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Kombinatorik, Wahrscheinlichkeiten, Ereignisse

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Ereigniss, Kombinatorik, Wahrscheinlichkeit, Zufallsexperiment

lusu007 aktiv_icon

19:57 Uhr, 16.11.2017

Hallo,

ich habe einige Probleme bei meinen Übungsaufgaben für meine kommende Stochastikklausur.
Wir haben als Übung alte Abituraufgaben vom Zentralabitur

2017

in Niedersachsen bekommen.

Die Aufgabe lautet, wie folgt:

Ein Hersteller bringt ein neues Smartphone auf den Markt. Die Geräte werden in vier Werken in jeweils großer Stückzahl hergestellt. Der Tabelle können für jedes Werk folgende Daten entnommen werden:

- der Anteil der in diesem Werk hergestellten Geräte an der Gesamtzahl aller hergestellten Geräte
- der Anteil der fehlerhaften Geräte unter den in diesem Werk hergestellten Geräten.

Tabelle:
Werk

A B C D

Anteil an der Gesamtzahl

10 % 30 % 20 % 40 %

Anteil der fehlerhaften Geräte

5 % 3 % 4 % 2 %

2.1

Geben Sie den Wert von

s

an, für den mit dem Term

200 \cdot {0,98}^{s} \cdot 0,02 + {0,98}^{200}

im Sachzusammenhang die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses berechnet werden kann.

2.2

Beschreiben Sie das Ereignis.

2.3

Ermitteln Sie, wie viele im Werk

C

hergestellte Geräte mindestens zufällig ausgewählt werden müssen, damit sich darunter mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens

90 %

mindestens

500

Geräte befinden, die nicht fehlerhaft sind.

Nun zu meinen Fragen:
zu

2.1

- Was stellt

s

in der Formel dar? Ich habe mir gedacht, dass die

200

jeweils die Anzahl ist.

0,98

ist die Wahrscheinlichkeit ein intaktes Geräte von Werk

D

zu erhalten und

0,02

ist die Wahrscheinlichkeit ein defektes Gerät aus Werk

D

zu erhalten. Was ist jedoch s?

zu

2.2

- Wenn mein Ansatz richtig ist, ist die vorliegende Formel eine Beschreibung eines Ereignisses mit bedingter Wahrscheinlichkeit. Aus dem zweiten Teil der Formel (Der Teil hinter dem

+)

habe ich geschlossen, dass damit die Wahrscheinlichkeit berechnet wird, dass

200

Geräte aus Werk

D

nicht fehlerhaft sind. Ist das so korrekt?

zu

2.3

- Hier fehlt der Ansatz. Ich weiß, dass es eine Teilaufgabe mit Binomialverteilung ist, jedoch bin ich dort noch nicht weiter gekommen.

Ich hoffe ich konnte die Aufgabe vernünftig rüberbringen.
Ich freue mich auf eure Antworten.

Gruß,
Lukas

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Gemischte Aufgaben der Kombinatorik
Kombinatorik: Ziehen mit Reihenfolge und mit Zurücklegen
Kombinatorik: Ziehen mit Reihenfolge und ohne Zurücklegen
Kombinatorik: Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen

anonymous

09:06 Uhr, 17.11.2017

Hallo
Die Teilaufgaben

2.1

und

2.2

gehören eng zusammen.
Und - sehr gut - du hast schon

95 %

sehr richtig erfasst, verstanden und beschrieben.

Ja, es geht offensichtlich um das Werk D.

Ja, die

0.98

steht offensichtlich für die Wahrscheinlichkeit, hier im Werk

D

ein funktionierendes Gerät herzustellen.

Ja, die

0.02

steht offensichtlich für die Wahrscheinlichkeit, hier im Werk

D

ein fehlerhaftes Gerät herzustellen.

Ja, die

200

steht offensichtlich für eine betrachtete Anzahl an produzierten Geräten.

Die Formel kommt doch sehr, sehr bekannt vor.
Es springt schon ins Auge, was die Formel ausdrücken soll.
Es fehlt noch das entscheidende Stichwort.
Die Formel beschreibt die ".........erteilung" eines Ereignisses.

Junge, du warst echt schon sehr gut. Wenn du jetzt noch erkennst, was diese Formel bzw. ".........erteilung" beschreibt, dann siehst du auch, wie du

s

wählen musst, und was dieses

s

repräsentiert.

Und wenn du

s

hast, dann kannst du dir auch ein sinnvolles Ereignis zur

2.2

zurechtlegen, verständlich machen und erklären.

= = = = = = = = = = = = = =

2.3)

Wenn du im Werk

C 500

Geräte herstellst, dann werde wahrscheinlich auch defekte dabei sein.
Es wird sehr unwahrscheinlich sein, dass alle

500

Geräte richtig funktionieren.
Du willst aber

500

funktionsfähige Geräte schaffen.
Also wirst du mehr Geräte herstellen.
Vielleicht stellst du

510

Geräte her.
Darunter werden defekte und funktionsfähige sein.
Ob unter

510

produzierten Geräten wohl

500

funktionsfähige sind?
Wie hoch ist denn die Wahrscheinlichkeit dafür?
Ob dir dabei wohl die ".........erteilung" hilft?

Oder vielleicht musst du doch

520

Geräte produzieren?
Ob unter

520

produzierten Geräten wohl

500

funktionsfähige sind?
Wie hoch ist denn die Wahrscheinlichkeit dafür?

Oder vielleicht musst du doch

530

Geräte produzieren?
Ob unter

530

produzierten Geräten wohl

500

funktionsfähige sind?
Wie hoch ist denn die Wahrscheinlichkeit dafür?

lusu007 aktiv_icon

16:26 Uhr, 17.11.2017

Hallo,

es ist schon einmal beruhigend, dass ich das Meiste schon einmal richtig erkannt habe :-D)

Ich denke, dass du auf Binomialverteilung hinaus möchtest. Da würde meines Erachtens folgende Formel in Betracht kommen:

f (x) = (\binom{n}{x}) * p^{x} * (1 - p)^{n-x}

Ist dies soweit korrekt?

Ich habe überlegt, ob es eventuell der Anteil an der Gesamtanzahl, also 0,4 ist. Ich bin mir aber nicht sicher, ob das richtig ist und stehe immer noch etwas auf dem Schlauch.

zu 2.3:

Ich habe überlegt, ob man diesen Teil der Aufgabe mit der binomCdf und fMin Funktion des GTR lösen kann.

binomCdf(x, 0.9, 500,x) als Funktion f(x) abspeichern.
fMin(f(x),x) berechnen. Jedoch bekomme ich als Lösung nur wieder nur fMin(f(x),x) zurück.
Und einen Fehler, dass geeignete Grenzen gewählt werden sollen.

Ist der Ansatz an sich richtig? Wenn nein, wie würde ich diese Aufgabe dann lösen?

anonymous

16:50 Uhr, 17.11.2017

Ja sehr gut!

98 %

Zwischenstand erreicht. :-)

Also: Binomialverteilung.

Folglich:

2.1.1

Wofür steht der Teilausdruck

0 . 98^{200}

2.1.2

Wofür steht der Teilausdruck

200 \cdot 0 . 98^{s} \cdot 0.02

?
Und für welchen Wert von

s

macht er Sinn?

2.1.3

Schließlich, wofür steht dann der Ausdruck wie in der Aufgabe beschrieben

200 \cdot 0 . 98^{s} \cdot 0.02 + 0 . 98^{200}

2.1.4

"Ich habe überlegt, ob es eventuell der Anteil an der Gesamtanzahl, also

0,4

ist."
Da drückst du dich unklar aus. Ich weiß nicht, was du meinst. Gesamtanzahl von was??

= = = = = = = = = = = = =

2.3

Ich kenne deinen Taschenrechner nicht, und weiß nicht, was er oder ihr an "binomCdf"-Funktionen habt und nutzen könnt/sollt/dürft.
Vermutlich geht es aber in die richtige Richtung.
Generell solltest du dir klar machen, dass es darauf abzielt, evtl. von der Binomialverteilung auf die angenäherte Normalverteilung über zu gehen, und eine Anzahl produzierter Geräte zu suchen, die eben die Aufgabenforderung nach mindestens

500

funktionierender Einheiten mit der Wahrscheinlichkeit

90 %

erfüllt.

lusu007 aktiv_icon

17:08 Uhr, 17.11.2017

2.1.1
Der Teilausdruck 0.98^200 steht für, dass von 200 Geräten aus Werk D 98% nicht fehlerhaft sind, oder nicht?

2.1.2
Der Teilausdruck steht für 200 ausgewählte Objekte... Ich habe echt keinen Plan, was der Ausdruck insgesamt darstellt.

2.1.4
Ich meinte, ob s eventuell der Anteil des Werkes D an der Gesamtproduktion ist. Also 0,4 bzw 40%.

anonymous

17:58 Uhr, 17.11.2017

2.1.1

"Der Teilausdruck

0 . 98^{200}

steht für, dass von

200

Geräten aus Werk

D 98 %

nicht fehlerhaft sind"

Nein!
Der Teilausdruck

0 . 98^{200}

steht für die Wahrscheinlichkeit, dass von

200

Geräten aus Werk

D

kein einziges

(0

Stück) fehlerhaft ist.

Jetzt

2.1.2 :

. .

2.1.4

"Ich meinte, ob

s

eventuell der Anteil des Werkes

D

an der Gesamtproduktion ist. Also

0,4

bzw 40%."
Bitte keine wilde Spekulation.
Der gesamte Aufgabenkreis der Teilaufgaben

2.1

und

2.2

bewegte sich in der Produktion des Werks D.
Es wird nicht besser, wenn wir jetzt wild drauf los spekulieren und die Bundestagswahlergebnisse

2017

durch den Mercedes Aktienkurs von vorgestern dividieren.

lusu007 aktiv_icon

18:14 Uhr, 17.11.2017

2.1.1

Den Teilausdruck habe ich nun verstanden.

2.1.2

Dort fehlt mir immer noch der Ansatz.

2.1.4

Okay das stimmt. Das ist eher kontraproduktiv.

anonymous

18:59 Uhr, 17.11.2017

Überleg dir mal, wie du vorgehen würdest, wenn du die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen müsstest,
dass von

200

im Werk

D

produzierten Geräten genau 1 Stück fehlerhaft ist,

d . h

. die restlichen

199

Stück einwandfrei funktionieren.

lusu007 aktiv_icon

19:12 Uhr, 17.11.2017

Ich würde mit dem Taschenrechner mit binomCdf() folgendes lösen.

200

Versuche,

0.02

Wahrscheinlichkeit eines kaputten Gerätes, und als Unter- und Obergrenze würde ich 1 festlegen.
Das ganze sieht dann so aus: binomCdf(200,0.02,1,1) und liefert folgendes Ergebnis:

0.071,

also

7,1 %

anonymous

22:34 Uhr, 17.11.2017

Wie gesagt, deinen Taschenrechner kenne ich nicht.
Ein Taschenrechner ist keine Formel. Der spuckt nur irgendwelche Zahlen raus, wenn man irgendwelche Zahlen eingibt.

Wir aber hatten festgestellt, dass wir uns mit der Binomialverteilung beschäftigen wollen.

Also, mit Mitteln der Binomialverteilung:
Bitte, überleg dir mal, wie du vorgehen würdest, wenn du die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen müsstest,
dass von

200

im Werk

D

produzierten Geräten genau 1 Stück fehlerhaft ist und die restlichen

199

Stück einwandfrei funktionieren.

In anderen Worten: Stell mal die Formel auf, um diese Frage zu beantworten,

d . h

. um diese Wahrscheinlichkeit zu berechnen.

lusu007 aktiv_icon

22:54 Uhr, 17.11.2017

Ich würde die Wahrscheinlichkeit jedes Gerätes mal nehmen also:

0.98 \cdot 0.98 \cdot ...

\cdot 0.02

oder

0 . 98^{199} \cdot 0.02

Das bedeutet, dass

s

dann

199

ist oder?

anonymous

08:18 Uhr, 18.11.2017

Du hast die Binomialverteilung jetzt zu

99 %

Zwischenstand erfasst, aber eben noch nicht wirklich verstanden.

Wer die Binomialverteilung verstanden hat, der erkennt, dass dies eine solche ist, und weiß sie anzuwenden.
Die Binomialverteilung sagt (mal in meinen trivialen Worten),
wenn ein Ereignis die Wahrscheinlichkeit

p

hat,
und

n

mal ausgeführt wird,
dann ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es genau k-mal günstig ausfällt:

p = (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) \cdot p^{k} \cdot {(1 - p)}^{n - k}

Auf unser Beispiel übertragen:
In Werk

D

ist die Wahrscheinlichkeit dafür, ein funktionsfähiges Gerät zu produzieren:

p = 0.98

Es wird folgende Anzahl an Geräten produziert:

n = 200

Wir suchen die Wahrscheinlichkeit, dass genau

199

funktionsfähige Geräte darunter sind:

k = 199

Binomialverteilung:

p_{1} = (\begin{matrix} 200 \\ 199 \end{matrix}) \cdot 0 . 98^{199} \cdot {(1 - 0.98)}^{200 - 199}

p_{1} = 200 \cdot 0 . 98^{199} \cdot 0 . 02^{1}

p_{1} = 200 \cdot 0 . 98^{199} \cdot 0.02

Kommt dir der Ausdruck bekannt vor?

PS: Wenn du das mit dem Taschenrechner ausrechnest, dann kommt tatsächlich

0.071

raus. Aber du siehst, hier hilft dir der Taschenrechner nicht weiter. Du musst für diese Aufgabe schon auch die Formel verstehen und erkennen.

Und zur Vertiefung:
Du hast bei deinem

0.98 \cdot 0.98 \cdot 0.98 \cdot ... \cdot 0.02

vergessen, dass

>

das erste Gerät defekt werden kann,

>

oder das zweite Gerät defekt werden kann,

>

oder das dritte Gerät defekt werden kann,

> . .

>

oder das zweihundertste Gerät defekt werden kann.
Also:

p = 0.02 \cdot 0.98 \cdot 0.98 \cdot ... \cdot 0.98

+ 0.98 \cdot 0.02 \cdot 0.98 \cdot ... \cdot 0.98

+ 0.98 \cdot 0.98 \cdot 0.02 \cdot ... \cdot 0.98

+ . .

+ 0.98 \cdot 0.98 \cdot 0.98 \cdot ... \cdot 0.02

p = 200 \cdot [0.98 \cdot 0.98 \cdot 0.98 \cdot ... \cdot 0.02]

p = 200 \cdot 0 . 98^{199} \cdot 0.02

Du siehst, dein Gedankengang war gar nicht so schlecht, und beschreibt schon ungefähr das, was man eben unter Binomialverteilung versteht. Du hast lediglich übersehen und vergessen, dass es eben

200

Möglichkeiten gibt, an welcher Stelle ein defektes Gerät auftreten kann.

"Das bedeutet, dass

s

dann

199

ist...?"
Ja, SUPER! gut gemacht!

2.1

Für

s = 199

macht die Formel Sinn, nämlich den obigen Sinn.

Jetzt geht es darum, den Überblick zu bewahren.
Fassen wir mal zusammen, was wir bisher verstanden haben.

Der Teilausdruck

0 . 98^{200}

passt plausibel zur Wahrscheinlichkeit, dass im Werk

D

unter

200

produzierten Geräten KEIN defektes ist.

Der Teilausdruck

200 \cdot 0 . 98^{s} \cdot 0.02

passt, wenn man

s = 199

wählt, also:

200 \cdot 0 . 98^{199} \cdot 0.02

plausibel zur Wahrscheinlichkeit, dass im Werk

D

unter

200

produzierten Geräten genau 1 defektes ist.

Aber wir (du) sind / bist damit noch nicht am Ende!

Aufgabe

2.1.3 :

Kannst du das noch schön zusammenfassen und 'beschreiben'?

lusu007 aktiv_icon

12:54 Uhr, 18.11.2017

Dann lag ich mit der Formel gar nicht schlecht.
Schön, dass wir den Teil der Aufgabe schon zusammenlösen konnten.

Aufgabe

2.1.3 :

Es werden 2 Proben á

200

Geräte aus Werk

D

getestet. In der ersten Probe ist ein defektes Gerät enthalten und die zweite Probe ist komplett funktionsfähig.

Ist das so korrekt?

zu

2.3

nochmal:
Bei

2.3

weiß ich immer noch nicht, wie ich hier weitermachen soll.

anonymous

13:13 Uhr, 18.11.2017

2.1.3

Nein, leider noch falsch.

Überleg mal rein zur Kontrolle:
Wenn deine Theorie richtig wäre, wie groß wäre dann die Wahrscheinlichkeit,
wenn man

20

Proben zu je

200

Geräten aus Werk

D

testen würde, in denen jeweils genau ein defektes Gerät aufträte?

lusu007 aktiv_icon

13:52 Uhr, 18.11.2017

2.1.3 :

Es wird eine Probe á

200

Geräte entnommen und die Wahrscheinlichkeit dargestellt, dass ein oder kein Gerat defekt ist.

zu

2.3 :

Wie beginne ich hier?

anonymous

15:37 Uhr, 18.11.2017

2.1.3

Bravo,

100 %

erreicht!

Lass es mich noch in meine Worte fassen:
Der Ausdruck dürfte in diesem Sachzusammenhang die Wahrscheinlichkeit dafür ausdrücken, im Werk

D

bei Produktion von

200

Geräten HÖCHSTENS ein defektes Gerät herzustellen.

2.3 :

Sorry, aber soweit ich es verstehe, habe ich dir schon in Worte gefasst.
Mehr kann ich nicht.
Besser kenne ich deinen Taschenrechner nicht.
Vielleicht kann dir ein anderer, der deinen Taschenrechner oder derartige Funktionen besser kennt, besser weiterhelfen.

Good luck!

lusu007 aktiv_icon

15:39 Uhr, 18.11.2017

Vielen vielen Dank für die Geduld bei der Hilfe! :-)

Überhaupt nicht schlimm. Ich finde bestimmt jemanden.

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