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Kombinatorik beim Pokern

Universität / Fachhochschule

Binomialkoeffizienten

Tags: Binomialkoeffizient, poker, Wahrscheinlichkeit

siggi571 aktiv_icon

20:59 Uhr, 14.01.2012

Hallo Community,

ich habe ein Problem bei der Berechnung einer Wahrscheinlichkeit und würde mich sehr freuen, wenn ihr mir hierbei ein bisschen helfen könntet. Aktuell ist mein Problem, ob mein Ansatz in folgender Situation und daraus folgend meine Rechnung richtig ist.

Es geht um die Preflop Wahrscheinlichkeit beim Texas Holdem von KK gegen

\forall,

die Frage die ich mir hierbei stelle lautet: "In wie vielen Faellen gewinnt KK gegen AA".
Sonderregel ist, das keine Flushes und keine Straßen zaehlen (den Schritt würde ich gerne als naechstes berechnen, vorab soll dies aber nicht gelten)

Für diejenigen, die zwar Profis in Mathe sind, aber keine Ahnung von den Spielregeln haben: Es gibt

52

Karten, es gibt

4 x

Ass,

4 x

König....4x den 2er. Es gibt keine Joker.
Nachdem

\forall

und KK ausgeteilt wurden, werden nun 5 Karten aufgedeckt, also praktisch "5 aus 48".

Mein Ansatz ist folgender: Anzahl hilfreicher Kombinationen/Alle Kombis

(48

über

5)

Anzahl hilfreicher Kombinationen:
ich habe mir gedacht, meine hilfreichen Kombis sind in diesem Fall:
- Es kommt ein König aber kein Ass und kein offener Vierling
- Es kommen 2 Könige und höchstens ein Ass

Die Anzahl der Kombinationen mit 2 Königen und höchstens einem Ass habe bestimmt, indem ich

(46

über

3) - (44

über

1)

gerechnet habe.

Die Anzahl der Kombinationen mit einem König aber keinem Ass und keinem Vierling habe ich folgender Massen berechnet:
Anzahl aller Kombis mit

1 K -

Anzahl Kombis mit

2 K

(sonst waere es in meinen Augen doppelt gemobbelt) - Anzahl Kombis mit

\forall -

Anzahl Kombis mit

A -

Anzahl Kombis mit Vierling

Mit Zahlen:

(47

über

4) \cdot 2 - 15180 \cdot 2 - (45

über

2) \cdot 2 - (2 \cdot (46

über

3) - 1980) - 11 \cdot 2 = 296076

Unter dem Strich

\frac{296076}{48}

über

5) = 0,172

Also in

17,29 %

gewinnen die Könige.

In wie fern ist diese Rechnung richtig / falsch

?

Grüße
Siggi

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Kombinatorik: Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen

hagman aktiv_icon

22:22 Uhr, 14.01.2012

Laut www.pokerolymp.com/odds hat

K K

gegen (andersfarbige)

A A

eine Gewinnchance von

18,55 %,

bei einer gemeinsamen Farbe

17,82 %,

bei gleichen Farben

17,09 %

.
Zusätzlich gibt es jeweils noch eine geringe Wahrcheinlichkeit für einen split pot - offenbar im wesentlichen, wenn der Flop selbst eine gute Hand darstellt.

siggi571 aktiv_icon

23:51 Uhr, 14.01.2012

Ja, das trifft zu, wenn ein Flush und eine Straight zaehlt. Diese Möglichkeiten will ich ja eigentlich rauslassen. Wollte nur wissen ob meine Rechnung dann stimmt.
gruß
Siggi

hagman aktiv_icon

12:04 Uhr, 15.01.2012

Hm, mal sehen. Wie kann

K K

besser sein als

A A

?

Wenn

K K

das beste Blatt mit allen 5 Flopkarten erreicht, hat

A A

(midestens) dasselbe. Dies kann also ignoriert werden.

Wenn

K K

sein bestes Blatt mit

K + 4

Karten macht, ist

A A

mit A+denselben 4 Karten entweder mindestens so gut oder das

K

ist nicht nur Beikarte, also Bestandteil einer Straße (wird ignoriert), eines Flushs (wird ignoriert) oder eines Mehrlings,

d . h

. es gibt mindestens noch ein

K

im Flop. In dem Fall wäre es aber mindestens ebenso gut, beide eigenen Ks einzubringen (dadurch macht er aus einem Paar einen Dreier, aus zwei Paaren ein Full House, aus einem Full House

K + K X X X

ein besseres Full House

K K + K X X

(weil

X \neq A

sein muss) oder aus einem Full House

K + K K X X

einen Vierling).

Es ist also nur der Fall zu betrachten, dass

K K

beide eigenen Karten

+

drei Flopkarten verwendet.
Dann hat er

a)

einen Vierling

K K K K X

. Wir müssen lediglich "verhindern", dass der Gegner vier Asse hat; dies liefert

(\begin{matrix} 46 \\ 3 \end{matrix}) - 44 = 15136

Gewinnmöglichkeiten

b)

ein Full House

K K X X X,

aber dann hat der Gegner

A A X X X!

c)

ein Full House

K K K X X

. Der Gegner kann nur gewinnen, wenn er einen Vierling hat

(X = A

oder die anderen beiden Karten sind

A)

oder ein Full House mit A-Drilling (eine der anderen Karten ist

A);

es muss also genau ein

K

im Flop und kein A liegen und der Rest bildet ein Paar oder zwei Paare oder einen Drilling; das macht

2 \cdot (11 \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 10 \\ 2 \end{matrix}) \cdot 4^{2} + (\begin{matrix} 11 \\ 2 \end{matrix}) \cdot {(\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix})}^{2} + 11 \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 3 \end{matrix}) \cdot 40) = 102520

d)

einen Drilling

K K K X Y

. Dann darf kein A im Flop liegen (und kein weiterer

K

und kein Paar, denn der Fall wäre bei a oder

c

schon gezählt); das macht

2 \cdot (\begin{matrix} 11 \\ 4 \end{matrix}) \cdot 4^{4} = 168960

e)

zwei Paare

K K X X

. Aber dann hat der Gegner die besseren zwei Paare

A A X X

(wenn es nicht sogar ein Vierling ist)

f)

Mit einem Paar kann

K K

natürlich nicht gegen

A A

geweinnen.

Ich zähle somit exakt

15136 + 102520 + 168960 = 286616

Gewinnmöglichkeiten für

K K

über

A A,

was bei Division durch

(\begin{matrix} 48 \\ 5 \end{matrix}) = 1712304

einen Wert von

16,74 %

. Es gibt wie üblich zahlreiche Wege der Abzählung, aber zumindest über die Gesamtzahl

286616

sollte Einigkeit herrschen (wobei ich mich natürlich auch durchaus verzählt haben kann)

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