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Kombinatorik: Was sind Untermengen einer n-Menge?
Universität / Fachhochschule
Binomialkoeffizienten
Tags: Kombinatorik, mengen
 
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Hallo, aus meinem Skript habe ich entnommen: 1. Eine n-Menge umfasst r-Untermengen 2. Eine n-Menge umfasst Untermengen überhaupt. wobei die Anzahl der Ziehungen ist, also die r-Tupel. Was ich nicht ganz verstehe ist, was die Mengen darstellen, also auch den Unterschied zwischen den "Untermengen überhaupt" und den "r-Untermengen". Wenn ich beispielsweise die klassische Urne mit 4 Kugeln betrachte, warum gibt es dann Untermengen? Wie werden diese definiert? Danke für die Antworten!! Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Gemischte Aufgaben der Kombinatorik Kombinatorik: Ziehen mit Reihenfolge und mit Zurücklegen Kombinatorik: Ziehen mit Reihenfolge und ohne Zurücklegen Kombinatorik: Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen |
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n-Menge ist gebräuchlich als Abkürzung für "Menge mit genau Elementen", entsprechend r-Untermenge für "Untermenge mit genau Elementen" Dass eine n-Menge genau Untermengen hat, sieht man vielleicht am leichtesten ein, wenn man bedenkt, dass jede Folge von ja/nein-Antworten auf die Fragen: "Gehört das erste Element zur Untermenge?" . "Gehört das n-te Element zur Untermenge?" umkehrbar eindeutig eine Untermnege bestimmt. Formaler per Induktion: Ist eine 0-Menge, so zwangsweise . Dann enthält die Potenzmenge genau die eine Menge . Das passt zu . Ist dagegen eine n-Menge mit so sei ein beliebiges Element. Dann ist eine (n-1)-Menge, hat also nach Induktionsvoraussetzung genau Teilmengen. Jede Teilmenge ist von der Form entweeder oder mit und umgekehrt ergeben sich auf diese Weise aus stets zwei Teilmengen von und man sieht leicht ein, dass diese Teilmengen von paarweise verschieden sind. Es folgt, dass zweimal soviele Teilmengen hat wie also genau Teilmengen |
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Also, danke für die Antwort, ich hab sie mir lange Zeit angeschaut, besonders der erste Satz war hilfreich. Das würde den Binomialkoeffizienten für erklären. Bei der Induktion verstehe ich zwar den Ansatz, nur diesen Satz: "umgekehrt ergeben sich auf diese Weise aus stets zwei Teilmengen von M" verstehe ich nicht ganz. Welche zwei Teilmengen von meinst du? |
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Zu einer Teilmenge von ergeben sich die beiden Teilmengen sowie von |
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