nach demselben Prinzip wie bei

a)

. Die Wahrscheinlichkeit aller Möglichkeiten berechnen und addieren.
zu

d)

da kannst du das über die Negation machen: Berechne die Wahrscheinlichkeit

p,

dass keine Kugel rot ist. Dann muss die Wahrscheinlichkeit, dass mind. eine rot ist, genau

100 % - p

sein.
Alles klar?

sweethome aktiv_icon

16:22 Uhr, 07.11.2010

Ich kann die rechnung nicht aufschreiben und nachrechnen. Die vielen Klammern verwirren mich total. Wie rechne ich die Aufgabe jetzt?

Didgeridoo aktiv_icon

16:25 Uhr, 07.11.2010

Habt ihr in der Schule

(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix})

noch nicht behandelt? Das wäre der Fall ohne Wiederholung ohne Berücksichtigung der Reihenfolge.

z . B

. kann man damit berechnen, wie viele Möglichkeiten es gibt aus

n

Leuten

k

auszuwählen.
Ausgeschrieben wäre

(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) = \frac{n!}{(n - k)! \cdot k!}

sweethome aktiv_icon

16:32 Uhr, 07.11.2010

Doch, das ist ja die allgemeine Formel zum "ziehen mit einem Griff".
Ist hier

n = 15

und

k = 6

? ich komme nicht auf deine Zahlen. Und was steht über, was unter dem Bruchstrich?

p = (63)

⋅

(50)

⋅

(40)

??*??(

153) + (60)

⋅

(53)

⋅

(40

)??*??

(153) + (60)

⋅

(50)

⋅

(43

)??*??

(153)

tut mir wirklich leid..ich bin so schwer von begriff...

Didgeridoo aktiv_icon

16:44 Uhr, 07.11.2010

Hmm, komisch, kannst du es an deinem PC nicht gut lesen? Ich hab's mit dem Formeleditor geschrieben. Naja, egal:
Ich meinte ("6 tief 3")

\cdot (5

tief

0) \cdot (4

tief

0)

das steht oberhalb vom Bruchstrich, es sind die günstigen Fälle. Im Nenner wären dann die möglichen Fälle sprich

(15

tief

3)

Da ziehst du 6 schwarze Kugeln 0 rote und 0 weisse. Insgesamt gibt es

(15

tief

3)

Möglichkeiten. Das wären die möglichen Fälle. Deshalb:

\frac{(\begin{matrix} 6 \\ 3 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 5 \\ 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 0 \end{matrix})}{(\begin{matrix} 15 \\ 3 \end{matrix})}

Dann hast du die erste Wahrscheinlichkeit berechnet, dann musst du noch die Wahrscheinlichkeiten berechnen, dass du 3 weisse, 0 schwarze, 0 rote ziehst sowie die Wahrscheinlichkeit 0 schwarze, 3 rote und 0 weisse zu ziehen. Dann addierst du alle drei Wahrscheinlichkeiten und bekommst die gesamte Wahrscheinlichkeit!

sweethome aktiv_icon

17:05 Uhr, 07.11.2010

Es liegt wohl daran, dass ich den Formeleditor ohne MathPlayer-Plugin nicht lesen kann. Bei mir stehen die Zahlen nebeneinander, das verwirrt ziemlich^^
Aber vielen Dank für deine "Übersetzung"

!!

Bei der

a)

hab ich jetzt als Ergebnis

0,0747

also ca.

7,47 %

. Stimmt das?

- \to

Hab alles ausgerechnet! Vielen vielen Dank für die gute Erklärung und die Hilfe!
Ich schreib am Dienstag nochmal, ob die Ergebnisse, die ich raushabe, alle
stimmen und poste sie dann! :-)

Liebe Grüße

Didgeridoo aktiv_icon

20:32 Uhr, 07.11.2010

Schon gut!

7.47 %

stimmt!!

sweethome aktiv_icon

15:32 Uhr, 09.11.2010

Hab nun den Player runtergeladen und kann alles lesen! :-)

Lösungen zu den anderen Aufgaben sind:

a) 7,47 %

b) 64,83 %

c) 48,35 %

d) 82,6 %

817040

815953

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