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Kombinatorik - Aufteilung auf Schubladen
Universität / Fachhochschule
Binomialkoeffizienten
Tags: Binomialkoeffizient
 
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Hallo, folgendes Beispiel: Gegeben seien 28 nicht unterscheidbare Socken. Diese sollen auf 5 verschiedene Schubladen aufgeteilt werden, wobei in jeder Schublade mind. 4 Socken sein müssen. Ich habe mir das Ganze so gedacht, dass 5*4=20 Socken fix in den Schubladen liegen. Danach habe ich 8 Socken übrig, die ich auf die 5 Schubladen aufteilen kann - Auswahl einer Teilmultimenge, womit ich , somit Möglichkeiten habe, die Socken aufzuteilen. Kann das vielleicht jemand verifizieren? :-) Danke, lG Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: | |
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"nicht unterscheidbare Socken" dann ist es doch völlig egal, wieviele in welcher Schublade liegen ;-) |
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anonymous 22:48 Uhr, 18.02.2019 |
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nicht ganz: in jeder Schublade sollen mindestens 4 Socken liegen. Letztendlich sind 8 Socken (irgendwie) auf 5 Schubladen zu verteilen... |
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anonymous 22:52 Uhr, 18.02.2019 |
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Hallo lap00g Die gute Nachricht zuerst: Deine Antwort ist richtig! Die Frage ist nur: zu welcher Aufgabe? Aus der Aufgabenstellung geht nämlich nicht so ganz eindeutig hervor, wie sie zu verstehen ist. Aufgabe "...5 verschiedene Schubladen..." könnte man so interpretieren, dass die Schubladen unterscheidbar sind. Stell dir vor: eine der Schubladen ist in der Wohnzimmerkommode, eine der Schubladen ist im Küchenschrank, eine der Schubladen ist im Nachtschränkchen, eine der Schubladen ist in der alten Truhe auf dem Speicher, und eine der Schubladen ist im Keller im Werkzeugschrank. Ich empfehle dann immer, sich die Aufgabe anhand eines ausformulierte Ergebnis-Beispiels klar zu machen. Ein zufälliges Ergebnis-Beispiel könnte dann lauten: in der Wohnzimmer-Schublade sind 6 Socken, in der Küchen-Schublade sind 5 Socken, in der Nachtschrank-Schublade sind 4 Socken, in der Truhen-Schublade sind 9 Socken, in der Werkzeug-Schublade sind die verbleibenden 4 Socken. Aufgabe "...5 verschiedene Schubladen..." könnte man so interpretieren, dass die Schubladen alle aus einer großen Schubladenkommode stammen, und nicht weiter unterschieden werden. Ein zufälliges Ergebnis-Beispiel würde dann vielleicht lauten: in zwei Schubladen sind je 4 Socken, in einer Schublade sind 5 Socken, in einer Schublade sind 6 Socken, in einer Schublade sind 9 Socken. Also, lap00g, welche dieser Aufgaben hast du gelöst? Der Übung halber empfehle ich, auch noch die andere Aufgabe zu lösen. Viel Spaß! |
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anonymous 23:03 Uhr, 18.02.2019 |
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Der Text lässt die Interpretation b) nicht zu. |
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anonymous 23:10 Uhr, 18.02.2019 |
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@irrsinn Auch ich halte es für wahrscheinlicher, dass der Aufgabensteller dieses "verschiedene" in den Aufgabentext eingeflochten hat, um die Unterscheidbarkeit der Schubladen herauszustellen. So ganz ausschließen würde ich die Interpretation gemäß aber nicht - und allemal die Übung wert. |
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Danke an alle für die Mitarbeit! Als Anmerkung: Ich bin zwar nicht "Erfinder" dieses Beispiels, bin jedoch von der Annahme a) von 11engleich ausgegangen. |
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anonymous 07:28 Uhr, 19.02.2019 |
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Hallo nochmals Ja korrekt, die Lösung der Aufgabeninterpretation ist Mit der Sprache ist es so eine Sache. Man muss schon Fuchs und Hase sein, um sich unmissverständlich auszudrücken. Ich habe mal ein Beispiel herausgesucht, um das zu unterstreichen: das altbekannte Lotto Wir sind uns höchst wahrscheinlich einig: Die 6 entscheidenden Kugeln aus den verfügbaren Kugeln fallen in 6 VERSCHIEDENE Glasröhren. Man könnte also durchaus unterscheiden und die Reihenfolge, in der die Kugeln gezogen werden, beachten. Man könnte. Aber - wir wissen - Lotto ist dem Sinn und Hintergrund nach eindeutig eine Kombination. Auch wenn die Kugeln in verschiedene Glasröhren fallen, die Reihenfolge wird nicht beachtet. Willst du die noch... ?  |
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Hallo, bei (b) hänge ich wohl ein bisschen. Ich wäre es so angegangen, dass ich mir ein "Miniversum" aus dem gegebenen Beispiel baue. Sagen wir, dass ich 4 Socken auf 2 Schubladen aufteilen muss. Aus meiner Sicht gibt es dann folgende Möglichkeiten: (1) Schublade #1: 4 Socken, Schublade #2: 0 Socken (2) Schublade #1: 3 Socken, Schublade #2: 1 Socke (3)(i) Schublade #1: 2 Socken, Schublade #2: 2 Socken (3)(ii) Schublade #1: 2 Socken, Schublade #2: 2 Socken => (3) = (3)(i) = (3)(ii) (4) Schublade #1: 1 Socke, Schublade #2: 3 Socken (5) Schublade #1: 0 Socken, Schublade #2: 4 Socken Es gibt also insgesamt 5 Möglichkeiten 4 Socken auf 2 Schubladen, wenn diese wie in Aufgabe (b) beschrieben sind, zu verteilen. Ein bisschen erinnert das Beispiel ja an das gleichzeitige Würfeln mit zwei nicht unterscheidbaren Würfeln, deren Augensumme die Anzahl der Socken sein muss (und man zusätzlich annimmt, dass es die Augenzahl 0 auf dem Würfel gibt :-)). Eine Formel, um dies für einen allgemeinen Fall zu lösen fällt mir an dieser Steller leider nicht ein :-( |
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b) kann man interpretieren als Partitionen der Zahl in genau 5 positive Summanden ohne Beachtung der Reihenfolge, das ist (ich verwende dieselbe Bezeichnung wie in de.wikipedia.org/wiki/Partitionsfunktion ). Eine schöne explizite Darstellung für dieses gibt es nicht, nur eine rekursive mit den Start- bzw. Randwerten für sowie für . Damit ergibt sich . |
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anonymous 15:57 Uhr, 21.02.2019 |
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Ja, die Aufgabeninterpretation ist ungleich schwerer. Auch ich tu mir nach wie vor schwer damit. Deine Vorgehensweise ist aber schon ganz richtig. Ich bin ebenso vorgegangen. Einfach abzählen. Danke auch HAL, du schenkst uns den richtigen Fachbegriff: Partition. Vermutlich bist du nur ein wenig verheddert. Ich vermute, es ist die Zahl Socken in Partitionen zu zerlegen. Das kann man noch einigermaßen von Hand / auf Papier / mit Bleistift. Es sind auch ein paar Partitionen dabei, die mehr als 5 Schubladen erforderten. Die muss man dann eben wieder aussortieren. Sorry, dass ich so auf der rumgeige. Ich bereuhe es inzwischen. Wahrscheinlich war wirklich die wesentlich einfachere Aufgabeninterpretation gemeint. Danke lap00g, dass du dich nochmals motivieren ließest. Wir sind ja alle zum Lernen da. |
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> Vermutlich bist du nur ein wenig verheddert. Ich vermute, es ist die Zahl 28-5·4=8 Socken in Partitionen zu zerlegen. Schon das zweite altgediente Forummitglied, was mir in den letzten zwei Tagen einen Fehler unterstellt. Nein, das war kein Irrtum, sondern so gewollt: Die Partitionsfunktion zählt die Möglichkeiten der Zerlegung der Zahl in genau POSITIVE (!) Summanden. POSITIV bedeutet , und ist damit was anderes als NICHTNEGATIV . Wenn wir das ganze hier also mit beschreiben wollen, so muss von den "mindestens 4 Socken" wenigstens noch "mindestens 1 Socke" übrig bleiben, es werden daher pro Schublade nur 3 Socken abgezogen. Ist alles schon sorgfältig durchdacht. :-) |
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