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Kombinatorik Wörter aus 11 Buchstaben bilden

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Kombinatorik

vasmer

20:28 Uhr, 25.01.2015

Hi

Wie löst man diese Aufgabe:

Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus sämtlichen Buchstaben des Wortes ZARATHUSTRA Wörter zu bilden? A. bei denen, A nicht an erster Stelle stehen soll und

Z

nicht an letzter Stelle?

Bzw. warum ist die Lösung für A und

Z

die Hälfte der Möglichkeiten wie für die anderen 9 Buchstaben nämlich statt

9 \frac{!}{2! \cdot 2! \cdot 2!}, 0.5 \cdot (9 \frac{!}{2! \cdot 2! \cdot 2!})

?

Danke

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Gemischte Aufgaben der Kombinatorik
Kombinatorik: Ziehen mit Reihenfolge und mit Zurücklegen
Kombinatorik: Ziehen mit Reihenfolge und ohne Zurücklegen
Kombinatorik: Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen

Stephan4

20:53 Uhr, 25.01.2015

Alle Möglichkeiten:
Verteilung:

A . .

. 3

R . .

. 2

T . .

. 2

Z . .

. 1

H . .

. 1

U . .

. 1

S . .

. 1

\frac{11!}{3! \cdot 2! \cdot 2! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1!} = 415.800

Möglichkeiten

Davon subtrahieren: Alle Möglichkeiten mit A an erster UND

Z

an letzter Stelle, also A und

Z

weg, bleiben für den Rest 9 Buchstaben zu verteilen:

A . .

. 2

R . .

. 2

T . .

. 2

H . .

. 1

U . .

. 1

S . .

. 1

\frac{9!}{2! \cdot 2! \cdot 2! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1!} = 45.360

Möglichkeiten

Bleiben

370.440

Permutationen, wo weder A an erster noch

Z

an letzter Stelle stehen.

Wenn ich nicht irre.

:-)

Bummerang

12:58 Uhr, 26.01.2015

Hallo,

"Wenn ich nicht irre."

Leider doch geirrt! Die Aufgabenstellung lautet, dass die gesuchten Wörter kein A an erster Stelle haben dürfen und kein

Z

an letzter Stelle. Stephan4 hat alle Wörter abgezogen, die A an erster UND

Z

an letzter Stelle haben. Er müsst noch die abziehen, die A an erster und kein

Z

an letzter Stelle haben und di, die kein A an erster, aber ein

Z

an letzter Stelle haben. Das macht man aber einfacher, indem man zunächst alle mit A beginnenden Wörter abzieht, dann alle mit

Z

endenden Wörter und da man jetzt die mit A beginnenden UND mit

Z

endenden Wörter zwei Mal abgezogen hat, addiert man diese Wörter, die mit A beginnen UND mit

Z

enden wieder dazu. Das Ganze geht nach dem bekannten Rechengesetz für Mengen:

| A \cup Z | = | A | + | Z | - | A \cap Z |

Und da man das abziehen muss:

|alle|

- (| A | + | Z | - | A \cap Z |) =

|alle|

- | A | - | Z | + | A \cap Z |

Wie Du

| A |

und

| Z |

ermitteln kannst, das solltest Du aus den beiden Berechnungen analog ermitteln können!

vasmer

19:24 Uhr, 26.01.2015

Danke

Warum werden, dadurch das man von allen Worten die mit dem Wort ZARATHUSTRA beginnen, die Wörter abzieht, die mit A beginnen und die die die mit

Z

enden, die Wörter die nicht mit A und nicht mit

Z

beginnen zweimal gezählt? In der Lösung steht, das "A und

Z

als Rand für die mittleren 9 Buchstaben gibt es

45360

Anordnungen. Für

A ... . Z

und für

Z . .

. a sind es je die Hälfte, also

22680

. Das muss man dann von der Anzahl an Möglichkeiten für Wörter aus dem Wort ZARATHUSTRA subtrahieren(1663200) und man erhält

1103760

. Warum hat man den

45360

Möglichkeiten? Und warum nur die Hälfte für

Z

und A?

Stephan4

20:09 Uhr, 26.01.2015

Bummerang, Du hast recht, wenn Du sagst:
"Stephan4 hat alle Wörter abgezogen, die A an erster UND

Z

an letzter Stelle haben."

Denn in der Angabe steht doch UND:
"... A nicht an erster Stelle stehen soll und

Z

nicht an letzter Stelle"

vasmer

20:17 Uhr, 26.01.2015

Danke

Aber deine Lösung stimmt nicht

Bummerang

10:23 Uhr, 27.01.2015

Hallo staphan4,

Nehmen wir mal das Wort ARZT. Da soll an alle Wörter bilden, bei denen A nicht an erster Stelle stehen soll und

Z

nicht an letzter Stelle. Das sind für mich diese

14

Wörter:

RAZT
TAZR
RZAT
TZAR
ZART
ZATR
ZRAT
ZRTA
ZTAR
ZTRA
RTZA
RZTA
TRZA
TZRA

Bei Dir wären natürlich auch diese 8 Wörter erlaubt, allerdings wären bei Dir zusätzlich die folgenden Wörter erlaubt:

ARZT
AZRT
ATZR
AZTR
RATZ
RTAZ
TARZ
TRAZ

Macht bei Dir

14 + 8 = 22

Wörter, oder mit Deiner Rechnung (mit auf diesen Fall angepassten) Formeln:

\frac{4!}{1! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1!} = 24

Möglichkeiten

Davon subtrahiert: Alle Möglichkeiten mit A an erster UND

Z

an letzter Stelle, also A und

Z

weg, bleiben für den Rest 2 Buchstaben zu verteilen:

\frac{2!}{0! \cdot 1! \cdot 0! \cdot 1!} = 2

24 - 2 = 22

Ich berechne auch die

24

Wörter insgesamt, dann ziuehe ich die ab, die mit A beginnen:

\frac{3!}{0! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1!} = 6

dann die, die mit

Z

enden:

\frac{3!}{1! \cdot 1! \cdot 0! \cdot 1!} = 6

Und zum Schluss addiere ich noch die, die mit A anfangen UND mit

Z

enden, also die von Dir errechneten 2 Wörter. Macht zusammen:

24 - 6 - 6 + 2 = 14

Stephan4

22:00 Uhr, 27.01.2015

Wenn ich nicht Deine erste UND nicht Deine zweite Antwort verstanden hätte, wäre alles umsonst.

Doch das Gegenteil ist der Fall:
Ich habe Deine erste ODER zweite Antwort verstanden.

Danke.

Bleibt nur noch, die Frage des OP zu beantworten.

:-)

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