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Kombinatorik Wann muss man welche Formel benutzen?

Schüler Allgemeinbildende höhere Schulen, 12. Klassenstufe

Tags: Kombinatorik, Reihenfolge, Wiederholung

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17:14 Uhr, 31.03.2013

Hallo,

Ich sitze gerade an einigen Beispielen der Kombinatorik und bin ein wenig verwirrt was die Formeln angeht.

Hier mal ein Beispiel:
In einem Studentinnenheim sind 7 Zimmer frei, auf wie viele Arten können 5 Studen-
tinnen auf diese Zimmer aufgeteilt werden?

Auf einer Website hab ich jetzt folgendes Beispiel gefunden, das ja fast gleich ist: Wie viele Möglichkeiten gibt es 2 Autos in 5 Parklücken zu parken?

Es ist ja egal ob man StudentInnen in Zimmer oder Autos in Parklücken unterbringen will, oder? Auf der Website wird folgende Formel zur Lösung vorgeschlagen:

\frac{n!}{(n - k)!}

Benutze ich diese erhalte ich die Lösung:

\frac{7!}{(7 - 5)!} = 2520

(Was mir ein bisschen viel vorkommt)

In einem Buch finde ich dann aber folgendes Beispiel:
Ein Fuhrunternehmer verfügt über 4 Fahrer, 3 Lastwagen und 2 Anhänger. Wie viele Möglichkeiten hat er, einen Lastzug zusammenzustellen?

Dort wird einfach 4*3*2 verwendet. Kann ich das Beispiel der StudentInnen nicht auch als eine solche Zusammenstellung sehen? Indem man einfach Zimmer und StudentInnen miteinander verbinden muss? Dann wäre das Ergebnis ja 7*5 = 35, was mir auch viel realistischer vorkommt, aber vielleicht irre ich mich ja auch.

lg,
brand.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Mitternachtsformel

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Gemischte Aufgaben der Kombinatorik
Kombinatorik: Ziehen mit Reihenfolge und mit Zurücklegen
Kombinatorik: Ziehen mit Reihenfolge und ohne Zurücklegen
Kombinatorik: Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen

Ma-Ma aktiv_icon

17:40 Uhr, 31.03.2013

"Auf einer Website hab ich jetzt folgendes Beispiel gefunden, das ja fast gleich ist: Wie viele Möglichkeiten gibt es 2 Autos in 5 Parklücken zu parken?"

Auf welcher Webseite ?

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Wie viele Möglichkeiten gibt es 2 Autos in 5 Parklücken zu parken?

Überlegen wir mal

...

.
Das 1. Auto kommt. Wieviel Möglichkeiten gibt es für dieses Auto ?

N_{1} = . .

. ?
Das 2. Auto kommt. Wieviel Möglichkeiten gibt es für dieses Auto ?

N_{2} = . .

. ?

N_{1} \cdot N_{2} = . .

. ?

Das wars.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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18:17 Uhr, 31.03.2013

Hallo nochmal,

Hier der Link zu der Website: www.schulminator.com/mathematik/kombinatorik

Mir ist schon klar, dass das mit den Parklücken Sinn macht, was ich nicht ganz verstehe: Wann verwendet man welche Formel? Also, wann multipliziere ich einfach die verschiedenen Gegenstände miteinander (so wie mit den Lastzügen) und wann benutze ich diese Formel?

Weil das macht schon einen riesigen Unterschied, wenn ich es mit der Formel rechne kommen ja 2520 Mögliche Zimmerbelegungen heraus und wenn ich die Zimmer einfach mal den StudentInnen rechne bekomme ich 35 mögliche Belegungen.

Ma-Ma aktiv_icon

18:39 Uhr, 31.03.2013

Schaue Dir nochmal die Aufgabe mit den Studenten an und löse sie genauso, wie mit den Autos. Du wirst feststellen, dass dann auch

2520

mögliche Zimmerbelegungen rauskommen.

Richte Deinen Blick nicht so sehr auf die Formeln, sondern auf die logischen Zusammenhänge. Und auch hier gilt, "Übung macht den Meister".

LG Ma-Ma

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18:58 Uhr, 31.03.2013

Ich hab mir das jetzt nochmal überlegt, nur um die Formel zu verstehen und wollt nur noch fragen ob die Überlegung stimmt.

Wenn die erste Person ein Zimmer wählt hat sie sieben Möglichkeiten, die zweite nur mehr 6, die dritte nur mehr 5, die vierte nur mehr 4 und die fünfte nur mehr 3.

Stimmt es jetzt wenn ich sage, dass multipliziert wird weil ja jede Person in jedem Zimmer sein kann? Also durch die Multiplikation alle verschiedenen Reihenfolgen von StudentInnen in Zimmern abgedeckt werden?

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13:54 Uhr, 01.04.2013

Ja, genau. Damit sind dann alle Möglichkeiten abgedeckt.
Man spricht hier auch von 'Permutationen'.
Dein Taschenrechner hat hierzu möglicherweise eine eigene Funktion, bei CASIO würde man schreiben '

7 P 2

', wobei zuerst

7

, dann SHIFT-X und dann

5

eingegeben wird.

Bei der Aufgabe mit den Lastwagen ist das anders. Hier soll ja nicht alles aufgeteilt werden, sondern nur EIN Lastzug entstehen. Da kann man natürlich aus

4

Fahrern,

3

LKWs und

2

Anhängern wählen, also

5 \cdot 4 \cdot 3

.
Bezogen auf die Wohnungsaufgabe wäre das:

5

Personen und

7

Wohnungen stehen zur Verfügung. EINE Wohnung soll vermietet werden. Wie viele Möglichkeiten gibt es?
Das sind dann

5 \cdot 7

.

Ist dir der Unterschied klar?

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18:43 Uhr, 01.04.2013

Den Unterschied hab ich glaub ich verstanden.
Aber eine andere Frage, oder eher zwei.

Erstens:
Was wenn ich nicht die Möglichkeiten für einen einzelnen Lastzug berechnen will, sondern alle möglichen Zusammenstellungen?
Ich kann ja dann nicht genauso herangehen wie bei den StudentInnen mit den Wohnungen.
Wenn ich sage: Ich stelle den ersten Lastzug zusammen und habe 4 mögliche Fahrer, 3 mögliche Wägen und 2 mögliche Anhänger, ich stelle den zweiten Lastzug zusammen und habe 3 mögliche Fahrer, 2 mögliche Wägen und 1 möglichen Anhänger... dann komm ich beim dritten möglichen Lastzug zu dem Problem, dass noch Fahrer und Wägen vorhanden sind aber keine Anhänger.

Wie verknüpft man da solche Elemente?

Das Problem hab ich nämlich bei einem anderen Beispiel:
Einer Studentin werden bei einer Prüfung 12 Fragen vorgelegt. Sie darf davon 4 aus-
wählen. Berechne die Anzahl der Wahlmöglichkeiten, wenn sie aus den ersten 6 Fra-
gen mindestens drei auswählen muss.

So wie ich das Ganze bis jetzt verstanden habe würde ich zuerst die Möglichkeiten für die ersten 6 Fragen berechnen, von denen ja drei gewählt werden müssen. Also einfach 6*5*4 = 120 Möglichkeiten.
Jetzt hab ich aber doch noch eine andere Frage übrig die ausgewählt werden kann. Die hat doch jetzt noch 12-3=9 Möglichkeiten gewählt zu werden oder? Und werden dann die 120 Möglicheiten mal 9 gerechnet oder wird das addiert?

Ma-Ma aktiv_icon

18:54 Uhr, 01.04.2013

NeueAufgabe

. .

. neuer Thread.

"Einer Studentin werden bei einer Prüfung

12

Fragen vorgelegt. Sie darf davon 4 aus-
wählen. Berechne die Anzahl der Wahlmöglichkeiten, wenn sie aus den ersten 6 Fra-
gen mindestens drei auswählen muss."

Das ist sicher nicht die Originalaufgabenstellung ?

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19:09 Uhr, 01.04.2013

Ich wollt jetzt eigentlich nicht noch einen Beitrag erstellen weil ich da eher wissen wollte wie man diese verschiedenen Möglichkeiten miteinander verknüpft, und ja, das ist die komplette Angabe.

Leider funktioniert der Link nicht direkt. Sonst hättest du es dir selber anschauen können, aber es steht sonst nichts da und ich hab die Angabe 1:1 kopiert.

Ma-Ma aktiv_icon

19:19 Uhr, 01.04.2013

Ich sehe da so:

Sie hat einen Zettel mit

12

Fragen.
Die ersten 6 Fragen stehen zur Auswahl.
Ausgewählt werden sollen MINDESTENS 3 Aufgaben, HÖCHSTENS 4 Aufgaben.

a)

Wieviel Möglichkeiten gibt es, aus 6 Fragen genau 3 Fragen auszuwählen ?

b)

Wieviel Möglichkeiten gibt es, aus 6 Fragen genau 4 Fragen auszuwählen ?

(Ähnliches werdet Ihr sicher bereits behandelt haben

... . .)

Dein Ansatz ?

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19:34 Uhr, 01.04.2013

Ich hab die Angabe folgendermaßen verstanden:
Sie muss aus 12 Fragen 4 wählen. Dabei muss aber beachtet werden, dass von den ersten 6 Fragen auf jeden Fall 3 gewählt werden müssen.

Deshalb würde ich die Aufgabe in zwei andere Teile aufspalten:

a) Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus 6 Fragen 3 zu wählen?
b) Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus 12 Fragen 1 zu wählen wenn drei schon gewählt sind.

Dann hätte ich die beiden miteinander verknüpft (dabei hab ich aber ein Problem).

Ich hätte es so gemacht:

Sie muss von den ersten 6 Fragen 3 wählen, also ergeben sich 6*5*4 = 120 Möglichkeiten.

Jetzt kommt der Teil bei dem ich mir nicht sicher bin, da hätte ich zwei Ideen, aber ich weiß nicht ob und wenn ja, welche stimmt.

1.: Für die vierte Frage gibt es 9 Möglichkeiten, weil ja nur mehr eine gewählt werden muss und von den 12 Fragen 3 vergeben sind.
Deshalb werden zu den 120 Möglichkeiten 9 addiert, was zu 129 Möglichkeiten als Endergebnis führt.

2.: Weil ja die 120 Möglichkeiten auch jedes Mal anders aussehen je nachdem welche Frage als letzte gewählt wird (wie vorhin gesagt als Permutation) muss man die 120 Möglichkeiten mal 9 rechnen, weil ja je nachdem welche Frage die vierte ist, wieder eine andere Möglichkeit für alle gewählten Fragen auftauch: Das würd dann zu 1080 Möglichkeiten führen.

Achja: Und das Problem an allen Beispielen ist, dass wir noch gar nichts in die Richtung gemacht haben weil der Vortragende der das erklären hätte sollen krank war, wir die Aufgabe aber schon aufbekommen haben zu dem Zeitpunkt.

Ma-Ma aktiv_icon

20:00 Uhr, 01.04.2013

Versuche die Teilaufgaben zu trennen.

1)

Aus den ersten 6 Fragen mindests 3 Aufgaben

. .

\to

also 3 oder 4 Aufgaben.
(siehe auch Binomialkoeffizient).

a)

Wieviel Möglichkeiten gibt es , aus 6 Fragen genau 3 Fragen auszuwählen ?

b)

Wieviel Möglichkeiten gibt es , aus 6 Fragen genau 4 Fragen auszuwählen ?

2)

Wenn aus den ersten 6 nur 3 Aufgaben ausgewählt, so muss aus den letzten 6 Aufgaben noch eine weitere Aufgabe ausgewählt werden.

a)

Wieviel Möglichkeiten gibt es , aus 6 Fragen genau 1 Fragen auszuwählen ?

- - - - - - - - - - - - - - - - -

Überlege Dir auch, ob die Reihenfolge wichtig ist

. .

\to

eher nicht!

- - - - - - - - - - - - - - - - - -

(Falls Du damit unbekanntes Terrain beschreitest, so stelle die Aufgabe als neuen Thread ein

!)

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14:21 Uhr, 02.04.2013

Danke für die Hilfe, ich bin das ganze jetzt so angegangen wie du es vorgeschlagen hast.
Also zuerst die Möglichkeiten wenn man aus den ersten Fragen alle Beispiele wählt:

\frac{6!}{4! * 2!} = \frac{720}{48} = 15

Dann die Möglichkeiten wenn man aus den ersten Fragen drei Beispiele wählt:

\frac{6!}{3! * 3!} = \frac{720}{36} = 20

Jetzt habe ich in dem Buch das ich benutze gelesen von "mehrstufigen Zufallsexperimenten". Und eigentlich ist die Fragestellung wie viele Möglichkeiten es gibt wenn man aus den ersten Fragen nur drei Beispiele wählt ein zweistufiges Zufallsexperiment.
Deshalb hätte ich jetzt die Möglichkeiten aus 6 Fragen 1 zu wählen (also 6, oder?), einfach mit den Möglichkeiten drei Fragen aus den ersten sechs zu wählen multipliziert.

Also würde es 120 Möglichkeiten geben die Fragen auszuwählen, wenn man von den ersten sechs Fragen nur drei wählt.

Stimmt das jetzt so?

Ma-Ma aktiv_icon

20:55 Uhr, 03.04.2013

Ja, das ist richtig.

Nun musst Du noch die beiden Endergebnisse addieren, dann hast Du die Gesamtanzahl aller Möglichkeiten.

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21:42 Uhr, 03.04.2013

Ok, vielen Dank, das mit dem Addieren der zwei verschiedenen Verläufe hätte ich vollkommen vergessen aber ich glaub ich hab es jetzt endlich halbwegs verstanden.

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