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Kombinatorik Aufgaben

Universität / Fachhochschule

Binomialkoeffizienten

Tags: Binomialkoeffizient

ray11 aktiv_icon

15:01 Uhr, 28.06.2020

Hallo, ich bräuchte etwas Hilfe bei folgender Kombinatorikaufgabe:

Das Hotel „Waldesruh“ hat 4 Stockwerke mit jeweils

40

Zimmern. Jedes Stockwerk besteht aus zwei
gegenüberliegenden Zimmerreihen mit je

20

Zimmern.

(a)

Ein Kegelverein möchte sechs nebeneinanderliegende Zimmer mieten. Wie viele Möglichkeiten
gibt es, diesen Wunsch zu erfüllen, wenn noch alle Zimmer des Hotels frei sind?

(b)

Der Kegelverein wurde im vierten Stock untergebracht. Nun bestellen vier Ehepaare jeweils
ein Zimmer. Jedes Zimmer wird zufällig zugewiesen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind alle
vier Zimmer im gleichen Stockwerk, wenn zu diesem Zeitpunkt nur die sechs Zimmer des
Kegelvereins im vierten Stock vergeben sind?

(c)

Jeder Hotelgast bekommt ein kleines Willkommensgeschenk, eine Tüte mit Gummibärchen.
Man hat Gummibärchen in fünf verschiedenen Farben zur Auswahl, von jeder Farbe hat man
über

1000

Gummibärchen zur Verfügung. Wie viele Möglichkeiten gibt es, eine Tüte mit

20

Gummibärchen zu füllen?

Zu (a)

:

Zuerst brauche ich denselben Stock

\Rightarrow (\begin{matrix} 4 \\ 1 \end{matrix})

Dann brauche ich dieselbe Seite

\Rightarrow (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix})

Und schlussendlich 6 Zimmer nebeneinander wobei das 1. Zimmer frei gewählt werden kann

\Rightarrow \frac{5!}{20^{5}}

Also:

(\begin{matrix} 4 \\ 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}) \cdot \frac{5!}{20^{5}}

Wäre das richtig?
zu

(b)

und

(c)

habe ich noch keine Lösung.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Kombinatorik: Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen

Roman-22

15:11 Uhr, 28.06.2020

Dein

\frac{5!}{20^{5}}

ist eigentümlich. Welche Überlegung steckt da dahinter?
Es ist ja außerdem nur nach einer Anzahl und nicht nach einer WKT gefragt - dein Ausdruck liefert kein ganzzahliges Ergebnis!.

Bei

20

nebeneinanderliegenden Zimmern gibt es doch nur

15

Möglichkeiten für das "erste" Zimmer und damit sind das aber auch schon alle Möglichkeiten (pro Zimmerreihe).

ray11 aktiv_icon

15:19 Uhr, 28.06.2020

Naja ich dachte mir das erste Zimmer ist ja egal wo das ist, es müssen nur die restlichen 5 dann neben dem ersten sein, deshalb

\frac{20}{20}

für das erste. Und die anderen 5 müssen eben nebeneinander sein und daher

\frac{5}{20} \cdot \frac{4}{20} \cdot \frac{3}{20} \cdot \frac{2}{20} \cdot \frac{1}{20} = \frac{5!}{20^{5}}

Warum wäre diese Denkweise nicht korrekt?

Roman-22

15:25 Uhr, 28.06.2020

>

Warum wäre diese Denkweise nicht korrekt?
Zum einen, weil du mit Wahrscheinlichkeiten hantierst, obwohl nur Anzahlen gefragt sind und zum anderen, weil du Möglichkeiten mehrfach "zählst". Abgesehen davon kannst du das zweite Zimmer ja gar nicht auf 5 von

20

Arten wählen, denn das erste Zimmer steht für die Wahl nicht zur Verfügung - es wäre also bestenfalls ein Wahl von 5 Möglichen aus

19

.
Denk dir die

20

Zimmer nebeneinander aufgezeichnet und von 1 bis

20

nummeriert. und jetzt leg in Gedanken ein Rechteck darüber, welches genau sechs Zimmer "lang" ist. Auf wie viele Arten kannst du dieses Rechteck platzieren?
Da kommen doch nur die

15

Möglichkeiten

1 . . 6, 2 . . 7, 3 . . 8,

usw. bis

15 . . 20

infrage.

ray11 aktiv_icon

15:28 Uhr, 28.06.2020

Ah ok, ja das macht auch Sinn.
Dann wären die Möglichkeiten ( inkl der Stockwerke und Seiten)

(\begin{matrix} 4 \\ 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}) \cdot 15

Roman-22

15:36 Uhr, 28.06.2020

ja, ausgerechnet also

120

Für die Aufgabe

b)

denk an Hypergeometrische Verteilung - sagt dir der Begriff etwas?. Falls nicht, ist das auch kein Beinbruch.
Es stehen

154

Zimmer zur Verfügung und

34

davon befinden sich im 4. Stock. Gesucht ist die WKT, dass vier zufällig gewählte Zimmer sich alle im 4. Stock befinden.
EDIT: Hatte die Angabe schlampig gelesen. Gesucht ist in Wahrheit die WKT, dass sich alle vier Zimmer im gleichen Stockwerk (nicht notwendigerweise im

4 .)

befinden.

ray11 aktiv_icon

15:44 Uhr, 28.06.2020

Ja hypergeometrisch sagt mir was, allerdings hatte ich das dann doch meistens mit Binomialverteilung gelöst da ich das einfacher fand.
Da hier die Wkt gefragt ist würde ich prinzipiell "# der günstigen Fälle"/"# der möglichen Fälle"
Mögliche Fälle sind ja

(\begin{matrix} 154 \\ 4 \end{matrix}),

da dort der selbe Stock nicht relevant ist.
Günstige Fälle wären dann alle jene die in einem Stock sind. Also für den

1 - 3

. Stock:

(\begin{matrix} 40 \\ 4 \end{matrix})

und für den 4. Stock:

(\begin{matrix} 34 \\ 4 \end{matrix})

.
Dann hätte ich bisher

\frac{(\begin{matrix} 40 \\ 4 \end{matrix}) \cdot 3 + (\begin{matrix} 34 \\ 4 \end{matrix})}{(\begin{matrix} 154 \\ 4 \end{matrix})}

. Nur müsste ich hier ja noch die Auswahl des Stocks berücksichtigen oder?
Wie würde das mit hypergeometrischer Verteilung funktionieren?

Roman-22

15:51 Uhr, 28.06.2020

>

Nur müsste ich hier ja noch die Auswahl des Stocks berücksichtigen oder?
Nein, das hast du ja de facto schon. Du verwendest ja die "Formel" "Günstige" durch "Mögliche" und da geht es im Zähler und im Nenner jeweils nur um Anzahlen, nicht um Wahrscheinlichkeiten.
Dein Ansatz ist vollkommen richtig. Direkt mit HG gehts nicht - ich hatte die Angabe ursprünglich schlampig gelesen (ist oben schon entsprechend korrigiert).
Wenn man HG mit Gewalt in Spiel bringen möchte, müsste man die Formel viermal anwenden (für jedes Stockwerk extra) und die Ergebnisse dann addieren. Damit kommt man dann natürlich ebenfalls auf den von dir angegebenen Ausdruck.

ray11 aktiv_icon

15:58 Uhr, 28.06.2020

Ok verstehe. Also im Grunde hätte ich hier ja jeweils 4 einzelne Wkt für jeden Stock. Da ich diese schon auf einen Bruch geschrieben habe ist die Stockauswahl schon dabei, kann man das so sehen?

Ich habe mittlerweile auch die

(c)

probiert:
Eigentlich ist hierfür total egal ob es über

1000

Gummibärchen sind solange es mind.

20

sind oder? Denn es geht ja nur um die Möglichkeiten 1 Tüte zu füllen.
Da es 5 Farben gibt habe ich für jeden der

20

Plätze (der Tüte) 5 verschiedene Möglichkeiten, also

5^{20}

. Oder doch falsch gedacht?

Roman-22

16:26 Uhr, 28.06.2020

>

\frac{(\begin{matrix} 40 \\ 4 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 114 \\ 0 \end{matrix})}{(\begin{matrix} 154 \\ 4 \end{matrix})}

. das Ganze genau so nun auch für den zweiten und dritten Stock und leicht modifiziert für den vierten Stock und dann addieren. HG hier einzubringen ist hier allerdings ein wenig Overkill.

>

Eigentlich ist hierfür total egal ob es über

1000

Gummibärchen sind solange es mind.

20

sind oder?
Ja, das ist völlig richtig. In der Aufgabe geht es ja nur um EINE Tüte. Solange da von jeder Farbe mindestens

20

da sind, reicht das.

> 5^{20}

. Oder doch falsch gedacht?
Die

5^{20}

wären richtig, wenn es in der Tüte auf die Reihenfolge der Bärchen ankäme. Also wenn man die Bären durchnummeriert und es nicht egal wäre ob der erste Bär rot ist oder der siebzehnte.
Aber es geht hier nicht um die Reihenfolge, sonder nur um das Verhältnis der Farben zueinander. Also um so etwas wie

12

rote, 3 grüne, 3 gelbe, 2 weiße und kein orangener.
Es geht hier also nicht um eine Variation (Reihenfolge wesentlich), sondern um eine Kombination. Genauer um eine Kombination mit Wiederholung. Es wird 20-Mal aus einer Menge von 5 Farben gewählt. Ich nehme an, dass ihr dafür eine Formel gelernt habt.
Ansonsten kann man das auch nachschlagen. Für die Herleitung der Formel siehe zB shorturl.at/lszMY (dort wird auch mit Gummibärchen hantiert :-)
Zu deiner Kontrolle: Du solltest auf

10626

mögliche Tütenfüllungen kommen.

ray11 aktiv_icon

18:30 Uhr, 28.06.2020

Danke für die ausführliche Hilfe.

Ja die Formel

(\begin{matrix} n + k - 1 \\ k \end{matrix})

ist auch die, die wir haben.

Warum ist hier

n = 5

und

k = 20

und nicht umgekehrt? Ich dachte

n

sei die Gesamtanzahl der möglichen Plätze was ja

20

wäre?

Prinzipiell wäre es ja einfach die 6 Formeln für die Kombinatorik zu lernen, aber das Problem liegt oft eher daran, dass ich nicht erkenne ob es nun Variation oder Kombination ist. Das ist wohl einfach viel Übung.

Roman-22

20:59 Uhr, 28.06.2020

>

Warum ist hier

n = 5

und

k = 20

und nicht umgekehrt? Ich dachte

n

sei die Gesamtanzahl der möglichen Plätze was ja

20

wäre?

Nein, nehmen wir das Urnenmodell. Die 5 (=Farbenanzahl) ist die Anzahl der unterschiedlichen Kugel in der Urne. Und nun wird

20

Mal mit Zurücklegen gezogen und das Ergebnis ohne Berücksichtigung der Reihenfolge betrachtet.
Man "zieht" 20-mal und hat jedes Mal 5 Möglichkeiten - kurz: "20 aus 5"

Das Erkennen ist im der Tat oft die Schwierigkeit und da hilft tatsächlich nur Übung und Routine. Oft ist es auch hilfreich, zu versuchen, die Aufgabe aufs klassische Urnen-Modell zurückzuführen, um leichter draufzukommen, worum es sich handelt.

ray11 aktiv_icon

10:37 Uhr, 29.06.2020

Ok verstehe. Das hilft mir auf jeden Fall weiter.
Vielen Dank für deine Hilfe. Dann werde ich noch ein bisschen üben.

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