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Komische Darstellung einer Ebene verstehen

Schüler

Tags: eben, Ebenengleichung, Skalarprodukt, Vektor

patrick2 aktiv_icon

18:28 Uhr, 01.06.2016

Hallo,

ich kenne nur zwei Darstellungen von Ebenen:

Punkt-Richtungsform:

r = r_{1} + t_{1} \cdot u_{1} + t_{2} \cdot u_{2}

mit

r_{1}

als Aufpunkt und

u_{1}

und

u_{2}

als Richtungsvektoren

und die Normalenform:

(r - r_{1}) \cdot n = 0

(Skalarprodukt)

Im Anhang seht ihr eine andere Darstellung eine Ebene, die an die Normalenform erinnert, allerdings keine 0 nach dem Gleich stehen hat.Ich kann auf beiden Seiten 6 addieren, dann habe ich aber auf der linken Seite ein Summand, mit dem ich nichts anfangen kann.

Hoffe ihr könnt mich aufklären.
Danke !

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ebenen in Normalenform
Ebenen in Parameterform
Parallelverschiebung
Rechnen mit Vektoren - Einführung
Rechnen mit Vektoren - Fortgeschritten
Skalarprodukt

Roman-22

18:41 Uhr, 01.06.2016

(\vec{r} - {\vec{r}}_{1}) \cdot \vec{n} = 0

\vec{r} \cdot \vec{n} - {\vec{r}}_{1} \cdot \vec{n} = 0

\vec{r} \cdot \vec{n} = {\vec{r}}_{1} \cdot \vec{n}

und jetzt vergleiche mit

\vec{r} \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix}) = 6

patrick2 aktiv_icon

20:28 Uhr, 01.06.2016

Ich verstehe nicht ganz wie mich das weiterbringen soll.

r

und

r_{1}

sind also gleich und somit kann keine Gerade

r - r_{1}

entsthen, die benötigt wird, um zusammen mit

n

eine Ebene zu spannen.

Werner-Salomon aktiv_icon

21:19 Uhr, 01.06.2016

Hallo Patrick,

nein

r

und

r_{1}

alias

\vec{r}

und

\vec{r_{1}}

sind i.A. keineswegs gleich.

\vec{r_{1}}

ist ein fester gegebener Punkt mit bekannten Koordinaten in der Ebene und

\vec{r}

ist irgendein Punkt in der Ebene. Die Differenz

\vec{r} - \vec{r_{1}}

beider Vektoren ist ein Vektor, der innerhalb bzw. parallel zur Ebene liegt.
Folglich gilt

(\vec{r} - \vec{r_{1}}) \cdot \vec{n} = 0

Der Vergleich zu dem Dich Roman aufgefordert hat, heißt

\vec{r_{1}} \cdot \vec{n} = 6

heißt: beide linken Seiten der beiden letzten Gleichungen stimmen überein, also müssen auch die beiden rechten Seiten gleich sein.

Oder anders ausgedrückt: beide Darstellungen der Ebenengleichung sind identisch. Nur dass im zweiten Fall (mit der 6) das Skalarprodukt

\vec{r_{1}} \cdot \vec{n}

ausgerechnet worden ist. Das Ergebnis war eben 6.

Gruß
Werner

patrick2 aktiv_icon

22:06 Uhr, 01.06.2016

Ja das war mein Fehler

r \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix}) = 6 = r_{1} \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix}) = 6

Daraus habe ich dann geschlossen, dass

r = r_{1}

sein muss. Das ist wohl falsch.

Dennoch komme ich nicht darauf, wie von dieser Form auf eine Normalenform komme. Der Normalenvektor ist ja jetzt bekannt, also fehlt noch

r_{1}

. Dafür gibt es allderings unendlich viele Lösungen.

Werner-Salomon aktiv_icon

22:09 Uhr, 01.06.2016

Hallo Patrick,

ja das ist richtig.

\vec{r_{1}}

ist nicht mehr zu restaurieren. Aber das ist auch nicht notwendig, da die Ebene so eindeutig definiert ist.

siehe auch de.wikipedia.org/wiki/Hessesche_Normalform

Gruß
Werner

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