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Kombinatorik-Aufgaben
Universität / Fachhochschule
Binomialkoeffizienten
Tags: Binomialkoeffizient, Kombinatorik
 
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Hallo zusammen, ich habe Fragen zu ein paar Aufgaben. 1.Aufgabe: Eine Apotheke hat Angestellte, davon sind 4 Männer und 6 Frauen. Auf wieviele Arten kann man eine Arbeitsgruppe bestehend aus 3 Angestellten bilden, so dass zumindest eine Frau und ein Mann in der Arbeitsgruppe vorkommen? Ich habe mir das so gedacht, dass man folgendermaßen rechnet (ich weiß nicht wie man die Formeln im PC tippen muss): aus aus aus aus Ich frage mich ob mein Lsg.Weg stimmt, da ich mir unsicher bin. Habe mir dabei überlegt eben zuerst mit zwei und einer zu rechnen und dann umgekehrt, um die Möglichkeiten zu erhalten. 2.Aufgabe: Wie viele unterschiedliche Möglichkeiten zur Bildung eines Passwortes gibt es, wenn es insgesamt aus drei unterschiedlichen Buchstaben des Alphabets (insgesamt Buchstaben, Groß- und Kleinschreibung ohne Bedeutung) und mindestens maximal 3 Ziffern ist auch möglich) besteht? Ähnlich wie bei der ersten Aufgabe habe ich folgend gerechnet: aus aus aus aus Hier ebenfalls die Frage, ob ich hier richtig vorgegangen bin. 3. Aufgabe (befindet sich im Anhang): Bei dieser Aufgabe ist mir kein Lösungsweg eingefallen. Ich weiß auch nicht wirklich was mit "Zeige" und der "Definition" gemeint ist... Ich freue mich über Antowrten. Lg, Elisa  Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Gemischte Aufgaben der Kombinatorik Kombinatorik: Ziehen mit Reihenfolge und mit Zurücklegen Kombinatorik: Ziehen mit Reihenfolge und ohne Zurücklegen Kombinatorik: Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen |
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1) ist richtig. Folgende Kontrollrechnung ist möglich: basierend auf dem Grundgedanken: Anzahl aller Auswahlen abzüglich der, die nur aus Männern bzw. nur aus Frauen bestehen. Bei 2) machst du gleich mehrere Fehler: a) Du betrachtest nur Auswahlen, aber nicht die Anordnungen der ausgewählten Zeichen - die ist aber bei Passwörtern bekanntlich wichtig! b) Du lässt keine Mehrfachwahl von Ziffern zu - laut Aufgabenformulierung ist das aber nicht ausgeschlossen. Zu 3) "Zeige" ist ein Synonym für "Beweise" . |
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Erstmal danke für die Antwort! Um die Reihenfolge bei der 2.Aufgabe zu berücksichtigen müsste ich ja bei den Buchtstaben, die unterschiedlich sein müssen, zum Beispiel ja so rechnen: Und bei den Zahlen dann ja: Ich habe aber keine Idee, wie ich das alles miteinander verknüpfen soll. |
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Möglichkeiten zur Auswahl der drei Buchstaben (zunächst noch ohne Reihenfolge) ist ja zunächst richtig. Fall 1 "Genau drei Ziffern": Hier hat man Möglichkeiten, die drei Buchstaben auf drei der sechs Passwortpositionen zu platzieren (mit Berücksichtigung der Reihenfolge der Buchstaben!). Die drei Restpositionen für die Ziffern stehen dann automatisch fest, nur ihre Werte nicht - dafür bestehen dann Möglichkeiten Fall 2 "Genau zwei Ziffern": Verläuft ähnlich wie Fall 1, nur dass man hier nur Möglichkeiten, die drei Buchstaben zu positionieren. Für die zwei Ziffern bestehen hier Möglichkeiten. Summma summarum ist die gesuchte Anzahl . |
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Vielen Dank für die ausführliche Lösung! Alleine wäre ich nie darauf gekommen, denn ich muss den Lösungsweg noch immer "verarbeiten" :-) Ich habe mich auch weiter an der 3.Aufgabe versucht, aber ich scheitere schon am Anfang kläglich, denn ich weiß nicht wie ich den Beweis konstruieren soll. Wäre super, wenn du mir hier auch die Lösung erklären könntest. (Oder eben nur die Lösung und ich überlege mir dann den Lsg.weg daraus, falls es zu lang ist). |
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Verwende doch einfach die Definition des Binomialkoeffizienten über die Fakultäten, das ist . Die eingesetzt ist die zu beweisende Behauptung äquivalent zu . Von den Fakultäten kennt man nun die rekursive Eigenschaft bzw. natürlich auch (mit statt ) dann . Wenn du damit den Beweis nicht hinkriegst, dann weiß ich auch nicht weiter. |
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Hi, danke für die Antwort :-) Genügt das als Beweis, wenn man das so hinschreibt, oder muss man möglicherweise noch was dazu beschreiben? |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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