Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Kombinatorik

Kombinatorik

Schüler

Tags: MATH

anonymous

15:09 Uhr, 03.01.2014

Hallo zusammen! Ich verzweifel gerade bei einer Aufgabe und hab in der Kombinatorik noch nicht so den Dreh raus, hoffe auf eure Hilfe.

Also es gibt

32

Spielkarten, jeweils die Standard "Farben" Karo,

Π k,

Herz und Kreuz. Von denen gibt es jeweils 8.
Es werden 3 Karten auf einmal gezogen.

1. Wahrscheinlichkeit: Keine der gezogenen Karten ist eine Herz Karte

Mein Lösungsansatz:

\frac{\begin{matrix} 24 \\ 3 \end{matrix}}{\begin{matrix} 32 \\ 3 \end{matrix}} = \frac{2024}{4960} = 40,8 %

2. Wahrscheinlichkeit: Alle gezogenen Karten haben gleiche Farbe

\frac{(\begin{matrix} 8 \\ 3 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 8 \\ 3 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 8 \\ 3 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 8 \\ 3 \end{matrix})}{\begin{matrix} 32 \\ 3 \end{matrix}}

Kann das sein?

3. Wahrscheinlichkeit: Jede der gezogenen Karten hat eine andere Farbe

\frac{(\begin{matrix} 8 \\ 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 8 \\ 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 8 \\ 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 8 \\ 1 \end{matrix})}{\begin{matrix} 32 \\ 3 \end{matrix}} = 1

Kann mir aber nicht vorstellen, dass das sein kann..

Wie man merkt, verzweifel ich gerade wirklich. Danke für jede Hilfe :-)

LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Matlog aktiv_icon

16:00 Uhr, 03.01.2014

Zunächst zur Lesbarkeit:
Bei komplizierten Brüchen, wo Zähler oder Nenner nicht nur aus einer einzelnen Zahl bestehen, solltest Du Klammern um Zähler bzw. Nenner machen!
Im Textmodus kann man

(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix})

so schreiben: "((n), (k))".

Die erste Aufgabe ist richtig.
Bei der zweiten musst Du im Zähler addieren (statt multiplizieren). Man kombiniert doch nicht drei "Kreuz" mit drei "Pik" usw.

Bei der dritten Aufgabe wäre im Zähler die Multiplikation gerechtfertigt. Aber irgendwie scheinst Du im Zähler vier Karten zu ziehen?!

anonymous

16:16 Uhr, 03.01.2014

Oh man, tut mir leid! Hab da gar nicht mehr drauf geachtet. Vielen Dank.

Okay, also müsste ich bei der zweiten das folglich machen:

\frac{(\begin{matrix} 8 \\ 3 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 8 \\ 3 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 8 \\ 3 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 8 \\ 3 \end{matrix})}{\begin{matrix} 32 \\ 3 \end{matrix}} = 4,5 %

Richtig so?

Und bei der dritten Aufgabe dachte ich, dass man eben die Binomialkoeffizienten multiplizieren muss von den jeweiligen Farben? Oder kommt das auf die Anzahl der Ziehungen an?

LG

Matlog aktiv_icon

16:22 Uhr, 03.01.2014

Die zweite Aufgabe ist jetzt richtig!
Bei der dritten steht im Zähler bei Dir die Anzahl der Möglichkeiten, eine "Kreuz", eine "Pik", eine "Herz" und eine "Karo" zu ziehen. Es werden aber doch gar nicht vier Karten gezogen!

anonymous

16:29 Uhr, 03.01.2014

Super dankeschön! Hast mir echt geholfen.

Nur noch eine Frage, dann wäre alles geklärt.
Wenn man mehrmals Karten mit Zurücklegen ziehen würde, wie müsste man das dann ausrechnen?

z . B

. bei

10

Ziehungen keine Herzkarte?

Matlog aktiv_icon

16:35 Uhr, 03.01.2014

Hm, hast Du denn jetzt eine Lösung zur dritten Aufgabe?

Beim Ziehen mit Zurücklegen sind die Voraussetzungen vor jedem Ziehen gleich.
P("Zehn Mal kein Herz")=

{(\frac{3}{4})}^{10}

anonymous

16:40 Uhr, 03.01.2014

Aufg. 3:

\frac{(\begin{matrix} 8 \\ 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 8 \\ 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 8 \\ 1 \end{matrix})}{\begin{matrix} 32 \\ 3 \end{matrix}} = 10,32 %

Korrekt?

Alles klar. Dankeschön! :-)

Matlog aktiv_icon

16:43 Uhr, 03.01.2014

Nein, das stimmt so noch nicht!
Im Zähler hast Du jetzt beispielsweise die Möglichkeiten für eine "Kreuz", eine "Pik" und eine "Herz". Da gibt es aber doch noch andere solche Farbkombinationen aus drei verschiedenen Farben!

anonymous

17:04 Uhr, 03.01.2014

Bin wirklich ahnungslos.. Hat das irgendwas mit Fakultät zutun?
Dachte daran, die Formel

\frac{(n!)}{((n - k)!)}

zu verwenden, da die Reihenfolge ja wichtig ist. Ich hab gerade nur einen kompletten Blackout.

Matlog aktiv_icon

17:14 Uhr, 03.01.2014

Wieso sollte denn jetzt plötzlich die Reihenfolge wichtig sein?

Bei jeder anderen Kombination dreier verschiedener Farben haben wir ebenfalls

(\begin{matrix} 8 \\ 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 8 \\ 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 8 \\ 1 \end{matrix})

Möglichkeiten.
Aus 4 Farben drei auswählen, dafür gibt es

(\begin{matrix} 4 \\ 3 \end{matrix})

Möglichkeiten.

Also insgesamt

\frac{(\begin{matrix} 8 \\ 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 8 \\ 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 8 \\ 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 3 \end{matrix})}{(\begin{matrix} 32 \\ 3 \end{matrix})}

Du könntest auch die Reihenfolge der Karten beachten:
Erste Karte völlig egal, zweite Karte muss eine andere Farbe als die erste haben

(24

von

31

verbliebenen Karten), die dritte eine andere als die ersten beiden

(16

von

30

verbliebenen Karten):

\frac{24}{31} \cdot \frac{16}{30}

anonymous

13:24 Uhr, 05.01.2014

Achso, jetzt versteh ichs! Ist ja eigentlich ganz simpel.

Könnte mir vielleicht noch jemand erklären, wie man ausrechnet, wenn "genau" 6 Herzkarten erhält bei

10

Ziehungen und "höchstens" 5 Herzkarten bei

10

Ziehungen?

Ich dachte bei genau 6 Herzkarten und

10

Ziehungen:

P("6-mal Herz, 4-mal Nicht-Herz")

= {(\frac{1}{4})}^{6} + {(\frac{3}{4})}^{4} = 31,7 %

Wenn das richtig ist, müsste ich bei höchstens nicht einfach dasselbe machen, nur mit 5-mal Herz und 5-mal Nicht-Herz?

Matlog aktiv_icon

17:20 Uhr, 05.01.2014

"Ist ja eigentlich ganz simpel."

Ja, wenn man die Prinzipien dahinter erst mal verstanden hat!
Das scheint bei Dir aber noch nicht so ganz der Fall zu sein. Insbesondere bei der Frage ob

+

oder

\cdot

tust Du Dich sehr schwer.

Das geht ganz analog zum Berechnen von Wahrscheinlichkeiten aus Baumdiagrammen. Das müsstest Ihr doch behandelt haben?! Schau mal nach Pfadmultiplikationsregel und Pfadadditionsregel.

Bei der neuen Aufgabe gehe ich mal von Ziehen mit Zurücklegen aus.
Hattet Ihr schon Binomialverteilung bzw. Bernoulliketten?
Wenn ja, dann hast Du eine Formel für solche Wahrscheinlichkeiten.
Falls, nein, dann:

Höchstens 5 Herzkarten kann man zusammensetzen aus 5 Herzkarten,

4, 3, 2, 1

oder keine Herzkarte. Diese Wahrscheinlichkeiten kannst Du alle einzeln berechnen und dann ADDIEREN.
Bei genau 6 Herzkarten:
6 Herzkarten können mit 4 Nicht-Herzkarten kombiniert werden, deshalb MULTIPLIZIEREN:

{(\frac{1}{4})}^{6} \cdot {(\frac{3}{4})}^{4}

Die 6 Herzkarten können aber an verschiedenen Punkten der Zugreihenfolge stehen. Dafür gibt es

(\begin{matrix} 10 \\ 6 \end{matrix})

Möglichkeiten, deshalb

(\begin{matrix} 10 \\ 6 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{4})}^{6} \cdot {(\frac{3}{4})}^{4}

anonymous

19:04 Uhr, 05.01.2014

Kannst du mir das mit den

(\begin{matrix} 10 \\ 6 \end{matrix})

evtl. Nochmal genau erklären? Ich verstehe nicht ganz, wieso das bei der Berechnung der Wahrscheinlichkeit relevant sein soll.

Das Problem ist, ich hab das Thema noch gar nicht durchgenommen, deshalb tu ich mir da schwer.

Matlog aktiv_icon

19:28 Uhr, 05.01.2014

Es wird

10

Mal nacheinander eine Karte mit Zurücklegen gezogen.
Bei jedem Ziehen ist die Wahrscheinlichkeit für eine Herzkarte

\frac{1}{4},

für eine Nicht-Herzkarte

\frac{3}{4}

.
Die Wahrscheinlichkeit für zunächst 6 Herzkarten und anschließend 4 Nicht-Herzkarten ist

{(\frac{1}{4})}^{6} \cdot {(\frac{3}{4})}^{4}

.
Wenn beispielsweise die ersten drei und die letzten drei Karten Herzkarten sind (und der Rest nicht), dann ergibt sich

{(\frac{1}{4})}^{3} \cdot {(\frac{3}{4})}^{4} \cdot {(\frac{1}{4})}^{3} = {(\frac{1}{4})}^{6} \cdot {(\frac{3}{4})}^{4},

also das gleiche, wie bei jeder anderen Reihenfolge auch.
Wieviele solcher Reihenfolgen von 6 Herzkarten unter

10

Karten gibt es?

(\begin{matrix} 10 \\ 6 \end{matrix})

Also muss man mit dieser Anzahl multiplizieren.

1135984

1135614

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?