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Kombinatorische Abzählverfahren

Schüler Gymnasium,

Tags: Stochastik

anonymous

09:41 Uhr, 23.09.2018

Hallo,

ich bin mir bei diesen zwei Aufgaben nicht so sicher, ob sie stimmen. Kann bitte jemand drüber schauen und ggf. korrigieren?

Zu einer Party bringt jeder der

40

Gäste 3 kleine Geschenke mit, die verlost werden. Die ersten 3 Lose werden gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die drei verlosten Geschenke vom demselben Gast stammen?

P = (37

über

0) x (3

über

3)

|(Bruch)

(40

über

3) = \frac{1}{9880}

In einer Klasse mit

30

Schülern befinden sich 3 Geschwisterpaare. Zum Einkauf für ein Klassenfest werden 2 Schüler zufällig ausgesucht. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eines der Geschwisterpaare ausgesucht wird?

P = (3

über

2) x (27

über

0)

|(Bruch)

(30

über

2) = \frac{1}{145}

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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10:11 Uhr, 23.09.2018

a)

\frac{3}{120} \cdot \frac{2}{119} \cdot \frac{1}{118} \cdot 3! \cdot 40

oder:

\frac{(\begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 117 \\ 0 \end{matrix})}{(\begin{matrix} 120 \\ 0 \end{matrix})} \cdot 3! \cdot 40

b)

\frac{(\begin{matrix} 6 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 28 \\ 0 \end{matrix})}{(\begin{matrix} 30 \\ 2 \end{matrix})} \cdot 2! \cdot 3

oder:

\frac{6}{30} \cdot \frac{5}{29} \cdot 2! \cdot 3

Reihenfolge muss berücksichtigt werden!

abakus

10:16 Uhr, 23.09.2018

Kontrolliere selbst ohne Verwendung von Binomialkoeffizienten:
Es handelt sich um die Abfolge:
1. Das erste Los ist von irgendeinem Gast
2. Das nächste Los ist vom gleichen Gast
3. Das dritte Los ist wieder vom gleichen Gast
Die Wahrscheinlichkeit dieser Abfolge beträgt nach den Pfadregeln für Baumdiagramme

1 \cdot (2 / 119) \cdot (1 / 118)

Roman-22

10:50 Uhr, 23.09.2018

Bei Aufgabe

a)

ist sowohl deine, als auch supporters Lösung falsch! Richtig wäre

\frac{1}{7021}

.
Bei Aufgabe

b)

ist supporters Lösung falsch, aber deine ist korrekt!

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10:55 Uhr, 23.09.2018

Kannst du das bitte erklären?
Was ist warum falsch.
Es geht um

120

Geschenke und 3 Geschwisterpaare und die Reihenfolge ist wichtig.
Wo ist mein Denkfehler. Danke im Voraus.

Roman-22

10:58 Uhr, 23.09.2018

>

die Reihenfolge ist wichtig.
Darin scheint dein Fehler zu liegen. Da du aber idR immer nur irgend welche Formeln kommentarlos und ohne Erklärung hinknallst, ist dein Denkfehler nicht eindeutig lokalisierbar.

Es führen meist mehrere Wege zum Ziel, jedoch erscheint auch mir der Ansatz von abakus der naheliegendste zu sein (sofern nicht explizit eine Lösung durch kombinatorisches Abzählen gefordert ist). Dieser Ansatz führt bei Aufgabe

b)

sofort mit

\frac{6}{30} \cdot \frac{1}{29} = \frac{1}{145}

auf das richtige, vom Fragesteller ebenfalls gefundene Ergebnis.
Leider begründet und erklärt ja auch der Fragesteller seine Rechnung nicht und so kann nicht ausgeschlossen werden, dass sein Ergebnis nur zufällig richtig ist, seine Gedankengänge aber dennoch falsch sind.

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11:08 Uhr, 23.09.2018

Warum ist die Reihenfolge nicht wichtig?
Man kann es hypergeometrisch lösen oder per Baumdiagramm. Beide Ansätze habe ich verwendet.
Ich bitte um nähere Erläuterung! Wo ist der Fehler?

anonymous

11:34 Uhr, 23.09.2018

Bei

a)

hätte ich jetzt auch wie supporter gerechnet. Siehe Anhang.

- 40 x 3 = 120

Geschenke
- von

120

werden 3 gezogen. Also

(120

über

3)

- Alle drei Geschenke sollen von der selben Person kommen

\to (3

über

3) x (117

über

0)

Wie sieht den die Rechnung für die hypergeometrische Verteilung bei

a)

aus, um

\frac{1}{7021}

zu bekommen?

- -

Bei

b)

bin ich wie folgt vorgegangen:
- Es gibt

30

Schüler, 2 davon werden raus gezogen. Also habe ich da schonmal

(30

über

2)

- 3

Geschwisterpaar gibt es. Wenn ich 1 davon ziehe, dann habe ich bereits zwei Schüler, weil 1 Geschwisterpaar aus zwei Leuten besteht.
- Also

(3

über

1)

|Bruchstrich

(30

über

2) = \frac{1}{145}

Ich habe jetzt alles mit der hypergeometrische Verteilung gerechnet, da der Test über die Kombinatorik geht.

Screen Shot 2018-09-23 at 11.21.13 AM copy

Roman-22

11:52 Uhr, 23.09.2018

@supporter

>

Man kann es hypergeometrisch lösen oder per Baumdiagramm. Beide Ansätze habe ich verwendet.
Mag sein, dass du dir etwas dabei gedacht hast, hingeschrieben hast du aber nur Terme, die zum falschen Ergebnis führen und die deine Denke nicht genau erkennen lassen.

@EvanHansen

> 40 x 3 = 120

Geschenke
OK, einverstanden

> -

von

120

werden 3 gezogen. Also

(120

über

3)

Auch OK, das erklärt den Nenner, also die Gesamtanzahl aller "möglichen" Wahlen der drei Geschenke.

> -

Alle drei Geschenke sollen von der selben Person kommen →(3 über

3) x (117

über

0)

Genau das wäre nun noch weiter erklärungsbedürftig. Das ist ja nicht die ganze Wahrheit.
Das ist ja nur die Anzahl der Möglichkeiten, dass die drei Geschenke einer bestimmten Person ausgelost werden. Dass diese Anzahl 1 ist, das ist ja wohl trivial, oder. Und jetzt musst du das Ganze eben noch mit der Anzahl der möglichen 3er-Gruppen, also mit

40

multiplizieren.
Insgesamt also kann man zunächst die Person, deren Geschenke gezogen werden auf

40

Arten wählen und danach ist die WKT, dass eben genau die Geschenke dieser Person gewählt werden,

\frac{1}{(\begin{matrix} 120 \\ 3 \end{matrix})}

oder wenn mans lieber aufwändiger hat eben

\frac{(\begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 117 \\ 0 \end{matrix})}{(\begin{matrix} 120 \\ 3 \end{matrix})}

.
Die gesuchte WKT ist dann daher

40 \cdot \frac{(\begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 117 \\ 0 \end{matrix})}{(\begin{matrix} 120 \\ 3 \end{matrix})} = \frac{1}{7021}

.
Die zusätzliche Multiplikation mit

3!,

die supporter durchgeführt hat, ist falsch und es konnte von ihm auch nicht erklärt oder begründet werden, welche "Reihenfolge" er damit noch zusätzlich fälschlicherweise berücksichtigen will.

Einfacher gehts natürlich so, wie abakus es angeführt hat.

Deine Überlegung zur Aufgabe

b)

ist richtig. In deinem ersten post hattest du

(\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix})

anstelle von

(\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix})

geschrieben. Das ergibt zwar den gleichen Wert, war aber von der zugrundeliegenden Überlegung nicht einsichtig.
Du könntest deine

(\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix})

natürlich so begründen, dass das die Anzahl der Möglichkeiten ist, zwei von den 3 Zwillingspaaren NICHT zu wählen ;-)
Aber auch hier ist es ja wohl trivial, dass es 3 Möglichkeiten für die Wahl des Zwillingspaares gibt.

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11:55 Uhr, 23.09.2018

Die 3 Geschenke können in

3! = 6

verschiedenen Reihenfolgen gezogen werden, oder?

Roman-22

12:13 Uhr, 23.09.2018

>

Die 3 Geschenke können in

3! = 6

verschiedenen Reihenfolgen gezogen werden, oder?
Ja, und?
Es sollte dir bekannt sein, dass die bei der Formel für die HG Verteilung verwendeten Binomialkoeffizienten, die sich ja als Anzahlen (Kombination ohne Whg) deuten lassen, die Reihenfolge nicht berücksichtigen. Warum sollte man dann einseitig, als quasi nur im Zähler, dann plötzlich die Reihenfolge mitspielen lassen?
Wenn du das möchtest, dann darfst du im Nenner nicht die Kombination, sondern die Variation verwenden. Also nicht

(\begin{matrix} 120 \\ 3 \end{matrix}),

sondern

\frac{120!}{117!}

. Wenn du das machst, dann musst du auch im Zähler die Reihenfolge berücksichtigen und darfst mit deinen

3!

multiplizieren.

anonymous

06:17 Uhr, 24.09.2018

Danke!!

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