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Kombinatorik, Buchstaben

Schüler

Tags: Buchstaben, Kombination, Kombinatorik, permutation, Variation

Marie1278 aktiv_icon

15:16 Uhr, 26.03.2018

Hallo,

Ich habe noch ein paar grundlegende Probleme bei der Kombinatorik.

Hier ist eine (eigentlich) einfache Aufgabe

Es soll ein Wort aus insgesamt 4 Konsonanten und 2 Vokalen gebildet werden (es gibt

26

Buchstaben im Alphabet, 5 davon sind Vokale)
Wie viele Möglichkeiten gibt es ein solches Wort zu bilden

Lösung:

(5

über

2) \cdot (21

über

4)

(Sry, von meinem Handy, kann es nicht anders schreiben)

Ich verstehe nun nicht, warum man in diesem Fall lediglich multipliziert, müsste es nicht mehr Möglichkeiten geben, da man ja die ersten zwei Buchstaben aus den Vokalen nicht lediglich nebeneinander anordnen kann, sondern beliebig innerhalb der fünft "Plätze"

Ansonsten wùrde ich gerne den Unterschied zu folgender Aufgabe verstehen

Gib an, auf wieviele Arten sich 5 Personen in eine Reihe setzen können.
Wieviel Möglichkeiten gibt es, wenn zwei davon unbedingt nebeneinandersitzen wollen ?
Lösung

b) 4 \cdot 3! \cdot 2!

In diesem Falle multipliziert man kann auch nicht lediglich

3! \cdot 2!,

da man das Paar beliebig innerhalb der 5 Plätze anordnen kann

Über eine Antwort würde ich mich freuen
Mit freundlichen Grüßen
Marie

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Gemischte Aufgaben der Kombinatorik
Kombinatorik: Ziehen mit Reihenfolge und mit Zurücklegen
Kombinatorik: Ziehen mit Reihenfolge und ohne Zurücklegen
Kombinatorik: Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen

anonymous

15:37 Uhr, 26.03.2018

Hallo
Ich verstehe auch nicht, wie du auf die von dir benannte "Lösung" kommst.

a)

2 Vokale und 4 Konsonanten, wie viel Buchstaben sind das eigentlich?

b)

Angenommen, du kämst hierbei auf 6 Buchstaben,
wie viele Möglichkeiten hast du, unter diesen 6 Buchstaben genau 2 Vokale anzuordnen?

c)

Betrachten wir den ersten Buchstaben, der ein Vokal sein soll.
Wie viele Möglichkeiten stehen hierfür zur Verfügung?

d)

Betrachten wir den zweiten Buchstaben, der ein Vokal sein soll.
Wie viele Möglichkeiten stehen hierfür zur Verfügung?

e)

Betrachten wir den ersten Buchstaben, der ein Konsonant sein soll.
Wie viele Möglichkeiten stehen hierfür zur Verfügung?

f)

Betrachten wir den zweiten Buchstaben, der ein Konsonant sein soll.
Wie viele Möglichkeiten stehen hierfür zur Verfügung?

g)

Betrachten wir den dritten Buchstaben, der ein Konsonant sein soll.
Wie viele Möglichkeiten stehen hierfür zur Verfügung?

h)

Betrachten wir den vierten Buchstaben, der ein Konsonant sein soll.
Wie viele Möglichkeiten stehen hierfür zur Verfügung?

i)

Also zusammenfassend, wie viele Worte sind möglich?

Marie1278 aktiv_icon

15:49 Uhr, 26.03.2018

Das stand hier in den Lösungen (Aufgabe

7)

www.wiwiweb.de/wahrscheinlichkeitsrechnung/kombinatorik/aufgaben-beispiele-und-berechnungen-zur-kombinatorik.html

Und nach deiner Überlegung--> müsste es dann nicht

6 \frac{!}{4}! \cdot 2!

sein?

Marie1278 aktiv_icon

15:51 Uhr, 26.03.2018

Ich meine

6! : (4! \cdot 2!)

anonymous

15:58 Uhr, 26.03.2018

Hallo
Ich hoffe, du meinst die Antwort auf meine Frage

b)

b)

Ja, wenn du 6 Stellen in eine Urne wirfst, und 2 davon (ohne Reihenfolge, ohne Wiederholung) ziehst, dann hast du

(\begin{matrix} 6 \\ 2 \end{matrix}) = \frac{6!}{4! \cdot 2!}

Möglichkeiten.

Guten Mutes.
Was meinst du zu den restlichen Fragen?

Marie1278 aktiv_icon

16:09 Uhr, 26.03.2018

Hallo,

ich bin echt nicht so gut in diesem Thema

Also, wenn man jetzt jeden Zug einzeln betrachtet

C)

wie viele Möglichkeiten gibt es einen Vokal zu verteilen?
6 Möglichkeiten

D)

beim zweiten nur noch 5

E)

erster Konsonant nur noch 4

F)

zweiter Konsonanten nur noch 3

G)

dritter Konsonant nur noch 2

H)

vierter Konsonant nur noch eine

Ist das richtig?

Marie1278 aktiv_icon

16:09 Uhr, 26.03.2018

Hallo,

ich bin echt nicht so gut in diesem Thema

Also, wenn man jetzt jeden Zug einzeln betrachtet

C)

wie viele Möglichkeiten gibt es einen Vokal zu verteilen?
6 Möglichkeiten

D)

beim zweiten nur noch 5

E)

erster Konsonant nur noch 4

F)

zweiter Konsonanten nur noch 3

G)

dritter Konsonant nur noch 2

H)

vierter Konsonant nur noch eine

Ist das richtig?

Roman-22

16:11 Uhr, 26.03.2018

>

müsste es nicht mehr Möglichkeiten geben, da man ja die ersten zwei Buchstaben aus den Vokalen nicht lediglich nebeneinander anordnen kann, sondern beliebig innerhalb der fünft "Plätze"

Ich gebe dir vollkommen Recht mit deinem Einwand (bis auf die Tatsache, dass es sich um 6 Plätze handelt).
Abgesehen davon ist in der Angabe, soweit du sie hier eingestellt hast, nicht ausgeschlossen, dass Buchstaben mehrfach vorkommen. Jedenfalls steht da nicht, dass die 6 Buchstaben paarweise verschieden sein müssen. So gesehen ist die angegebene Formel sowieso falsch.

Wenn gefordert wird, dass alle Buchstaben verschieden sein müssen, dann wäre die Lösung in der Tat so wie von dir offenbar angedacht

(\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 21 \\ 4 \end{matrix}) \cdot 6!

Allerdings - nachdem du nun endlich den Link zu der Aufgabenstellung geliefert hast wird dir hoffentlich auch aufgefallen sein, dass du den dort angebrachten wichtigen Hinweis "ohne Berücksichtigung der Reihenfolge" leider unterschlagen hast. Und dmit werden die

6!

auch schon wieder hinfällig.
Außerdem steht in der Angabe ganz deutlich, dass es sich um jeweils verschiedene Buchstaben handeln soll, was die Sache dann eindeutig und klar macht.

In Zukunft also bitte keine Angabefragmente posten, sondern die vollständige und unveränderte Aufgabenstellung.

Marie1278 aktiv_icon

16:43 Uhr, 26.03.2018

Ok, ja stimmt, nächstes mal sollte ich die Aufgabenstellung besser lesen.
Wenn jedoch die Reihenfolge relevant wäre, warum müsste man dann mit

6!

multiplizieren?
Kannst du mir das erklären?

Roman-22

17:13 Uhr, 26.03.2018

>

Wenn jedoch die Reihenfolge relevant wäre, warum müsste man dann mit

6!

multiplizieren?
Nun, die

(\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 21 \\ 4 \end{matrix})

sind die Anzahl der Möglichkeiten, die 6 verschiedenen Buchstaben für das Wort zu wählen.

Nun hast du die 6 Buchstaben in deiner Hand und sollst sie der nebeneinander auf den Tisch legen, damit ein "Wort" entsteht.

Wie viele Möglichkeiten hast du nun für den ersten Platz in deinem Wort? Du kannst frei jeden beliebigen der 6 Buchstaben in deiner Hand hinlegen. Für den zweiten Buchstaben in deinem Wort hast du nun nur mehr 5 Buchstaben in deiner Hand zu Wahl. Wir sind also bei

6 \cdot 5

Möglichkeiten für die ersten beiden Buchstaben. Na, und so gehts nun weiter, bis dir für den letzten Buchstaben im Wort nur noch der letzte Buchstabe in deiner Hand übrig bleibt. Damit haben wir

6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6!

Möglichkeiten, die 6 Buchstaben anzuordnen. Das nennt man auch eine Permutation.
Bei der Wahl der 4 verschiedenen Konsonanten aus den

21

möglichen spricht man von einer Kombination ohne Wiederholung (bzw. "ohne Zurücklegen", wenn man an das scheinbar unvermeidliche Urnenmodell denkt).
Sind dir diese Bezeichnungen ein Begriff?

Marie1278 aktiv_icon

00:03 Uhr, 27.03.2018

Vielen Dank!
Habe jetzt alles verstanden

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