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Kombinatorik, Variation, Permutation

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Stochastik

anonymous

07:55 Uhr, 26.05.2012

Also ich habe ein riesen Problem, mit diesen Sachen.
1. Ich kann diese drei Begriffe nicht voneinander unterscheiden.
2. Deshalb weiß ich auch nicht, wann ich welche Formel benutzen soll.
3. Ich verstehe nicht, wie man überhaupt auf diese Formeln kommt.

Ich hoffe, ihr könnt mir helfen.

MfG
Whoops

Eva88 aktiv_icon

08:23 Uhr, 26.05.2012

1)

Permutation gibt einfach nur an, wie viele verschiedene Anordnungsmöglichkeiten es gibt, Beispiel Autokennzeichen:

Ein Autokennzeichen hat in der Regel 2 Buchstaben und bis zu 4 Zahlen. Um festzustellen wie viele Anordnungen es geben kann rechnet man

26^{2} \cdot 10^{4}

aus.

2)

Kombination

k

ist die Anzahl der Möglichkeiten aus

n

Elementen einer Menge,

k

Elemente ohne Beachtung der Reihenfolge auzuwählen.

3)

Variation

k

ist die Anzahl der Möglichkeiten aus

n

Elementen einer Menge,

k

Elemente mit Beachtung der Reihenfolge auzuwählen.

Jetzt kann noch unterschieden werden, ob in der Kombination oder Variation Elemente zurückgelegt werden oder nicht.

Zusammengefasst:

Einmal berechnet man nur die Permutation.

Dann gibt es Kombination ohne Zurücklegen
Dann gibt es Kombination mit Zurücklegen

Dann gibt es Variation ohne Zurücklegen
Dann gibt es Variation mit Zurücklegen

Erst überlege ich mir immer, ist es Kombi oder Vari und dann betrachte ich das zurücklegen um dann die geeignete Formel anzuwenden.

anonymous

08:40 Uhr, 26.05.2012

Okay vielen Dank
das habe ich nun gut verstanden, glaub ich

aber ich verstehe nicht, wie man auf die Formeln kommt

Bei Permutation gilt ja

n!

und in diesem Buch steht dann noch, ohne wiederholung:

(n - 1) \cdot n = n!

meint man Buch mit Wiederholung, das was du mit Reihenfolge meinst?

und ich verstehe halt nicht, wie man auf dieses

(n - 1) \cdot n = n!

kommt

bei Kombination gibt es ja auch zwei formeln, einmal mit Reihenfolge bzw Wiederholung und einmal ohne Reihenfolge

bei der Variation genauso

wie kommen die Formeln zustande?

Eva88 aktiv_icon

08:48 Uhr, 26.05.2012

Eigendlich erklären die sich logisch.

Betrachten wir ein Kartenspiel und wollen 3 beliebige Damen nacheinander ziehen ohne Wiederholung

Dann gilt doch

\frac{4}{32} \cdot \frac{3}{31} \cdot \frac{2}{30}

Betrachten wir ein Kartenspiel und wollen 3 beliebige Damen nacheinander ziehen mit Wiederholung

dann gilt

\frac{4}{32} \cdot \frac{4}{32} \cdot \frac{4}{32}

Das ganze jetzt mit Reihenfolge, erst Kreuz dann

Π k

dann Herzdame ohne Wiederholung

Jetzt

\frac{1}{32} \cdot \frac{1}{31} \cdot \frac{1}{30}

Das ganze jetzt mit Reihenfolge, erst Kreuz dann

Π k

dann Herzdame mit Wiederholung

\frac{1}{32} \cdot \frac{1}{32} \cdot \frac{1}{32}

anonymous

09:46 Uhr, 26.05.2012

Ähm okay, ja das ist schon verständlich, wenn du das erklärst
mein Buch verwirrt mich

ich verstehe die schreibweise

n

über

k

nicht
ist das der Binomialkoeffizient?

anonymous

10:42 Uhr, 26.05.2012

Hat der Binomialkoeffizient überhaupt etwas mit Kombinatorik zu tun?
Ich bin total verwirrt,
was sagt eigentlich der Binomialkoeffizient aus?

und diese Schreibweise ist mal total komisch, damit komm ich einfach nicht klar,
das ist ja sowie eine Vektorschreibweise

Underfaker aktiv_icon

11:34 Uhr, 26.05.2012

An die Schreibweise musst du dich einfach gewöhnen, das wurde einmal so definert, damit man das nicht immer ausschreiben muss:

(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) = \frac{n!}{(n - k)! \cdot k!}

Dieser besagt, wie viele Möglichkeiten gibt es,

k

Elemente aus

n

Elementen zu ziehen?

Also zum Beispiel

10

verschiedene Bälle und gegeben ist:

((10, (2)),

dann bedeutet das, wie viele Möglichkeiten es gibt aus den

10

Bälen zwei auszuwählen, sind das die ersten beiden oder der erste und der letzte, zwei in der Mitte usw.

Das gabze ohne Beachtung der Reihenfolge, damit wird sichergesetllt, das "Ball 1 und Ball 3" und "Ball 3 und Ball 1" nicht doppelt gezählt werden.

Insofern hat er sehr viel damit zu tun, er hilft zur Bestimmung von Anzahlen verschiedener Möglichkeiten in der Stochastik weiterhin zur Ermittlung von Wahrscheinlichkeiten, bestes Beispiel ist das Lottospiel:

(\begin{matrix} 49 \\ 6 \end{matrix}) = 13983816

Es gibt also

13983816

Möglichkeiten 6 Kugeln aus diesen

49

auszuwählen und somit für eine Auswahl:

\frac{1}{(\begin{matrix} 49 \\ 6 \end{matrix})} = 0,000007151123842 . . %

Zum Thema Permutation:

Eine Permutation ist nur eine Umverteilung der Objekte, wenn wir bei dem Beispiel der

10

Bälle bleiben, stell dir vor die liegen alle in Ballhalterungen nebeneinander, dann weißt du es gibt

10

Bälle aber wieviele Möglichkeiten gibt es jetzt der Reihenfolge für die Bälle?

Nehmen wir die erste Ballhalterung, hier können wir

10

Bälle reinlegen, dann verbleiben noch 9 Bälle, in die zweite Balllhalterung können wir somit eben noch 9 reinlegen, in die dritte dann nur noch 8 (da ja schon zwei beliebige Bälle in Halterungen liegen) dann 7 und 6 usw. bis zum letzten wo nur noch ein Ball rein kann.

Insgesamt erhalten wir:

10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1

Möglichkeiten und das ist eben genau die Fakultät von

10

nämlich:

10! = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1

Nicht ganz richtig ist:

n! = n \cdot (n - 1)

sondern

n! = n + (n - 1) \cdot (n - 2) \cdot ... \cdot 3 + 2 + 1

wie bei

10

oben, vielleicht war ein spezielles Beispiel gemeint aber im allgemeinen gilt das nicht schon garnicht mit der Notation.

Vielleicht hilft dir auch das:

http//www.mathe-online.at/materialien/klaus.berger/files/Kombinatorik/permutationen.pdf

anonymous

12:22 Uhr, 26.05.2012

Ja okay
soweit verstanden

aber was ist hetzt genau der Binomialkoeffizient?

und dieses

n

über

k,

wie rechne ich das aus? also wie gebe ich sowas zum beispiel im taschenrechner ein?
muss ich dann immer

\frac{n!}{k! (n - k)!}

rechnen?

und

n

ist die gesamtanzahl, also die ganze menge halt
und

k

ist nur die anzahl, wie viel man daraus zieht, also zum 2 bälle von

10 n

bällen ziehen
oder?

Underfaker aktiv_icon

12:25 Uhr, 26.05.2012

Was das sein soll habe ich oben erläutert, gesprochen wird das

n

über

k

oder auch "k aus n" letztere machts etwas deutlicher.

n =

Gesamtmenge

k =

zu ziehende Teilmenge

Es kommt auf deinen taschenrechner an, mein alter Taschenrechner konnte das nciht, da hätte ich das tatsächlich immer eintippen müssen, mein jetziger besitzt eine nCr Taste, da gebe ich ein:

10

nCr 2 und das ist dann

\to (\begin{matrix} 10 \\ 2 \end{matrix})

anonymous

12:31 Uhr, 26.05.2012

okay
aaalso
variation ist mit berücksichtigung der reihenfolge
und kombination ist ohne berücksichtigung der reihenfolge

und zu was gehört jetzt permutation? was wird da berücksichtigt oder nicht berücksichtigt?

anonymous

17:05 Uhr, 26.05.2012

Also ´
bei dieser Aufgabe komme ich nicht weiter

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, beim Lotto "6 aus 49" mit einem Tipp genau vier Richtige zu haben?

Underfaker aktiv_icon

17:13 Uhr, 26.05.2012

Wieviele Möglichkeiten gibt es 4 von den 6 richtigen zu ziehen? wieviele Möglichkeiten gibt es dann noch 2 nicht richtige aus den ganzen "nicht richtigen" zu ziehen?
Und dann, wie viele Möglichkeiten gibt es insgesamt?

anonymous

17:21 Uhr, 26.05.2012

ja ist muss doch jz erst unterscheiden, ob das variation, kombination oder permutation ist

und die reihenfolge ist ja hier nicht wichtig, also würde ich mal sagen, dass es sich um kombination handelt

und das ist ja auch ohne zurücklegen

also dann zuerst 6 über 4
und dann

43

über 2
und

49

über 6

und jz?

Underfaker aktiv_icon

17:23 Uhr, 26.05.2012

Ja das ist es doch, das was du brauchst (die ersten beiden) geteilt durch die insgesamtn Möglichkeiten

anonymous

17:33 Uhr, 26.05.2012

achso ist das ein Laplace-Experiment oder wie?
woran erkenne ich das?

Underfaker aktiv_icon

18:32 Uhr, 26.05.2012

Jede Wahl an Zahlen also die 6 Zahlen die man aussucht ist gleich wahrscheinlich.

Ich überlege garnicht so sehr was ist das, sondern überlege mir (oft intuitiv) was macht denn hier Sinn.

Das beim Lotto jede Zahlenkombination gleich wahrscheinlich sollte klar sein, also kann man hier einfach Möglichkeiten durcheinander teilen.

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