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Kombinatorik, Wahrscheinlichkeiten

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Wahrscheinlichkeitsmaß

Tags: Wahrscheinlichkeitsmaß

Mathematicus aktiv_icon

20:48 Uhr, 16.03.2015

Hallo,
ich habe einige Probleme bei der Wahrscheinlichkeitsrechnung, besonders was die Modellbildung anbelangt, ich bitte um Eure Hilfe. Konkret geht es um die zwei folgenden Beispiele:

Beispiel 1.

Toto (12 Tipps mit 1,2,X)
Hier habe ich schon Probleme bei der Angabe. Ich weiß leider nicht genau wie Toto funktioniert. Ich habe folgende Annahme getroffen, aufgrund dessen was ich im Internet zu diesem "Spiel" finden konnte: Man hat einen Schein mit 12 Kästchen in jedes kann man entweder 1, 2 oder X eintragen? -Kennt sich jemand damit aus, liege ich hier richtig?
a)Wieviele Möglichkeiten gibt es den Totoschein auszufüllen?
Ich würde sagen

3^{12}

Möglichkeiten, da ich für jedes Kästchen 3 Möglichkeiten habe.
b)Wieviele Möglichkeiten gibt es einen Totoschein auszufüllen und keinen Tipp richtig zu haben?
Ich denke man kann hier eine Binomialverteilung ansetzten und komme auf etwa 0,0077, multipliziert mit

3^{12}

ergibt sich die Anzahl der Möglichkeiten.
c)Wieviele Möglichkeiten gibt es einen Totoschein auszufüllen und alle Tipps richtig zu haben?

\frac{1}{3^{12}}

Sind meine Antworten falsch?

Beispiel 2.

Auf einer Feier befinden sich n Personen. Annahme: Die Geburtstage der Personen sind zufällig und mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf die 365 Tage eines Jahres verteilt. Wie groß muss n mindestens sein, damit die Wahrscheinlichkeit, dass sich auf der Feier mindestens 2 Peronen mit Geburtstag befinden größer als 50% ist?

Hier habe ich überhaupt keine Idee, wie ich vorgehen soll, hat jemand eine Idee?

Danke und LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

anonymous

23:44 Uhr, 16.03.2015

Hallo
zu Toto: Ja, du hast

12

'Felder', und du kannst in jedem der

12

Felder auswählen zwischen

1, 2

und

x

1 . a)

Ja, gut.

1 . b)

Geh doch genauso vor, wie bei

1 . a

.
Wie viele Möglichkeiten hast du, im ersten Feld falsch zu tippen?
Wie viele Möglichkeiten hast du, im zweiten Feld falsch zu tippen?

u . s . w

1 . c)

Du sagst

\frac{1}{3^{12}}

. Mein Taschenrechner sagt, das wären

0.000001882

.
Es ist nach der Anzahl Möglichkeiten gefragt.
Hast du schon mal gehört, dass

>

ein Huhn

0.000001882

Eier legt?

>

jemand

0.000001882

1-Euro Münzen im Geldbeutel hat?

> 0.000001882

Sterne am Himmel zu sehen sind?
Kurz und gut, wer nach der Anzahl an Möglichkeiten fragt, der fragt nach einer natürlichen Zahl.

zu

2 .)

Ich vermute, die Frage hätte heissen sollen:
'Wie groß muss

n

mindestens sein, damit die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 2 der

n

Personen am gleichen Tag Geburtstag haben, größer als

50 %

ist?
Überleg dir:

2 . a)

Nehmen wir an, die erste Person kommt zur Feier. Kann Sie am selben Tag wie eine nicht vorhandene zweite Person auf der Feier Geburtstag haben?

2 . b)

Nehmen wir an, jetzt kommt eine zweite Person zur Feier.

>

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese zwei Personen am selben Tag Geburtstag haben?

>

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese zwei Personen nicht am selben Tag Geburtstag haben?

2 . c)

Nehmen wir an, jetzt kommt eine

n = 3

. Person zur Feier.

>

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese dritte Person am selben Tag Geburtstag wie eine der beiden ersten Personen hat?

>

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese dritte Person nicht am selben Tag wie eine der beiden ersten Personen hat?

2 . d)

Nehmen wir an, jetzt kommt eine

n = 4

. Person zur Feier.

>

usw., usw.

Na, jetzt noch schwer?
Viel Erfolg!

Mathematicus aktiv_icon

01:17 Uhr, 17.03.2015

Vielen Dank, erhalt ich dann bei 1)b) auch

3^{1} 2

, also die Möglichkeiten keinen Tipp richtig zu haben.

und zu 1)c) eine Möglickeit?

Roman-22

02:26 Uhr, 17.03.2015

>

Vielen Dank, erhalt ich dann bei

1) b)

auch

312,

also die Möglichkeiten keinen Tipp richtig zu haben.

Nein! Wir gehen hier ja davon aus, dass wir schon wissen, welches der drei Symbole (1,2,X)an jeder der

12

Stellen richtig ist. Wie viele Möglichkeit hast du jetzt pro Kästchen, es falsch auszufüllen?

>

und zu

1) c)

eine Möglickeit?
Ja, allerdings.

Wie gehts dir mit der zweiten Aufgabe nach cositan's Hinweis?

Am einfachsten löst du diese Aufgabe sicher über das Gegenereignis, also mithilfe der Wahrscheinlichkeit, dass jede Person an einem anderen Tag Geburtstag hat.
Das wirst du ohne Unterstützung eines besseren Taschenrechners oder eines CAS Programms wohl nicht so einfach lösen können. Es ist eine recht bekannte und beliebte Aufgabe, aber du müsstest den Ausdruck

p

(mind. 2 Personen von

n

Personen haben am gleichen Tag Geburtstag)

= 1 - \prod_{k = 1}^{n} \frac{365 - (k - 1)}{365}

für verschiedene

n

berechnen, bis eben mehr als

50 %

rauskommt.

Die alternative Schreibweise

p (n) = 1 - \frac{365!}{365^{n} \cdot (365 - n)!}

überfordert die meisten Rechner.

Mit einem einfachen TR ist es auf jeden Fall recht mühsam, denn du müsstest

\frac{365}{365} \cdot \frac{364}{365} \cdot \frac{363}{365} \cdot \frac{362}{365} \cdot . .

.
solange fortsetzen, bis sich ein Wert einstellt, der kleiner ist als

0,5

.

Das geht mit ordentlicher Rechnerhilfe natürlich bequemer und erstaunlicherweise ergibt es sich, dass man bereits bei einer Anzahl von nur

23

Personen eine mehr als 50%ige Chance darauf hat, dass mind. zwei am gleichen Tag Geburtstag haben - da lohnt also auf lange Sicht bereits eine Wette. Bei

57

Personen sind es sogar schon über

99 %

. Ab

365

Personen beträgt die Wkt konstant 1 (warum?).

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08:03 Uhr, 17.03.2015

Danke für Deine Bemühungen.

Zu 1.c.
Ich denke mein erster Ansatz oben war richtig Binomialverteilung für Gegenwahrscheinlichkeit

{\frac{2}{3}}^{12}

man kommt auf eine Wahrscheinlichkeit von 0,0077 multiplizert mal

3^{12}

ergibt sich 4096 möglichkeiten, oder über

2^{12}

ergibt ebenfalls 4096 Möglichkeiten.

Stimmts jetzt?

Zu 2. das muss ich mir heute nochmals genauer ansehen, ganz habe ich den Ansatz noch nicht verstanden.
Wo in Deiner Formel wird berücksichtig, dass es mind. 2 Personen sind?

Bummerang

09:07 Uhr, 17.03.2015

Hallo,

"Wo in Deiner Formel wird berücksichtig, dass es mind. 2 Personen sind?"

Wer lesen kann ist klar im Vorteil: "Am einfachsten löst du diese Aufgabe sicher über das Gegenereignis, also mithilfe der Wahrscheinlichkeit, dass jede Person an einem anderen Tag Geburtstag hat." Wenn man mit diesem Wissen einen Blick auf die angegebene Formel wirft, dann sieht man, wie die "mind. 2 Personen" drin stecken!

anonymous

12:36 Uhr, 17.03.2015

Hallo
zu

1 . c)

Um 1:17Uhr warst du offensichtlich noch frischer.
Es gibt genau EINE Möglichkeit, den Totoschein vollständig richtig auszufüllen.

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16:15 Uhr, 17.03.2015

Tut mir leid, ich meinte 1.b!

Roman-22

17:08 Uhr, 17.03.2015

>

Danke für Deine Bemühungen.
Keine Ursache, gern geschehen.

>

1 . c

1 b),

aberdas wurde dir ja schon gesagt.

>

Ich denke mein erster Ansatz oben war richtig Binomialverteilung für Gegenwahrscheinlichkeit

> {(\frac{2}{3})}^{12}

man kommt auf eine Wahrscheinlichkeit von

0,0077

multiplizert mal

3^{12}

ergibt sich

> 4096

möglichkeiten, oder über

2^{12}

ergibt ebenfalls

4096

Möglichkeiten.
Ja, in der Tat. Du hast Recht. Das ist zwar eine etwas komplizierte Herangehensweise (und ich muss gestehen, dass ich beim ersten Lesen nicht weiter darüber nachgedacht hatte ob die überhaupt richtig sein könnte), aber sie führt zum richtigen Ergebnis und mein vorschnelles "Nein" war schlichtweg falsch. Was mich trotzdem stört ist, dass du dabei mit dem gerundeten Ergebnis

0,0077

arbeitest. Sauberer ist

{(\frac{2}{3})}^{12} \cdot 3^{12} = {(\frac{2}{3} \cdot 3)}^{12} = 2^{12}

>

Stimmts jetzt?
Ja, doch. :-)

>

Zu 2. das muss ich mir heute nochmals genauer ansehen, ganz habe ich den Ansatz noch

>

nicht verstanden. Wo in Deiner Formel wird berücksichtigt, dass es mind. 2 Personen sind?
In der Formel ist das eigentlich gar nicht berücksichtigt, die stimmt auch für

n = 1

und liefert in diesem Fall korrekterweise 0 zurück. Aber natürlich ist die Frage nach der Wkt, dass bei einer einzigen anwesenden Person mind. zwei Personen am gleichen Tag Geburtstag haben, relativ sinnfrei.

Zum Ansatz - die Wahrscheinlichkeit, dass von

n

Personen jede an einem anderen Tag Geburtstag hat: Die erste Person hat da freie Auswahl, also

365

günstige durch

365

mögliche Fälle. Die Wkt ist also

\frac{365}{365} (= 1)

. Die zweite Person hat nur mehr

364

"günstige" Möglichkeiten für ihren Geburtstag um nicht am gleichen Tag wie die erste Person zu feiern. Also

\frac{364}{365}

. Die dritte Person hat nur mehr

363

Möglichkeiten, also

\frac{363}{365}

. Somit haben wir herausgefunden, dass die

W .,

dass drei Personen an drei verschiedenen Tagen Geburtstag haben,

\frac{365}{365} \cdot \frac{364}{365} \cdot \frac{363}{365} \approx 99,18 %

ist. Dass von drei Personen mindestens zwei am gleichen Tag Geburtstag haben ist das Gegenereignis, dessen W. die Ergänzung auf

1,

also

\approx 0,82 %

.
Nun, mit jeder Person kommt nun ein solcher Bruch als Faktor dazu (der Nenner ist immer

365,

der Zähler wir um 1 vermindert) und so sinkt mit jeder Person die

W .,

dass alle an verschiedenen Tagen Geburtstag haben und automatisch steigt daher die W. für mind. einen Doppelgeburtstag. Und bei

23

Personen ist es erstmals soweit, dass die W. für mind. einen Mehrfachgeburtstag mehr als

50 %

beträgt.
Die angegebene Formel funktioniert sogar für Werte von

n \geq 366

und liefert hier konstant 1.
Da hatte ich weiter oben fälschlicherweise geschrieben, dass ab

n = 365

wie W. 1 sei, aber natürlich könnten

365

Personen (gerade noch) jede an einem anderen Tag Geburtstag haben.

Jetzt könnte man noch den

29

. Feber mit dazu nehmen, allerdings müsste man hier berücksichtigen, dass die

W .,

29.2

. geboren zu sein wesentlich geringer ist, als für jeden anderen Tag. Aber dann müsste man noch Statistiken hernehmen, die zeigen, dass auch die übrigen Tage als Geburtstage nicht wirklich gleichmäßig verteilt sind. Und wenn man diese Statistiken noch mitberücksichtigen sollte, dann wirds wirklich kompliziert. Grundsätzlich kann man aber sagen, dass durch die ungleichmäßige Verteilung der Geburtstage die Wahrscheinlichkeit für einen Mehrfachgeburtstag steigt, der

29.2

. hingenen senkt diese W. natürlich.

Gruß

R

Roman-22

17:26 Uhr, 17.03.2015

Hallo Bummerang!

>

Wer lesen kann ist klar im Vorteil: "Am einfachsten löst du diese Aufgabe sicher über das

>

Gegenereignis, also mithilfe der Wahrscheinlichkeit, dass jede Person an einem anderen Tag

>

Geburtstag hat." Wenn man mit diesem Wissen einen Blick auf die angegebene Formel wirft,

>

dann sieht man, wie die "mind. 2 Personen" drin stecken!
Ja? Wenn man wirklich lesen kann sieht man, dass diese Forderung nämlich gar nicht drinnen steckt! Die Formel liefert für

n = 1

einfach das korrekte Ergebnis 0.

Irgendwie hab ich das Gefühl, das deine Anmerkung ein wenig wie ein Bumerang (mit einem "m") war ;-)

Gruß

R

Bummerang

10:53 Uhr, 18.03.2015

Hallo,

wie aus den Axiomen direkt hervorgeht, wenn die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A mit

P (A)

bezeichnet wird, ist die Gegenwahrscheinlichkeit

1 - P (A)

. Die Dir gegebene Formel sieht doch irgendwie so ähnlich aus, oder? Also steckt die "mind. 2 Personen" in genau diesem Konstrukt, dass man die Wahrscheinlichkeit 1 nimmt und davon alle Möglichkeiten ohne gleiche Geburtstage (das Gegenereignis von mind. 2 Personen mit dem selben Geburtstag) abzieht!

Roman-22

12:22 Uhr, 18.03.2015

Hallo Bummerang!

>

wie aus den Axiomen direkt hervorgeht, wenn die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A

>

mit

P (A)

bezeichnet wird, ist die Gegenwahrscheinlichkeit

1 - P (A)

.
Ja, und?
"Direkt" geht das aus den Kolmogorov Axiomen nicht hervor, aber es lässt sich sehr leicht auf deren Basis herleiten.

>

Die Dir gegebene Formel sieht doch irgendwie so ähnlich aus, oder?
Nicht so ähnlich. Hier wird genau mit dem Gegenereignis gearbeitet ;-)
Ich glaube, ich habe das auch so beschrieben.

>

Also steckt die "mind. 2 Personen" in genau diesem Konstrukt,
Nein! Wieso denn? Oder besser gefragt - welche "mind. 2 Personen".
Dass "mindestens 2 Personen am gleichen Tag Geburtstag haben" steckt trivialerweise in jeder Lösung, sonst würde sie ja die Aufgabenstellung nicht lösen. Darüber müssen wir also nicht diskutieren.
Dass aber mindestens 2 Personen anwesend sind, wird nirgendwo vorausgesetzt.

Allerdings geb ich gern zu, dass mein Lösungsansatz eine Einschränkung macht, die man als Sonderfall extra angeben müsste. Und zwar verliere bei meinem Ansatz den Fall

n = 0

. Ein sinnloser aber durchaus gültiger Wert, für den die

W

des gesuchten Ereignisses trivialerweise 0 ist. Der Fall

n = 1

wird aber durch meine Lösung bereits abgedeckt.

>

dass man die Wahrscheinlichkeit 1 nimmt und davon alle Möglichkeiten ohne

>

gleiche Geburtstage (das Gegenereignis von mind. 2 Personen mit dem selben

>

Geburtstag) abzieht!

Nun, da gehts vielleicht nur um die sprachliche Ausformulierung des Gegenereignisses. Da muss man immer besonders sorgfältig arbeiten!
Aus der Tatsache, dass danach gefragt wird, dass mind. 2 Personen an gleichen Tag Geburtstag haben, darf man jedenfalls noch nicht folgern, dass mind. 2 Personen anwesend sind.

Aber vielleicht hättest du bei Mathematicus einfach nur rückfragen müssen, was sie genau mit ihrer Frage
"Wo in Deiner Formel wird berücksichtig, dass es mind. 2 Personen sind?"
meint, anstatt ihr in süffisanter Weise zu unterstellen, nicht lesen zu können.
Vielleicht hätte sich dann rausgestellt, dass sie nicht die Gesamtanzahl der Personen meint (obwohl sie das so formuliert), sondern die entsprechende Formulierung in der Angabe.
Und anstelle ihr stolz mitzuteilen, dass man(also du) mit entsprechendem Wissen sieht, wo es drin steckt, hättest du ihr auch kurz erklären können, dass das Gegenteil von "mind. 2 Personen" eben "keine Person" ist und zeigen, wo "es drin steckt".

Alles klar?

Gruß

R

Bummerang

12:47 Uhr, 18.03.2015

Hallo Roman-22,

"Vielleicht hätte sich dann rausgestellt, dass sie nicht die Gesamtanzahl der Personen meint (obwohl sie das so formuliert), sondern die entsprechende Formulierung in der Angabe."

Ich glaube nicht, dass man solch Spitzfindigkeiten dem Fragesteller unterstellen kann. Deshalb war mir klar, was gemeint ist mit "mind. 2 Personen"!

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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