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Kombinatorik zur Fußball EM

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Tags: Kombinatorik

 
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Otto1

Otto1

10:43 Uhr, 11.06.2012

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Hallo

Ich beschäftige mich gerade mit einen Rätsel zur Fußball EM und komme nicht weiter.
Hier das Rätsel:

Bei der EM treten in der Vorrunde vier Manschaften gegeneinander an , jeder gegen jeden, also sechs Spiele. Es könne drei Punkte für Sieg, ein Punkt für Unentschieden und null Punkte für eine Niederlage pro Spiel erlangt werden. So das eine Tabelle am Ende der Vorrunde so aussehen könnte:
A9
B4
C3
D1

Nun meine Frage: Wie viele verschieden und welche Tabellenstände sind möglich?

Das es 729 Möglichkeiten gibt, wie die Vorrunde ausgehen kann, daß weiß ich schon.
Aber da sind ja sehr viele gleichen Tabellenstände dabei.
Hier komme ich rechnerisch nicht weiter und alle 729 Möglichkeiten durch zu probieren ist mir doch zu viel Arbeit.
Für einen Tip wäre ich dankbar.
Gruß Otto1

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
kalli

kalli

02:51 Uhr, 12.06.2012

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Hallo Otto,
ich habe da eine Idee, vielleicht führt die zur Lösung.
Ich würde die Aufgabe so lösen, dass ich zuerst Mannschaft A betrachte. Diese hat genau 3 Spiele.

Ich glaube, dass Du die Aufgabe mit dem Fächerproblem lösen kannst. Also du hast eine Urne mit 3 weiße Kugeln (für die Spiele) und 2 rote Kugeln für die Unterteilung der Fächer.

Das Ergebnis:
wwrrw würde dann stehen für 2 Siege, kein Unentschieden und 1 Niederlage.
wrwwr würde dann stehen für 1 Sieg, zwei Unentschieden und 0 Niederlagen, usw.

Das kann man mit einer Formel (n+k+1k) ausrechnen. Bei der Formel bin ich mir nicht ganz sicher, bitte nachschlagen!!!

Anschließend kümmerst Du Dich um Mannschaft B. Diese hat nun noch 2 Spiele frei.
Als letztes noch Mannschaft C, die noch ein Spiel frei wählen kann. MAnnschaft D muss nehmen, was am Ende übrig bleibt.

Ich denke, dass Du so die Ausgänge alle abschätzen kannst und so die verschiedenen Tabellen bekommst (vom Torverhältnis abgesehen, aber dann gäbe es unendlich viele Lösungen).
Dabei werden sich aber auch einige Tabellenstände wiederholen. Wie Du diese eliminieren kannst, habe ich im Moment noch keine Idee.

Ich hoffe, dass ich Dir weiterhelfen konnte.

LG
Antwort
Bummerang

Bummerang

08:32 Uhr, 12.06.2012

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Hallo,

mit einer Tabellenkalkulation findet man schnell heraus, dass es genau die folgenden 40 Lösungen gibt, die erste Zahl zeigt dabei die Summe aller Punkte aller Mannschaften an:

12    3333
13    5332
14    5531
14    5432
14    7322
14    5522
15    7431
15    4443
15    5550
15    5532
15    6522
15    5541
15    7521
15    5442
15    9222
15    7422
16    7540
16    7531
16    5443
16    6541
16    7432
16    7621
16    6442
16    9421
16    7711
16    7441
16    4444
17    7730
17    7433
17    7640
17    7631
17    6443
17    9440
17    6641
17    9431
17    9611
18    9630
18    9333
18    6633
18    6660

Für ein Spiel werden ja insgesamt 2 oder 3 Punkte vergeben, das ergibt theoretisch einen Wert von 12 bis 18 und wie man sieht, wird auch jeder der Werte mindestens einmal angenommen. An der 18 sieht man leicht, dass nicht jede Bildung von Summanden möglich ist, da gibt es Abhängigkeiten. Bei der 18 ist es so, dass für jedes Spiel 3 Punkte vergeben werden, die Anzahl der Punkte der einzelnen Mannschaften muß also durch 3 teilbar sein. Dann allerdings ist jede Möglichkeit, die 18  in  4 durch 3 teilbare Summanden zu zerlegen auch eine mögliche Lösung. Bei der 17 wird es schon komplizierter. Ob es dafür wirklich eine mathematische Herleitung gibt, bin ich mir nicht ganz sicher. Die Abhängigkeiten sind schon enorm!
Antwort
kalli

kalli

14:07 Uhr, 12.06.2012

Antworten
Hallo,
an der Stelle würde ich aber auch noch eine Umsortierung erlauben. Jede Mannschaft kann ja theoretisch jeden Platz belegen.

Allerdings müsste man das von Hand machen, da bei 3333 ja egal ist, welche Mannschaft an welcher Stelle genannt wird, bei 9630 gibt es aber 4! mögliche Permutationen...
Antwort
Bummerang

Bummerang

16:52 Uhr, 12.06.2012

Antworten
Hallo kalli,

"an der Stelle würde ich aber auch noch eine Umsortierung erlauben. Jede Mannschaft kann ja theoretisch jeden Platz belegen."

Ich gehe davon aus, dass die Ermittlung der Permutationen für die Reihenfolge der Mannschaften nicht das eigentliche Problem war, deshalb habe ich mich auf darauf konzentriert, allein das Problem der Möglichkeiten der Punkteverteilung zu lösen.
Frage beantwortet
Otto1

Otto1

19:54 Uhr, 12.06.2012

Antworten
Hallo

Danke an Bummerang, deine Lösung ist absolut richtig und du hast mir damit sehr weitergeholfen.
Danke an kalli, das du dich auch mit meinen Problem beschäftigt hast.

Danke und Gruß Otto1
Antwort
drujo

drujo aktiv_icon

10:53 Uhr, 15.06.2012

Antworten
Hier ein Kurzprogramm in php, das alle möglichen Kombinationen darstellt:

<?php
//Punktevergabe für Spiele 1 bis 6
//Tausender = Mannschaft A, Hunderter = Mannschaft B, Zehner = Mannschaft C; Einer = Mannschaft D
//Ist so möglich, da die maximale Punktezahl pro Mannschaft 9 ist
$s1 = array(3000,1100,300);
$s2 = array(3000,1010,30);
$s3 = array(3000,1001,3);
$s4 = array(300,110,30);
$s5 = array(300,101,3);
$s6 = array(30,11,3);

//Kombination aller möglichen Ergebnisse für die sechs Partien (3 hoch 6=729 Möglichkeiten)
$i=0;
for($a=0;$a<3;$a++){
for($b=0;$b<3;$b++){
for($c=0;$c<3;$c++){
for($d=0;$d<3;$d++){
for($e=0;$e<3;$e++){
for($f=0;$f<3;$f++){
//Addition der Punktestände aus den sechs Partien
$tab=$s1[$a]+$s2[$b]+$s3[$c]+$s4[$d]+$s5[$e]+$s6[$f];
//Führende Null im String
$tab=str_pad($tab,4,0);
//Ziffern im String nach Größe sortieren
$tab=tabelleSort($tab);
//Endtabelle in Gesamt-Array eintragen
$tabelle[$i]=$tab;
$i++;
}
}
}
}
}
}
//Gesamt-Array sortieren
rsort($tabelle);

echo "<h1>Mögliche Tabellenstände</h1>";
echo "

bei 4 Mannschaften in einer Gruppe

";
//Sortierten Gesamt-Array auslesen
for($z=0;$z<$i;$z++){
//Doppelt vorkommende Tabellenstände weglassen
if($tabelle[$z]>$tabelle[$z+1]){
echo $tabelle[$z]."<br>";
}
}

//Sortierfunktion für Tabellen-String
function tabelleSort($n){
//Zerlegen der Zahl
$t=array(substr($n,0,1),substr($n,1,1),substr($n,2,1),substr($n,3,1));

//Sortieren der Ziffern
rsort($t);
$n=$t[0].$t[1].$t[2].$t[3];
return $n;
}
?>

Abrufbar unter www.gottesgarten-bamberg.de/em.php
Otto1

Otto1

15:55 Uhr, 15.06.2012

Antworten
Hallo drujo

Kannst Du mir Dein Programm noch umschreiben und ausführen lassen , so das die doppelt vorkommenden Tabellenstände noch dabei sind. So das ich sehen kann wieviel unterschiedliche Möglichkeiten ein Tabellenstand hat. Im Durchnschnitt sind es ja ca. 18 Möglichkeiten pro Tabellenstand, aber ich würde gerne genau sehen welcher häufiger ist und welcher nicht.
Gruß Otto
Antwort
drujo

drujo aktiv_icon

19:29 Uhr, 16.06.2012

Antworten
Tabellenvarianten mit Häufigkeit des Vorkommens (Zahlen in Klammern):

<?php
//Punktevergabe für Spiele 1 bis 6
//Tausender = Mannschaft A, Hunderter = Mannschaft B, Zehner = Mannschaft C; Einer = Mannschaft D
$s1 = array(3000,1100,300);
$s2 = array(3000,1010,30);
$s3 = array(3000,1001,3);
$s4 = array(300,110,30);
$s5 = array(300,101,3);
$s6 = array(30,11,3);

//Kombination aller möglichen Ergebnisse für die sechs Partien (3 hoch 6=729 Möglichkeiten)
$i=0;
for($a=0;$a<3;$a++){
for($b=0;$b<3;$b++){
for($c=0;$c<3;$c++){
for($d=0;$d<3;$d++){
for($e=0;$e<3;$e++){
for($f=0;$f<3;$f++){
//Addition der Punktestände aus den sechs Partien
$tab=$s1[$a]+$s2[$b]+$s3[$c]+$s4[$d]+$s5[$e]+$s6[$f];
//Führende Null im String
$tab=str_pad($tab,4,0);
//Ziffern im String nach Größe sortieren
$tab=tabelleSort($tab);
//Endtabelle in Gesamt-Array eintragen
$tabelle[$i]=$tab;
$i++;
}
}
}
}
}
}
//Gesamt-Array sortieren
rsort($tabelle);

echo "<h1>Mögliche Tabellenstände</h1>";
echo "

bei 4 Mannschaften in einer Gruppe

";
//Sortierten Gesamt-Array auslesen
$anzahl=1;
$summe=0;
for($z=0;$z<$i;$z++){
//Doppelt vorkommende Tabellenstände weglassen
if($tabelle[$z]>$tabelle[$z+1]){
echo $tabelle[$z]." (".$anzahl.")<br>";
$summe=$summe+$anzahl;
$anzahl=1;
}
else{
$anzahl++;
}
}
echo "<h3>Summe: ".$summe."<h3>";
//Sortierfunktion für Tabellen-String
function tabelleSort($n){
//Zerlegen der Zahl
$t=array(substr($n,0,1),substr($n,1,1),substr($n,2,1),substr($n,3,1));

//Sortieren der Ziffern
rsort($t);
$n=$t[0].$t[1].$t[2].$t[3];
return $n;
}
?>

Aufruf der Datei unter www.gottesgarten-bamberg.de/em.php
Frage beantwortet
Otto1

Otto1

19:36 Uhr, 16.06.2012

Antworten
Hallo drujo

Super, danke Du hast mir sehr geholfen...

Schönes Wochenende, Otto1
Antwort
drujo

drujo aktiv_icon

20:12 Uhr, 16.06.2012

Antworten
Hallo Otto1,

gerne geschehen. Die Frage hat mich selber vor einigen Tagen beschäftigt. Und als ich deine Frage im Forum fand, habe ich es eben systematisch angepackt. Bei Bedarf lässt sich dieser Ansatz ja auch für Turniere mit mehr als vier Mannschaften pro Gruppe verwenden.
Schönes Wochenende noch und eine spannende EM!

drujo