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Kombinatorische Probleme

Schüler

Tags: Kombinatorik, poker

Sabine2 aktiv_icon

16:33 Uhr, 14.06.2012

Hallo,

diesmal komme ich mit Problemen aus der Kombinatorik:

a)

Wie viele Möglichkeiten gibt es, beim Pokerspiel mit

32

Karten

(8

Werte in 4 Farben) ein Full-House (drei gleiche Werte und zwei gleiche Werte) zu erhalten?

Lösung:
Ich habe 8 Möglichkeiten (für einen Wert), der dreimal auftauchen soll und 7 für den Wert, der zweimal auftauchen soll, also halte ich schonmal

8 \cdot 7 = 56

fest.

Dann brauche ich 3 Karten aus den 4 eines Wertes bzw. 2 aus den 4 eines anderen Wertes. Die Reihenfolge, in der ich die Karten ziehe, ist vollkommen egal. Somit erhalte ich insgesamt

8 \cdot 7 \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 3 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix}) = 1344

Möglichkeiten.

b)

Wie viele Möglichkeiten gibt es dafür, dass sich ein Full-House Blatt

(z . B

. dreimal die 9 und zweimal ein König) durch Tausch von zwei Karten auf einen Poker

(4

gleiche Werte) verbessert?

Ansatz: Es gibt hier zwei Fälle zu unterscheiden:

(i)

Die beiden Könige werden durch eine 9 (wofür es eine Möglichkeit gibt, denn die restlichen 3 neunen liegen im Blatt) und eine andere Karte ersetzt. Aber wieviele andere Mögliche Karten habe ich noch?
(ii) Zwei von den drei neunen werden durch 2 Könige ausgetauscht. Hierfür müsste es dann aber wieviele Möglichkeiten geben? (Ich vermute stark

(\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}),

kann es aber nicht begründen.)

c)

Wieviele 9-stellige Zahlen haben 9 verschiedene Ziffern?

Lösung:

9 \cdot 9! = 3265920

(streng genommen

\frac{9 \cdot 9!}{1!})

d)

Wieviele 9-stellige Zahlen haben genau 4 gerade Ziffern?

e)

Wieviele 9-stellige Zahlen haben mindestens 5 Nullen?

Ich höffe ihr könnt meine Lösungen bestätigen und meine Fragen beantworten. Zu

d)

und

e)

habe ich überhaupt keine Ideen, würde mich über Ansätze sehr freuen :-)

Sabine

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Gemischte Aufgaben der Kombinatorik
Kombinatorik: Ziehen mit Reihenfolge und mit Zurücklegen
Kombinatorik: Ziehen mit Reihenfolge und ohne Zurücklegen
Kombinatorik: Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen

prodomo aktiv_icon

07:22 Uhr, 15.06.2012

Bei

c)

bis

e)

scheint mir, dass du nicht bedacht hast, einen Unterschied zwischen der ersten Ziffer (

1

bis 9 möglich) und den anderen

(0

bis

9)

zu machen. Eine Zahl kann nicht mit 0 beginnen ! Weiter kann ich dir jetzt nicht helfen, die Schule ruft. Bis dann..

Sabine2 aktiv_icon

08:25 Uhr, 15.06.2012

Okay, von

c)

bis

e)

habe ich ja auch nur

c)

bearbeitet.
Für die erste Ziffer gibt es 9 Möglichkeiten

(1,2,3,4,5,6,7,8,9),

für die zweite Ziffer dann aber auch 9 (die 0 kommt hinzu, aber die Zahl, die die erste Ziffer hat, fällt weg), für dir dritte dann

8,

für die vierte

7, ...,

für die neunte 2. Umd demnach erhalte ich

9 \cdot 9!

Möglichkeiten für

c)

.

Kann natürlich sein, dass das falsch ist, aber ich finde, das macht durchaus Sinn.

Zu

d)

und vor allem zu

e)

habe ich überheupt keine Idee.

prodomo aktiv_icon

12:13 Uhr, 15.06.2012

d)

die Zahlen bestehen entweder aus einer ungeraden Anfangsziffer (

5

verschiedene) und einem "Schwanz " mit 4 geraden von 8 möglichen oder aus einer geraden Anfangsziffer

(4

verschiedene) und einem Schwanz mit 3 von 8. Alle geraden Ziffern sind gleichberechtigt und dürfen an den Popsitionen 2 bis 9 auch mehrfach vorkommen.
Möglichkeiten, aus 8 Positionen 4 für gerade Besetzung auszusuchen, sind

(\begin{matrix} 8 \\ 4 \end{matrix})

. Entsprechend sonst

(\begin{matrix} 8 \\ 3 \end{matrix})

.
Also

u + {4 g,4 u}

gibt

5 \cdot (\begin{matrix} 8 \\ 4 \end{matrix}) \cdot 5^{4} + 5^{4} = 136718750

g + {3 g,5 u \cdot 5^{4}}

gibt

4 \cdot (\begin{matrix} 8 \\ 3 \end{matrix}) \cdot 5^{3} \cdot 5^{5} = 87500000

zusammen

224.218.750

zum Vergleich: insgesamt gibt

9 \cdot 10^{8}

9-stellige Zahlen, also etwas mehr als viermal so viele.

D a

die Wahrscheinlichkeit für

u

und

g

fast gleich ist, müsste ca.

\frac{1}{4}

herauskommen, das passt also.

prodomo aktiv_icon

12:20 Uhr, 15.06.2012

Auch bei

e)

wieder Kopf und Schwanz betrachten. Der Schwanz muss mindestens 5 Nullen enthalten. Dazu müssen von den 8 Positionen 5 (dann

6,

usw.) ausgesucht werden, an denen sie stehen sollen. Die anderen Plätze können jeweils mit 9 anderen Ziffern besetzt werden.
5 Positionen aussuchen:

(\begin{matrix} 8 \\ 5 \end{matrix}) = 56

6 Positionen

(\begin{matrix} 8 \\ 2 \end{matrix}) = 28

7 Positionen

: 8

8 Positionen

: 1

Es gibt also

56 \cdot 9^{3} + 28 \cdot 9^{2} + 8 \cdot 9 + 1 = 204121

"Schwänze", die jeder zu einem der 9 Köpfe zugeordnet werden können. Daher gibt es

1837089

Zahlen mit mindestens 5 Nullen

Sabine2 aktiv_icon

15:55 Uhr, 15.06.2012

Wunderbar, vielen lieben Dank!

Frage zu

d) :

Du meinst sicher

5 \cdot (\begin{matrix} 8 \\ 4 \end{matrix}) \cdot 5^{4} \cdot 5^{4}

(statt

+ 5^{4},

dein Ergebnis spricht eh dafür)
Und noch etwas: Die 5 weil es 5 Möglichkeiten für die erste Zahl gibt. Der Binomialkoeffizient, weil es so viele Möglichkeiten gibt, 4 Ziffern auf 8 Stellen anzuordnen (wobei die Reihenfolge in diesem Fall egal ist, weil es ja nur darum geht, dass die Zahl 4 gerade Ziffern hat und nicht darum, wo sich diese befinden.) Dann gibt es für jede gerade Ziffer noch 5 Möglichkeiten, deswegen die

5^{4}

. Für die ungeraden Zahlen gibt es auch jeweils 5 Möglichkeiten, also auch

5^{4}

. Muss ich aber nicht hier noch die Möglichkeiten mit reinbringen, wie sich die 4 ungeraden Ziffern anordnen können?

Frage zu

e) :

Der Rechenweg ist wunderbar nachvollziehbar. Bist du sicher, dass deine Ergebnisse stimmen? Mein Taschenrechner liefer mit zunächst

43165

für die "Schwänze" und dann

388485

Möglichkeiten insgesamt.

Und Frage

b)

fehlt mir leider noch. Bis auf meinen Ansatz bin ich da nicht weiter.

prodomo aktiv_icon

12:10 Uhr, 16.06.2012

Ja, das "+" ist ein Tippfehler. Wenn du die 4 Positionen ausgesucht hast, an denen die geraden Ziffern stehen sollen, sind die restlichen 4 doch automatisch für die ungeraden vorgesehen.

prodomo aktiv_icon

12:22 Uhr, 16.06.2012

Nachfrage zu

b) : 2

Karten tauschen. Heißt das, man gibt zunächst 2 zurück und erhält dafür 2 neue oder man bekommt zunächst 2 neue und muss dann 2 alte ablegen ? Eigentlich macht nur das erste Sinn, aber ich verdiene mein Geld nicht als Berufsspieler.....
Dann wäre es ja die aussichtsreichere Aktion, die beiden Karten aus dem Paar wegzulegen. In diesem Fall gibt es nur eine einzige passende Ergänzungskarte

+

eine beliebige weitere Karte, die man im Austausch erhält. Die Frage nach der Zahl der Möglichkeiten muss hier gestellt werden als " Wie viele neu erhaltene Paare sind theoretisch möglich", denn im realen Fall hängt dies von der Zahl der Mitspieler ab. Hier wären es also

26,

denn die 5 Karten auf der Hand scheiden ja aus.
Natürlich könnte man auch zwei Karten aus dem Dreier weglegen, obwohl die Wahrscheinlichkeit eher dagegen spricht. Dann gibt es nur eine einzige Verbesserung, nämlich ein passendes Paar.

Sabine2 aktiv_icon

13:12 Uhr, 16.06.2012

Okay, bei

b)

komme ich dann auf

(\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 26 \\ 1 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 2 \end{matrix}) = 29

Möglichkeiten.

Ja, das dachte ich anfangs auch. Also wenn ich 4 Positionen für die geraden Ziffern habe, bleiben ja die restlichen 4 für die ungeraden Ziffern. Aber es gibt dann doch wieder andere Möglichkeiten, die 4 ungeraden Zahlen auf die restlichen 4 Plätze zu verteilen. Oder spielt dies keine Rolle, da es nur darum geht, dass genau 4 gerade Zahlen vorkommen, egal wo welche steht?

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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