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Kombinatorik/Bernoulli-Kette

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: , Bernoulli-Kette, Kombinatorik

Dylan aktiv_icon

00:20 Uhr, 21.10.2010

Hallo Zusammen.
Ich bin echt am verzweifeln mit unserem neuen Thema in Mathe.
Die Wahrscheinlichkeitsrechnung aus der Unterstufe kann ich zwar aber den Rest...
Ich weiss, was ein Bernoulli-Experiment ist und wie die Formeln für: m. Zurücklegen+ Reihenfolge; m. Zurücklegen + ohne RF; oh. zurücklegen + RF; oh. zurücklegen oh. RF zustande kommen. Danach war ich leider etwas länger krank und habe nur diesen Zettel bekommen (siehe die Aufgaben unten). Ich habe jetzt zwar versucht etwas zu lösen aber so richtig weiter komme ich nicht.
Wäre echt lieb, wenn ihr mir helfen könntet/sagen könntet, ob das was ich gemacht habe richtig ist.

LG
Dylan

Aufgaben:
http//img3.fotos-hochladen.net/uploads/dsc00640s1hf59bdy.jpg

Lösungsansatz:
http//img3.fotos-hochladen.net/uploads/dsc00643muh5d8kq3.jpg

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Gemischte Aufgaben der Kombinatorik
Kombinatorik: Ziehen mit Reihenfolge und mit Zurücklegen
Kombinatorik: Ziehen mit Reihenfolge und ohne Zurücklegen
Kombinatorik: Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen

nieaufgeber aktiv_icon

01:14 Uhr, 21.10.2010

Achte drauf, dass man auch eine Tabelle zu deinen Aufgaben benötigt sonst muss man lange rechnen!

Krahapp aktiv_icon

01:16 Uhr, 21.10.2010

Hallo Dylan,

die Formel, die du benötigst und auch schon oben hin geschrieben hast, lautet

P (X = k) = (\binom{n}{k}) \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k}

Die Formel gibt also an: Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass

k

Erfolge bei

n

Versuchen eintreten, wobei die Erfolgswahrscheinlichkeit bei einem Versuch

p

ist.

Wenn du dir über die Bedeutung im klaren bist, dann lassen sich die Aufgaben im Handumdrehen lösen.

3.)
Dein Ansatz ist vollkommen richtig. Du brauchst nur noch einsetzen.
Es gibt

n = 6

Versuche (Kinder), davon sollen

k = 3

Erfolge (Knaben) sein, wobei ein Erfolg zu

p = 0, 514

eintritt.

4.)
Jetzt wird es etwas schwieriger. Deine Werte für

n

und

p

stimmen, der für

k

(Anzahl der Erfolge) nur in gewisser Weise.
Du musst betrachten, wann das Ereignis, das verlangt wird (höchstens zweimal die 2), eintritt. Dies tritt ein, wenn keine, eine oder zwei Zweien gewürfelt werden. Du musst also 3 Fälle betrachten:

k = 0

k = 1

und

k = 2

.
Wenn du jeweils die Wahrscheinlichkeiten für diese Werte berechnest und diese aufaddierst, hast du die Wahrscheinlichkeit dafür, dass irgendeiner dieser Fälle eintrifft.
Formal gilt nämlich:

P (X \leq 2) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2)

In Worten: Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Erfolg höchstens 2-Mal eintritt, ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten, dass er 0-, 1- oder 2-Mal eintritt.

5.)
Hier ist es fast genau so wie bei 4.)
Nur musst du dieses Mal die Fälle betrachten, bei denen er mindestens 8-Mal trifft. Also

k = 8

k = 9

und

k = 10

.

6.)
Deine Herangehensweise war mit Baumdiagramm. Das ist zwar möglich, aber viel zu kompliziert. Mit der gegebenen Formel bist du bereits über dem Baumdiagramm hinaus und kannst einfach einsetzen.

Das Wichtige bei der Aufgabe ist, dass die Kugeln wieder zurückgelegt werden. Das heißt, bei jeder Ziehung gibt es zwei verschiedene mögliche Ausgänge, die zu einer festen Wahrscheinlichkeit eintreten.

Zunächst musst du schauen, was in dieser Aufgabe als Erfolg betrachtet wird. Da nach der Wahrscheinlichkeit von einer Ziehung roter Kugeln gefragt wird, wird als Erfolg die Zeihung einer roten Kugel betrachtet. Die Wahrscheinlichkeit liegt bei

p = \frac{10}{15}

, da in 10 von 15 Möglichkeiten eine Rote Kugel gezogen wird.

Soweit, so gut. Damit hast du

n

und

p

. Die Frage ist jetzt, welche

k

du betrachten musst. Es sollen 4 bis 6 Kugeln gezogen werden, also Wahrscheinlichkeiten für

k = 4

k = 5

k = 6

berechnen und addieren.

7.)
In deinem Ansatz hast du jetzt schon zwei Möglichkeiten für die einzelnen Größen gegeben. Man kommt mit beiden zum Ziel, wir sollten uns aber auf eine beschränken.
Zunächst musst du wieder überlegen, was als Erfolg betrachtet wird. Da nach der Seitenlage gefragt ist, würde sich dein oberer Vorschlag (

p = 0, 30

) eignen.
Nun ist die Frage, mit welcher Wahrscheinlichkeit mehr als 3-Mal die Seitenlage erreicht wird. Zunächst könnte man mit dem bewährten Schema daran gehen und die Wahrscheinlichkeiten für

k = 4

k = 5

, ...,

k = 10

berechnen. Da dies aber ziemlich aufwendig ist, wendet man jetzt den Trick an, das Gegenereignis zu betrachten.
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 3-Mal die Seitenlage erreicht wird? Dies ist hier die sinnvollste Ausformulierung des Gegenereignisses. Berechnest du jetzt also

P (X \leq 3)

, hast du die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses berechnet. Dementsprechend berechnest du die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses "Mehr als 3-Mal Seitenlage" mit

1 - P (X \leq 3)

.

Ich hoffe, das hilft dir ein bisschen weiter!

Dylan aktiv_icon

11:15 Uhr, 22.10.2010

@Krahapp

Vielen Dank, dass hat mir sehr geholfen.

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