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Kombinatorikaufgaben

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Aufgaben, Kombinatorik

8mileproof aktiv_icon

23:17 Uhr, 16.12.2011

hallo,

schlag mich grad mit ein paar kombinatorikaufgaben....

a)

wieviele mögliche ergebnisse gibt es bei einem gleichzeitigen wurf von 5 würfeln.

ich werfe also 5 würfeln hoch. ich habe mir dazu folgendes modell ausgedacht:

wenn jetzt die zahl 5 die freien plätze darstellen. und ich in jeden freien platz immer 6 kugeln reinlegen darf, dann müssten es doch

6^{5}

möglich ergebnisse geben.

aber laut musterlösung muss

252

rauskommen....

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Gemischte Aufgaben der Kombinatorik
Kombinatorik: Ziehen mit Reihenfolge und mit Zurücklegen
Kombinatorik: Ziehen mit Reihenfolge und ohne Zurücklegen
Kombinatorik: Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen

Aurel

00:12 Uhr, 17.12.2011

Hallo

Es handelt sich hier um den Fall: Auswahl ohne Beachtung der Reihenfolge mit Zurücklegen, siehe:

de.wikipedia.org/wiki/Abzählende_Kombinatorik#Kombination_mit_Zur.C3.BCcklegen_.28Repetition.29

N = (\begin{matrix} n + k - 1 \\ k \end{matrix}) = 252

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .

N = 6^{5}

wäre der Fall: Auswahl mit Beachtung der Reihenfolge mit Zurücklegen

Das Würfeln mit 5 Würfels ist aber hier anscheined so gemeint, dass die Würfel in der Art geworfen werfen, dass eine Reihenfolge nicht mehr erkennbar ist.

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21:22 Uhr, 20.12.2011

okay, vielen dank erstmal...ich lerne grad ein paar kombinatorik aufgaben und deshalb ist es mir wichtig, dass zu verstehen. dass mit der reihenfolge ist schon klar, aber woran erkennst du zum beispiel, dass es "mit zurücklegen" ist?

edit:

hab noch ne andere frage:

wieviele 8-stellige dualzahlen gibt es in denen jede ziffer höchstens einmal vorkommt?

also ich hab mir dazu folgendes gedacht:

nun ja, da jede ziffer höchstens einmal vorkommen kann, ist es schon mal eine auswahl "ohne zurücklegen". nun kommen nur noch mit beachtung der reihenfolge oder ohne beachtung der reihenfolge. mit beachtung der reihenfolge wäre

n!

und ohne beachtung der reihenfolge wäre der binomialkoeffizient

(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix})

.

ich würde mir schon denken, dass die zahlen unterschiedlich sein sollen, denn sonst macht es ja keinen sinn... also habe ich

10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 1814400

gerechnet.

ich weiß aber, dass da

1632960

rauskommen soll...

Aurel

02:02 Uhr, 21.12.2011

"aber woran erkennst du zum beispiel, dass es "mit zurücklegen" ist?"

Die bezeichnung "Zueücklegen" entstammt hier dem Urnenmodel

Wenn man Würfeln mittels Urnenmodel darstellt, so hat man eine Urne mit 6 unterschiedlichen Kugeln, wobei Würfeln dem Ziehen einer aus 6 Kugeln entspricht, somit muss nach jedem Zug die gezogene Kugel wieder zurückgelegt werden, damit für einen weiteren Zug - entspricht einem nochmaligen Würfeln - wieder die 6 unterschiedlichen Kugeln in der Urne liefen.

Anstatt "mit / ohne Zurücklegen" sagt man auch "mit / ohne Wiederholung"

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

wieviele 8-stellige dualzahlen gibt es in denen jede ziffer höchstens einmal vorkommt?

Was meinst du damit?

Meinst du einfach nur: wieviele 8-stellige dualzahlen gibt es

denn bei Dualzahlen gibt es nur zwei Ziffern,

z . B

. "0" und "1"

eine 8-stellige Dualzahl, wie

z . B

10011101

enthält immer mindestens eine der beiden Ziffern "0" und "1" öfter als einmal.

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14:53 Uhr, 21.12.2011

also die aufgabe lautet:

Wieviele 8-stellige dualzahlen gibt es, in denen jede Ziffer höchstens einmal vorkommt?

und das ergebnis soll

1632960

sein. aber ich habe nur das ergebnis.

Bummerang

14:57 Uhr, 21.12.2011

Hallo,

wie Aurel bereits geschrieben hat, kann das Ergebnis der Aufgabenstellung, so wie Du sie hier formuliert hast, nur Null lauten! Zum Verständnis: Wie viele 11stellige Dezimalzahlen gibt es, bei denen jede Ziffer maximal ein Mal vorkommt?

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15:02 Uhr, 21.12.2011

hmmh...ups...sry...ich sehe erst jetzt meinen fehler...es sind nicht dualzahlen, sondern dezimalzahlen...;-) das ist natürlich ein gewaltiger unterschied....

also noch ma die aufgabe : wieviele 8-stellige dezimalzahlen gibt es, in denen jede ziffer höchstens einmal vorkommt?

sry, für die verwirrung...

edit: also ich hatte so ne ähnliche aufgabe....wieviele siebenstellige dualzahlen gibt es? und da habe ich

2^{7}

gerechnet. beim abtippen habe ich diese beiden verwechselt...sry...

mein lösungsanstz zu obiger aufgabe war folgende: da jede ziffer höchstens nur einmal vorkommen darf dachte ich mir

10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3

aber da kommt nicht das richtige ergebnis raus.

Bummerang

15:07 Uhr, 21.12.2011

Hallo,

Auswahl von 8 Ziffern aus der Grundmenge der

10

Ziffern unter Beachtung der Reihenfolge: Variation von

10

Elementen zur 8-ten Klasse.

Dabei macht man einen Fehler: Man erhält auch noch alle mit Null beginnenden Ziffernfolgen, die aber keine 8-stellige Zahlen sind. Deshalb zieht man noch alle mit Null beginnenden Zahlen ab und das sind so viele, wie es 7-stellige Zahlen mit unterschiedlichen Ziffern aus der Grundmenge der Ziffern ungleich Null gibt.

\frac{10!}{(10 - 8)!} - \frac{9!}{(9 - 7)!}

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15:19 Uhr, 21.12.2011

das ist doch nicht der binomialkoeffizient oder ? wieso teilst du denn genau nochma durch

(10 - 8)!

oder

(9 - 7)!

Bummerang

15:21 Uhr, 21.12.2011

Hallo,

"das ist doch nicht der binomialkoeffizient oder ?"

Nein, natürlich nicht, der würde ja zu einer Kombination gehören! Zu einer Variation gehört genau dieser Bruch-Term! Das beantwortet auch den zweiten Teil Deiner Frage!

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15:26 Uhr, 21.12.2011

achso bumerang...ich glaub, jetzt hat es "klick" gemacht bei mir....ich habe auch an

10!

gedacht(sieht man an meinem vorherigen beitrag als edit), aber ich muss ja quasi bei 3 auf hören...10! geht ja allerdings bis zur 1. also gemeint ist

10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1

damit ich die 1 und die 2 wegkriegen kann, muss ich durch

2!

genauer(10-8)! rechnen, dann hebt sich das natürlich auf....und der rechte teil also die zahlen die mit 0 anfangen, behalte ich mir mal so im kopf...ist ja eigtl. klar, dass zahlen die mit 0 anfangen eigentlich gar keine sein können...und deshalb muss ich die subtrahieren...

vielen dank...ich habs geschnallt...

edit: ich hoffe ich konnte das in meinen eigenen worten richtig darstellen. ähm....ich würde aber gerne noch zu meiner ersten frage mit den würfeln zurückkommen. bei dieser aufgabe ist das das wort "gleichzeitig" wichtig, oder? nehmen wir an, in der fragestellung würde es nicht existieren, wäre dann meine erste annahme

6^{5}

richtig, oder, denn dann könnte man ja sagen, dass die reihenfolge eine rolle spielt, oder liege ich da falsch?

ich hab nämlich ne andere teilaufgabe von dieser gelesen. die lautet wieviele mögliche ergebnisse gibt es bei einem gleichzeitigen wurf von 5 würfeln in denen eine 6 vorkommt?

Bummerang

15:47 Uhr, 21.12.2011

Hallo,

Deine "erste" Frage lautete: "wieviele mögliche ergebnisse"! Dazu müßtest Du erst einmal definieren, was Du unter einem Ergebnis verstehst!

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15:48 Uhr, 21.12.2011

ich versteh nicht ganz...

Bummerang

16:02 Uhr, 21.12.2011

Hallo,

um zu wissen, wie viele Ergebnisse es gibt, muß man wissen, wodurch sich unterschiedliche Ergebnisse unterscheiden!

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16:07 Uhr, 21.12.2011

ja, aber ich versteh nicht ganz worauf sich das bezieht...sry;-)

Bummerang

16:15 Uhr, 21.12.2011

Hallo,

ganz einfach: Du würfelst zwei Mal hintereinander mit 5 ürfeln. Dann kannst Du sagen, dass die beiden Ergebnisse gleich waren oder dass sie unterschiedlich waren. Woran erkennst Du das?

Bsp.:
Zwei Würfel, einer rot, einer blau. Unterschiedliche geordnete Paare (Wert des roten Würfels; Wert des blauen Würfels) sind unterschiedliche Ergebnisse (also

36

verschiedene). Andere Möglichkeit: Wenn die Werte von rot und blau nur vertauscht sind, dann ist das Ergebnis trotzdem gleich (hier sind es schon keine

36

Möglichkeiten mehr). Noch andere Möglichkeit: Das Ergebnis ist die Augensumme (hier gibt es nur noch 2 bis

12,

also

11

Möglichkeiten)!

Also: Was ist ein Ergebnis?

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16:22 Uhr, 21.12.2011

okay, das weiß ich noch aus stochastik....ein ergebnis ist die grundmenge bzw. ein element aus der grundmenge...wenn ich mich nicht täusche...

Bummerang

16:24 Uhr, 21.12.2011

Hallo,

sorry, aber das ist nicht gefragt! Du hast ein Beispiel und immer noch nicht angegeben, was nun das Ergebnis eines Wurfes ist, was Du für, und vor allem wie Du, Ergebnisse unterscheidest

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16:28 Uhr, 21.12.2011

ja, okay....war falsch...ich habe bisschen gegoogelt und gelesen, dass ein ergebnis der Ausgang eines versuch/experiments ist.

beispielsweise habe ich einen würfel, der sechs mögliche ausgänge hat

{1,2,3,4,5,6}

ich werfe einmal und da kommt 5 raus, dann wäre mein ergebnis

{5}

.

oder?

Bummerang

16:32 Uhr, 21.12.2011

Hallo,

hübsches und (fast) korrektes Beispiel, aber erstens hilft das nicht für das aktuelle Problem und zweitens ist dann

{5}

nur EIN Ergebnis, "mein Ergebnis" impliziert DAS Ergebnis. Sorry, aber ich muß jetzt los, kann erst wieder des nächtens. Vielleicht macht ja jemand anderes weiter...

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16:34 Uhr, 21.12.2011

okay, trotzdem vielen danke...ich hoffe da macht jmd. anders weiter...

edit: ich habe jetzt die lösung rausgefunden von der einen teilaufgabe:

wieviele mögliche ergebnisse gibt es bei einem gleichzeitigen wurf von 5 würfeln in denen eine 6 vorkommt?

also die zahl 6 muss ja fix sein. also bleiben nur vier felder übrig. bei der allerersten aufgabe hatten wir

n = 6

und

k = 5

. jetzt haben

n = 6

aber

k = 4

. soll heißen, dass wir

(\begin{matrix} n + k - 1 \\ k \end{matrix}) = (\begin{matrix} 6 + 4 - 1 \\ 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 9 \\ 4 \end{matrix}) = 126

.

und laut musterlösung(wo nur die ergebnisse stehen und die rechenschritte!) ist

126

richtig.

wow endlich mal ein erfolgserlebnis...

8mileproof aktiv_icon

16:49 Uhr, 21.12.2011

super...kaum eine frage richtig...schon die nächste "für mich" schwierige aufgabe:

wieviele bitfolge der länge

24

gibt es, bei denen irgendwo ein bit 2-mal hintereinander vorkommt?

also die anzahl der bitfolgen der länge

24

ist doch

2^{24}

. und davon müsste ich doch

2^{22}

abziehen. aber ich seh laut musterlösung kommt da was anderes raus

(16777214)

. ich glaub, dass

2^{22}

nicht den fall abdeckt, dass 2 bits zweimal "hintereinander" vorkommen.

also bitte ich um eine erklärung die mir weiterhelfen könnten...;-)

vulpi aktiv_icon

19:10 Uhr, 21.12.2011

Hi, folgendes zur Überlegung:

Die 2 einzigen Möglichkeiten, wo sich nirgends ein Bit doppelt, sind

101010101010101010101010

010101010101010101010101

Wieviele bleiben übrig ?

8mileproof aktiv_icon

13:47 Uhr, 23.12.2011

hmmh...ich verstehe nicht was du meinst....sry;-)

8mileproof aktiv_icon

13:48 Uhr, 02.02.2012

ich hab die lösung immer noch nicht gefunden....;((((

vulpi aktiv_icon

14:32 Uhr, 02.02.2012

welcome back !

Die EINZIGE Möglichkeit, das Aneinanderkleben von

00

oder

11

zu vermeiden, ist doch,
die Bits alternieren zu lassen.
Also

101010 ... ... . .

.
oder

0101010 ... ... ...

.

Insgesamt gibt es

2^{24}

mögliche 24-stellige Binärzahlen, genauso , wie es

10^{24}

mögliche 24-stelligen Dezimalzahlen (incl. führende

0)

gibt.

\Rightarrow

2^{24} - 2

8mileproof aktiv_icon

14:47 Uhr, 02.02.2012

ohhhhhhhh my god.....das nennt man wohl "einen brett vorm kopf haben"

... .

. kombinatorik ist glaub ich nicht so schwer, die fragen werden nur so fies gestellt, damits ein wenig interessanter wirkt....

8mileproof aktiv_icon

14:55 Uhr, 02.02.2012

edit: ich glaub das brett ist immer noch nicht weg.... die 2 ziehe ich doch jetzt von der gesamtzahl ab, weil ich irgendwo ein bit doppelt hab...also 2 zahlen doppelt und daher kommt die

2,

nicht wahr?

Underfaker aktiv_icon

15:00 Uhr, 02.02.2012

Es gibt

2^{24}

Mögliche Ergebnisse

und zwei davon gefallen uns nicht, weil die keine doppelte Bits nebeneinander haben, also fallen diese beiden raus

\Rightarrow 2^{24} - 2

8mileproof aktiv_icon

15:09 Uhr, 02.02.2012

jetzt ist das brett endgültig verschwunden...danke, habs geschnallt;-)

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