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Kombinatorik: 8-stelligen PIN-Code "erraten"
Universität / Fachhochschule
Binomialkoeffizienten
Kombinatorische Optimierung
Tags: Binomialkoeffizient, Diskrete Mathematik, Kombinatorik, Kombinatorische Optimierung
 
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Hallo community, ich habe eine Frage zu einer Aufgabe, die ich momentan bearbeite. Die Aufgabenstellung lautet: Gegeben ist ein 8-stelliger PIN-Code mit folgenden Eigenschaften: 1. die letzten beiden Ziffern sind: 6,7,8 oder 9 (wobei die Ziffern verschieden sind) 2. die ersten 6 Ziffern enthalten: die Folge "141", "33" und die Zahl "4" Frage: Wie viele mögliche PINs gibt es? Ich habe mir zunächst die Möglichkeiten für die letzten beiden Ziffern errechnet und bin dabei auf gekommen. Nun zu den ersten 6. Dort habe ich mir gedacht, dass es sich um "Ziehen ohne Zurücklegen" handelt. Jedoch weiss ich nicht, ob die Reihenfolge eine Rolle spielt, in der ich die beiden Folgen und die Zahl einsetze? Wenn sie eine Rolle spielt, dann käme man ja auf so etwas: "Anzahl Möglichkeiten 141 einzusetzen" "Anzahl Möglichkeiten 33 einzusetzen""Anzahl Möglichkeiten 4 einzusetzen""Anzahl Möglichkeiten 141 einzusetzen" "Anzahl Möglichkeiten 4 einzusetzen""Anzahl Möglichkeiten 33 einzusetzen""Anzahl Möglichkeiten 33 einzusetzen" "Anzahl Möglichkeiten 141 einzusetzen""Anzahl Möglichkeiten 4 einzusetzen"... Insgesamt gibt es 6 Kombinationen, und zwar: Spielt die Reihenfolge keine Rolle, genügt doch: "Anzahl Möglichkeiten 141 einzusetzen" "Anzahl Möglichkeiten 33 einzusetzen""Anzahl Möglichkeiten 4 einzusetzen" oder? Nun hätte ich die Ergebnisse noch für die 6 ersten Ziffern und die letzten beiden miteinander multipliziert, um so die Gesamtanzahl der Kombinationen zu bekommen. Zudem würde ich gerne die Anzahl Möglichkeiten der einzusetzenden Folgen bzw. Zahl als Binomialkoeffizient aufschreiben, weiss jedoch nicht wie. Ich hoffe meine Beschreibung des Problems ist klar und freue mich auf eure Tipps! Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Gemischte Aufgaben der Kombinatorik Kombinatorik: Ziehen mit Reihenfolge und mit Zurücklegen Kombinatorik: Ziehen mit Reihenfolge und ohne Zurücklegen Kombinatorik: Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen |
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Ja, für die letzten beiden Ziffern gibt es nur Möglichkeiten, das ist richtig. Man kann es als Variation von zwei Elementen aus 4 ohne Whg sehen. Die Angabe "2. die ersten 6 Ziffern enthalten: die Folge "141", "33" und die Zahl "4" " ist allerdings unpräzise. Bei rabulisitischer Auslegung könnte man sagen, dass die ersten 6 Ziffern ja ohnedies eine "4" enthalten, die Forderung nach der "4" redundant ist und daher eine Ziffer zusätzlich zu "141" und "33" noch frei wählbar ist (da müsste man bei Wahl der "3" aufpassen). Gemeint ist aber vermutlich, dass die ersten 6 Ziffern zweimal die 4 enthalten, oder? Was du da mit "Anzahl Möglichkeiten einzusetzen" etc. meinst, müsstest du genauer erklären. Und natürlich kommt es auf die Reihenfolge an. Genau genommen ist die Reihenfolge bei den ersten 6 Ziffern das einzige, worauf es ankommt. Du hast doch hier überhaupt sonst keine Wahl! Du hast drei Gruppen von Ziffern, die die ersten sechs Ziffern des Codes bilden. Du musst alle drei genau einmal verwenden und die einzige Frage ist doch, auf wie viele Arten du diese drei Gruppen anordnen kannst Permutation ohne Whg. Zudem würde ich gerne die Anzahl Möglichkeiten der einzusetzenden Folgen bzw. Zahl als Binomialkoeffizient aufschreiben, weiss jedoch nicht wie. Hmm, du hast einmal die Kombi "141" und sollst sie genau einmal wählen. Wenn du dich also gern mit der linken Hand über den Kopf greifend am rechten Ohr kratzen möchtest, dann schreibst du eben unnötigerweise anstatt simpel 1 oder gar nix hinzuschreiben. Oder was meintest du mit dieser Frage genau? |
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Ich habe die Frage genau so aufgeschrieben, wie sie gestellt war. Tut mir leid für das Missverständnis, aber ja, es ist eine weitere "4" damit gemeint. Und zu deinem Beispiel mit der Folge "141". Hier meinte ich, dass es die Möglichkeiten gibt sie an der 1.-3., 2.-4., 3.-5. 4.-6. Stelle einzusetzen, also insgesamt 4 "Plätze". Ich würde nun gerne wissen wie man rechnerisch auf diese 4 Plätze kommt. Setze ich nach der 141 nun die 33 ein, habe ich dafür wiederum 6 Mögliche Plätze. Als letztes setze ich noch die 4 ein. Das insgesamt liefert mir schon einmal 6 unterschiedliche Möglichkeiten die ersten 6 Ziffern auszufüllen. Das gleiche bekomme ich heraus, wenn ich zuerst 33, dann 141 und zum Schluss 4 einsetze. Allerdings möchte ich ja die Anzahl der Wege mit Binomialkoeffizient berechnen. |
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Ich würde nun gerne wissen wie man rechnerisch auf diese 4 Plätze kommt. Anzahl der zur Verfügung stehenden Stellen - Länge der Sequenz . Also Setze ich nach der nun die ein, habe ich dafür wiederum 6 Mögliche Plätze. Sicher nicht! Je nachdem, wo du die "141" platziert hast, hast du für die "33" entweder nur 1 (#141##, ##141#) oder bestenfalls 2 (141###, ###141) Möglichkeiten und die 4 füllt den letzten verbleibenden Platz. Am Ende hast du die 3 Sequenzen "141", "33" und "4" in irgendeiner der (Permutation ohne Whg) möglichen Reihenfolgen am Anfang stehen und danach folgt eine der (Variation ohne Whg) Möglichkeiten, die es für die letzten beiden Stellen gibt. Es gibt also insgesamt nur mögliche Codewörter. |
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Ich glaube wir haben etwas aneinander vorbei geredet. Das meinte ich ja mit der Reihenfolge. Ich habe mal eine Zeichnung gemacht, um zu illustrieren, was genau ich meine. Erklärung der Skizze: Auf den Kanten stehen jeweils die Stellen, an denen ich die Zahl im Knoten einfüge. Aber das erübrigt dann meine Frage wegen der Reihenfolge, weil ich ja die in dem Baum bereits integriert habe, also gibt es insgesamt 6 verschiedene Wege. Allerdings hätte ich die Aufgabe gerne ohne Baum gelöst und nur rein rechnerisch. Was mich eben irritiert hat war, dass wenn ich die "141" an der Stelle 234 einsetze, ich nur eine Möglichkeit habe die "33" einzusetzen, jedoch für "141" bei 123, habe ich 2 Möglichkeiten für die "33". Daher wusste ich nicht wie meine Formel aussieht.  |
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Was mich eben irritiert hat war, dass wenn ich die "141" an der Stelle einsetze, ich nur eine Möglichkeit habe die "33" einzusetzen, jedoch für "141" bei habe ich 2 Möglichkeiten für die "33". Nun, das ist eben ein möglicher, aber vielleicht ungeschickter und aufwändiger Ansatz, an die Aufgabe ranzugehen, da er eine Reihe von Fallunterscheidungen nötig macht und sich daher einer knappoen, einfachen Formel entzieht. Betrachte die Sequenzen "141", "33" und "4" einfach als rot, grüne und weiße Kugel, die du auf drei Plätze anordnen sollst. Mehr steckt da nicht dahinter. Es geht nur um die 6 möglichen Anordnungen dieser Sequenzen. |
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Ja, das war ein Denkfehler meinerseits. Ich stand etwas auf dem Schlauch :-) Danke für die Hilfe! |
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