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Kombinatorik, Gruppenaufteilung

Schüler

Tags: Gruppen, Kombiation, Kombinatorik, permutation, Variation

Marie1278 aktiv_icon

10:48 Uhr, 02.04.2018

Hallo!

Folgende Aufgabe ist gegeben:

Wieviele Möglichkeiten gibt es,

14

Personen in 6 Grppen aufzuteilen, von denen 2 je
3 Personen und die restlichen 4 je 2 Personen enthalten ?

Lösung:

(14

über

3) \cdot (11

über

3) + (8

über

2) \cdot (6

über

2) \cdot (4

über

2) \cdot (2

über

2) \cdot (\frac{1}{4}! \cdot 2!)

Ich hatte die gleiche Überlegung, jedoch verstehe ich nicht wie man auf die

(\frac{1}{4}! \cdot 2!)

kommt

Über eine Antwort würde ich mich freuen!
Mit freundlichen Grüßen
MArie

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Gemischte Aufgaben der Kombinatorik
Kombinatorik: Ziehen mit Reihenfolge und mit Zurücklegen
Kombinatorik: Ziehen mit Reihenfolge und ohne Zurücklegen
Kombinatorik: Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen

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11:24 Uhr, 02.04.2018

Steht da wirklich

\frac{1}{4}!

? Fakultät von

\frac{1}{4}

kommt in der Schule nicht vor.

Das Plus muss ein Mal sein.

Femat aktiv_icon

11:40 Uhr, 02.04.2018

Hallo du hast die Aufgabenstellung richtig falsch abgeschrieben.(Grppen)

Hingegen hast du die Lösung falsch abgeschrieben.

Marie1278 aktiv_icon

13:45 Uhr, 02.04.2018

Hallo,

verzeihung, das stimmt

es heißt Gruppen

und es ist

1 : (4! \cdot 2!)

Marie1278 aktiv_icon

13:47 Uhr, 02.04.2018

(14

über 3)⋅(11 über

3) \cdot (8

über 2)⋅(6 über 2)⋅(4 über 2)⋅(2 über 2)⋅(1:(4!⋅2!))

anonymous

14:47 Uhr, 02.04.2018

Hallo
Auf jeden Fall müssen wir uns erst mal über die Aufgabenstellung klar werden.
So wie die nämlich spärlich formuliert ist, kann man die nämlich missverstehen oder anders verstehen.

Um uns besser zu verständigen, sollten wir den Dingen mal Namen geben.
Geben wir doch den

14

Personen mal Buchstaben als Namen.
Es seien die Personen:

a, b, c, d, e, f, g, h, i, k, l, m, n, p

Geben wir doch den Gruppen mal griechische Buchstaben.
Es seien die Gruppen:

α, β, γ, δ, ε, ζ

Zum Glück haben wir eine Lösung.

1 .)

So viel sei verraten: Die Lösung gilt, wenn die Personen zwar zu unterscheiden sind, nicht aber die Gruppen.
Dann lautet nämlich eine denkbare Lösungsvariante:

a, b, c

bilden eine Gruppe (offensichtlich eine 3-er Gruppe),

d, e, f

bilden eine Gruppe (offensichtlich eine 3-er Gruppe),

g, h

bilden eine Gruppe (offensichtlich eine 2-er Gruppe),

i, k

bilden eine Gruppe,

l, m

bilden eine Gruppe,

n, p

bilden eine Gruppe.

2 .)

Hätten wir nur die spärliche Aufgabenstellung, die könnte man auch so verstehen, dass sowohl die Personen als auch die Gruppen zu unterscheiden sind.
Dann lautete eine denkbare Lösungsvariante:

a, b, c

bilden die Gruppe

α,

(die soll das Geschirr spülen),

d, e, f

bilden die Gruppe

β,

(die soll die Küche wischen),

g, h

bilden die Gruppe

γ,

(die soll den Keller aufräumen),

i, k

bilden die Gruppe

δ,

(die soll einkaufen),

l, m

bilden die Gruppe

ε,

(die soll die Fahrräder putzen),

n, p

bilden die Gruppe

ζ,

(die soll den Salat anmachen).

3 .)

Hätten wir nur die spärliche Aufgabenstellung, die könnte man auch so verstehen, dass wohl die Gruppen, nicht aber die Personen zu unterscheiden sind.
Dann lautete eine denkbare Lösungsvariante:
Die Gruppen

β

und

ζ

sind die Dreier-Gruppen,
die restlichen Gruppen bilden die Zweier-Gruppen.

Zur Übung empfehle ich bei so mäßigen Aufgabenstellungen immer alle Aufgaben-Varianten zu lösen. Wenn man die

1 .)

erst mal hat, dann ist der Rest nicht mehr schwer.
Viel Spaß!

Roman-22

20:58 Uhr, 03.04.2018

Zu deiner Frage, woher die Division kommt:

Dir ist also klar, dass

(\begin{matrix} 14 \\ 3 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 11 \\ 3 \end{matrix})

die Anzahl der Möglichkeiten angibt, erst die erste Dreiergruppe und danach die zweite Dreiergruppe zu wählen.
Wir könnten so als für die erste Dreiergruppe Anton, Aische und Alex auswählen und für die zweite Dreiergruppe Berta, Bernd und Beatrix.
Wir hätten aber auch für die erste Dreiergruppe Berta, Bernd und Beatrix wählen könne und für die zweite dann Anton, Aische und Alex.
Wenn man die Aufgabe nun so versteht, dass zwischen den Gruppen nicht unterschieden wird, dann sind diese beiden Auswahlen gleichwertig und wir haben sie doppelt gezählt. daher müssen wird durch

2!

(Permutation von 2 Elementen) dividieren.
Eine ähnliche Überlegung muss bei den vier Zweier-Gruppen angestellt werden - jede Anordnung der vier Gruppen ist uns gleich lieb und dafür gibts

4!

Möglichkeiten. Also müssen wir auch noch durch

4!

teilen.

anonymous

05:23 Uhr, 06.04.2018

Entweder

\frac{14!}{3! \cdot 3! \cdot 2! \cdot 2! \cdot 2! \cdot 2!},

oder, falls die Gruppen nur durch ihre
Mitglieder definiert werden:

(\frac{14!}{3! \cdot 3! \cdot 2! \cdot 2! \cdot 2! \cdot 2!}) \cdot \frac{1}{2! \cdot 4!}

Marie1278 aktiv_icon

19:47 Uhr, 06.04.2018

Danke!

Marie1278 aktiv_icon

20:33 Uhr, 08.04.2018

Hallo,

ich hätte da nochmal eine Rückfrage. Ich verstehe nicht so ganz, warum im ersten Fall die Personen untereinander zu unterscheiden sind. Schließlich muss man doch den Binomialkoeffizienten an, demnach ist doch die Reihenfolge der Personen innerhalb der Gruppe unwichtig.

anonymous

22:32 Uhr, 08.04.2018

Es ist gar nicht so leicht, sprachlich unmissverständlich klar zu stellen, was man meint.
Nicht umsonst habe ich deshalb den Dingen mal Namen gegeben und Beispiele benannt, um aus den Beispielen klarer zu stellen, was gemeint ist.

Ich hatte

z . B

. für das Aufgabenverständnis

1 .)

das Beispiel benannt:

>

die Personen

a, b, c

bilden eine (Dreier-) Gruppe.

Du sprichst von
"die Reihenfolge der Personen innerhalb der Gruppe".
Davon war bisher auch überhaupt nicht die Rede.
Ich denke, keiner der bisherigen Beiträge hat unterschieden, ob die Gruppe aus den Personen

> a, b, c

> b, c, a

> c, a, b

> b, a, c

besteht, einfach weil sich die Gruppe in dieser Aufzählung nicht personell unterscheiden, und niemand die Aufgabe so verstanden hatte, dass die Reihenfolge der Personen innerhalb der Gruppe einen Unterschied machte.

Ich hatte von Unterscheidung der Personen geredet.
In der Aufgabenstellung 1.
ist es ja auch zu unterscheiden,
dass eine Gruppe aus den Personen

a, b, c

besteht,
und eben nicht aus

a, b, d

. Das wäre doch personell eine andere Gruppe.

Und in der Aufgabenstellung

2 .)

ist es ja auch zu unterscheiden,
dass die Gruppe

α

aus den Personen

a, b, c

besteht,
und eben nicht aus

a, b, d

. Das wäre eben wiederum personell eine andere Gruppe.

Dagegen wurde in der Aufgabenstellung

3 .)

nicht unterschieden, welche Personen gemeint waren.
Es wurde nur unterschieden, dass die Gruppen

β

und

ζ

Dreier-Gruppen seien.
Demnach sind die Gruppen

α, γ, δ, ε

eben Zweier-Gruppen.
Und du siehst: hier wird eben nicht zwischen den Personen unterschieden.

anonymous

06:55 Uhr, 09.04.2018

Du kannst auf dem Parkplatz
Felder für die Gruppen
zeichnen, die Leute stellen sich
dann dahin. Wenn man
dabei alles durchspielt,
gibt es dann Fälle, wo

z . B

.
auf Feld 1 die stehen,
die vorher auf Feld 2
standen und umgekehrt.
Du kannst jetzt hingehen
und das zählen, weil die
Felder vielleicht auch
eine wichtige Bedeutung
haben, oder diese Fälle
zu einem einzigen
reduzieren:

a, b

auf Feld 1
und

c, d

auf Feld 2

z . B

. wäre dann wie

c, d

auf Feld 1
und

a, b

auf Feld 2.

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