Komme nicht auf Projektionsmatrix

Hallo liebes Onlinemathe-Team,

habe ein Problem bei einer Prüfungsaufgabe. Verlangt ist das ich den Projektor P angebe der auf den Spaltenraum von A projiziert.

${\displaystyle \mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 1& 0& 2\\ 0& 1& 0\end{array}}$

Da die Formel zur berechnung einer Projektionsmatrix ja ${\displaystyle \mathrm{P<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}{({\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{T<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}*\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}^{-1}{\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{T<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ lautet möchte ich zunächst ${\displaystyle {({\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{T<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}*\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}^{-1}}$berechnen. Bei der Matrixmultiplikation von ${\displaystyle {\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{T<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}*\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ bekomme ich die Matrix ${\displaystyle \begin{array}{ccc}2& 1& 4\\ 1& 2& 2\\ 4& 2& 8\end{array}}$. Da diese aber von einander abhängige Zeilen hat kann ich keine Inverse bilden. In der Prüfung steht jedoch als Lösung das die Lösung für ${\displaystyle \mathrm{P<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\begin{array}{ccc}\frac{2}{3}& \frac{1}{3}& \frac{1}{3}\\ \frac{1}{3}& \frac{\begin{array}{c}2\end{array}}{3}& -\frac{1}{3}\\ \frac{1}{3}& -\frac{\begin{array}{c}1\end{array}}{3}& \frac{2}{3}\end{array}}$ ist. Da kein Lösungsweg angegeben ist möchte ich euch fragen wie ich denn auf dieses Ergebnis komme?

Wem es hilft die Fragestellung zu lesen KLICK HIER es handelt sich um Aufgabe 1f)

MfG. mtzE

Vielen Dank für deine schnelle Antwort! Bin im Laufe des Tages doch noch auf die Lösung gekommen.

MfG. mtzE