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Kombinatorik: #Möglichkeiten

Universität / Fachhochschule

Tags: Kombinatorik

 
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grashupfa

grashupfa aktiv_icon

16:31 Uhr, 05.06.2019

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Hallo zusammen,

Ich benötige für die Arbeit folgende Antwort und bin mir nicht sicher, wie ich das Beispiel lösen soll:

Wir haben n unterschiedliche Aufträge
Wir haben n unterschiedliche Fahrzeuge

Wieviele Möglichkeiten gibt es, die Aufträge unter Berücksichtigung der Reihenfolge auf die Fahrzeuge zu verteilen?

Beispiel:
5 unterschiedliche Aufträge, 1 Fahrzeug 5!=120 Möglichkeiten, wenn man die Reihenfolge berücksichtigt

Wie schaffe ich es, z.b. die Möglichkeiten für 10 unterschiedliche Aufträge und 3 unterschiedliche Fahrzeuge zu berechnen?

Vielen Dank für eure Hilfe


Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Antwort
HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

16:58 Uhr, 05.06.2019

Antworten
Für Crosspostings im Minutentakt fehlt mir jedes Verständnis:

www.matheboard.de/thread.php?threadid=591554
grashupfa

grashupfa aktiv_icon

17:16 Uhr, 05.06.2019

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Tut mir Leid, ich bin nicht wirklich ein Foren User und wusste nicht, wie schnell ich eine Antwort erhalte. Ich werde das in Zukunft vermeiden, es war nicht meine Absicht Mehraufwand zu verursachen.
Antwort
HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

17:21 Uhr, 05.06.2019

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Fällt mir schwer zu glauben. Das ist heute der dritte Crossposting-Fall, das Fass ist übergelaufen - möglicherweise bist du ja auch mit jadkhaddad (dem Verursacher der anderen beiden Fälle) identisch. So wirst du wohl anderweitig herausbekommen müssen, wieso die Antwort auf

> Wie schaffe ich es, z.b. die Möglichkeiten für 10 unterschiedliche Aufträge und 3 unterschiedliche Fahrzeuge zu berechnen?

die Zahl 239500800 ist.

grashupfa

grashupfa aktiv_icon

17:29 Uhr, 05.06.2019

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Keine Ahnung wer das sein soll. Wie auch immer, wenn du mir nicht weiterhelfen willst, dann haben wir beide denke ich besseres zu tun, als uns hier zu streiten :-)
Zumindest habe ich gelernt, was man nicht machen sollte.
Schönen Abend noch!
grashupfa

grashupfa aktiv_icon

08:56 Uhr, 06.06.2019

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Hallo,

Ich bin jetzt mit viel Googlen und Lesen auf das Ergebnis von HAL gekommen, bin mir aber nicht sicher, ob es richtig ist.

Mein Ansatz war:

Ich habe die Tabelle von de.wikipedia.org/wiki/Abz%C3%A4hlende_Kombinatorik angeschaut und bei dem Bälle und Fächer Abschnitt die Formel \binom(k+n-1)(n-1) hergenommen. Das sollte mir die Anzahl der Möglichkeiten geben, wie ich die k UNTERSCHIEDLICHE Bälle auf n gleiche Fächer verteilen kann.

Das muss ich dann mit der Permutation von den Aufträgen multiplizeren, damit ich die Anzahl der Möglichkeiten der Reihenfolge im Ergebnis habe.

Ergibt dann: \binom(12)(2)*10!=239500800, also das Ergebnis, das HAL gepostet hat.

Trotzdem, wenn die Anzahl der Fächer bzw. der Fahrzeuge unterscheidbar ist, dann sollte man ja nk hernehmen, um auf die Anzahl der Möglichkeiten der Verteilung zu kommen, oder habe ich etwas übersehen?

Antwort
HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

09:12 Uhr, 07.06.2019

Antworten
Eineinhalb Tage Bedenkzeit sind vielleicht genug.

> Das sollte mir die Anzahl der Möglichkeiten geben, wie ich die k UNTERSCHIEDLICHE Bälle auf n gleiche Fächer verteilen kann.

Nein, diese Formel gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, wie man k UNUNTERSCHEIDBARE Bälle (Aufträge) auf n UNTERSCHEIDBARE Fächer (Fahrzeuge) verteilen kann.

D.h., jede solche Möglichkeit beinhaltet nur die Zuteilung "Anzahl Aufträge" pro Fahrzeug, aber weder welche Aufträge dies sind noch in welcher Reihenfolge sie vom Fahrzeug abgearbeitet werden sollen. Dies erledigt dann eine Permutation der k Aufträge.

Beispiel k=10,n=3: Man kombiniert also eine Anzahlzuteilung wie z.B. 5+1+4

A A A A A | A | A A A A

mit einer Permutation wie etwa 3,2,6,9,4,5,10,7,1,8 zu einem kompletten Auslieferungsplan

3 2 6 9 4 | 5 | 10 7 1 8

Dieser Auslieferungsplan enthält nun die gewünschte Information: Sowohl welche Aufträge jedes Fahrzeug hat als auch in welcher Reihenfolge sie abzuarbeiten sind: Fahrzeug 1 liefert 3,2,6,9,4 in dieser Reihenfolge aus, Fahrzeug 2 nur Auftrag 5, und schließlich Fahrzeug 3 die Aufträge 10,7,1,8.

Umgekehrt kann man jeden Auslieferungsplan ein eindeutig bestimmtes Paar (Anzahlzuteilung,Permutation) zuordnen, so dass man tatsächlich die Anzahl solcher Auslieferungspläne berechnen kann als

k+n-1n-1k!=(k+n-1)!(n-1)! .

grashupfa

grashupfa aktiv_icon

11:20 Uhr, 07.06.2019

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Alles klar, danke für deine Antwort :-)

Schönes Wochenende