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Kombinatorik - mit Wdh., ohne Reihenfolge

Universität / Fachhochschule

Binomialkoeffizienten

Tags: Abzählverfahren, Binomialkoeffizient, Kombination

 
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limes21

limes21 aktiv_icon

21:44 Uhr, 11.09.2020

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Hallo,

meine Frage bezieht sich auf den "4.Fall der Kombinatorik".
Gesucht ist also die Anzahl der möglichen Kombinationen ohne Beachtung der Reihenfolge und mit Wiederholung (zurücklegen).
Die normale Formel (n-1+kk) und deren Herleitung sind mir bekannt.
Meine Frage ist, ob jemand noch einen anderen Weg der Berechnung kennt, bei dem man erst mit nk die Anzahl möglicher Kombinationen mit Wiederholung und mit Beachtung der Reihenfolge berechnet und dann, wie auch immer, die Anzahl der "mehrfach" auftretenden Kombinationen rausrechnet?
Als konkretes Beispiel könnte ich hier geben:

Urne mit 4 Kugeln und es wird 2 mal gezogen. Mit Wdh. und ohne Beachtung der Reihenfolge.
Wie viele mögliche Kombinationen gibt es?

(52)=10 Möglichkeiten

Da 42=16 sind, gibt es 6 "mehrfach" auftretende Kombinationen, die aufgrund der Tatsache, dass die Reihenfolge nicht beachtet werden soll, wegfallen.
Also könnte man auch über 42-6=10 an das richtige Ergebnis rankommen.
Gibt es denn einen Weg diese Kombinationen ,die wegfallen, allgemein direkt zu berechnen und diese dann von nk zu subtrahieren und dann zu verallgemeinern?
Oder zumindest irgendwas in der Art?

Würde mich einfach interessieren, ob man das auf Zwang auch anders machen könnte und hat nicht den Anspruch praktisch zu sein.

LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Antwort
supporter

supporter aktiv_icon

06:02 Uhr, 12.09.2020

Antworten
Warum willst du unbedingt nk verwenden, wenn du doch die übliche Formel kennst?
Wenn du die Formeln betrachtest, sind sie völlig unterschiedlich:
Potenz versus Binomialkoeffizient
vgl.:
www.mathebibel.de/kombinatorik
limes21

limes21 aktiv_icon

15:02 Uhr, 12.09.2020

Antworten
Alles was du jetzt in deiner Antwort geschrieben hast, habe ich ja oben schon geschrieben, aber danke.


Antwort
HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

10:05 Uhr, 14.09.2020

Antworten
> Gibt es denn einen Weg diese Kombinationen ,die wegfallen, allgemein direkt zu berechnen und diese dann von nk zu subtrahieren und dann zu verallgemeinern?

Klar gibt es den: Mach eine Fallunterscheidung gemäß des Kriteriums, ob, wie oft, und in welchen genauen Anzahlen in der Auswahl Elemente mehrfach vorkommen, und verrechne das dann korrekt pro Fall. In deinem Beispiel "4 Kugeln, 2mal ziehen" sind das letztlich nur 2 Fälle, aber bei mehr als zweimal ziehen, wird die Fallanzahl dann immer größer, und zwar sehr schnell auch exorbitant groß...

Beispielsweise sieht bei "6 Kugel, 4mal ziehen mit Wiederholung" die Fallunterscheidung bzgl. der vier gezogenen Kugeln so aus:

1) Alle gezogenen verschieden: 64=15 Auswahlmöglichkeiten in jeweils 4!=24 Anordnungen, macht 1524=360 Variationen.

2) Genau zwei einander gleich: 6152=60 Auswahlmöglichkeiten in jeweils 4!2!=12 Anordnungen, macht 6012=720 Variationen.

3) Zweimal je zwei einander gleich: 62=15 Auswahlmöglichkeiten in jeweils 4!2!2!=6 Anordnungen, macht 156=90 Variationen.

4) Genau drei einander gleich: 6151=30 Auswahlmöglichkeiten in jeweils 4!3!=4 Anordnungen, macht 304=120 Variationen.

5) Alle vier einander gleich: 61=6 Auswahlmöglichkeiten in jeweils 4!4!=1 Anordnung, macht 61=6 Variationen.

Summa summarum 360+720+90+120+6=1296 Variationen, was exakt 64 entspricht, wie es auch sein sollte für Variationen mit Wiederholung. Dem gegenüber stehen 15+60+15+30+6=126 bloße Auswahlmöglichkeiten (d.h. ohne Ziehungsreihenfolge), das entspricht der Kombinationszahl 6+4-14=94.

Das Hauptproblem ist eben, dass die Permutationszahl in jedem Fall eine andere ist. Das ist bei Variationen OHNE Wiederholung anders: Hier gibt es für jede Auswahl ohne Reihenfolge eben GENAU 4!=24 Permutationen, was die einfache gegenseitige Beziehung der beiden Anzahlen mit und ohne Reihenfolge erklärt. Bei Ziehungen MIT Wiederholung ist das eben nicht mehr so.

Frage beantwortet
limes21

limes21 aktiv_icon

17:30 Uhr, 16.09.2020

Antworten
Vielen Dank für die ausführliche Antwort.
Hat mir sehr geholfen.

LG