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Kommutative Eigenschaft bei Matrizen

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: Kommutivität, Matrizenrechnung

 
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andrej-to

andrej-to aktiv_icon

11:45 Uhr, 01.08.2020

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Hallo,
ich möchte gerne folgenden Satz beweisen,

AQB=BTQATQ=QT

wobei An×m,Qm×m,Bm×n

Vermutlich ist das in 3 Zeilen machbar. Meine Idee is folgendes:

AQB=BTQAT
(AQB)T=(BTQAT)T
BTQTAT=AQTB

Aber mir scheint, dass hier noch der letzte Schritt fehlt.

Danke für eure Tipps.

Andrej

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Antwort
pwmeyer

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14:03 Uhr, 01.08.2020

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Hallo,

Du hast (wohl) verschwiegen, dass dieser Gleichung für beliebige Matrizen A,B gelten soll. Du kannst sie also speziell wählen.

Untersuche mal, was die Gleichung aussagt, wenn Du für A eine Matrix wählst, die an genau einer Stelle eine 1 hat und sonst 0. Und für B eine (andere) mit derselben Eigenschaft.

Gruß pwm
andrej-to

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15:18 Uhr, 01.08.2020

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Hallo PWM,
vielen Dank für deine Antwort. Mit einer einfachen Matrix, für A, und B kann man erkennen, dass die "Gewichte" in der oberen und unteren Dreiecksmatrix von Q gleich sein müssen - d.h. dass Matrix Q symmetrisch sein muss.

Das war meine erste Intuition, und in dem Beispiel, das ich am bearbeiten bin, ist A1×2, Q2×2 und B2×1, so kann ich schnell zeigen dass gelten muss q12=q21.

Beim Versuch den Satz eleganter, d.h. ohne Aufspalten der Matrixmultiplikation, zu beweisen komme ich aber nicht weiter, wäre froh um einen weitren Tipp.

Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

17:23 Uhr, 01.08.2020

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"Beim Versuch den Satz eleganter, d.h. ohne Aufspalten der Matrixmultiplikation, zu beweisen komme ich aber nicht weiter, wäre froh um einen weitren Tipp."

Warum glaubst du, dass es eleganter geht?
Ich bin ziemlich sicher, dass man es nicht beweisen kann, ohne die konkreten Matrizen für A und B zu verwenden und ohne konkrete Berechnungen zu machen.
Antwort
pwmeyer

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17:43 Uhr, 01.08.2020

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Hallo,

ich habe inzwischen meine Zweifel, ob das eine vernünftige Aufgabe ist. Kannst Du mal das Original posten?

Gruß pwm
andrej-to

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18:07 Uhr, 01.08.2020

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Hallo DrBoogie & pwm,

danke fürs Antworten. Es handelt sich nicht um eine Schulaufgabe. Ich lese ein Paper über Control Theorie (High Performance LQRs for MM-Converters), darin wird in einigen Operationen folgendes verwendet.
UTSTQTx=xTTTQSU

Es wird nicht erwähnt dass Q symmetrisch sein muss, ich bin mir nicht sicher ob das offensichtlich ist, und darum wollte ich es für mich beweisen.
Im Paper wird es für die erwähnte kleine Matrix gemacht, aber auch für grössere (Q110×110)

andrej


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ermanus

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18:22 Uhr, 01.08.2020

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Hallo,
so, wie du die Gleichung zitierst, kann sie nicht stimmen;
denn auf der linken Seite kommt ein Spaltenvektor, auf der rechten Seite
hingegen ein Zeilenvektor heraus.
Gruß ermanus
Antwort
pwmeyer

pwmeyer aktiv_icon

18:25 Uhr, 01.08.2020

Antworten
Hallo,

was heißt: "wird verwendet"? Das bedeutet doch, dass diese Gleichung gültig ist, das muss zuvor hergeleitet worden sein. Wie es aussieht, soll diese Gleichung ja auch nicht für beliebige Matrizen gelten? So sehe ich da keinen Ansatzpunkt.

Selbst wenn Q symmetrisch ist, wäre ja die eine Seite - nur - das Transponierte der anderen Seite.

Gruß pwm
Frage beantwortet
andrej-to

andrej-to aktiv_icon

19:13 Uhr, 01.08.2020

Antworten
x ist auch eine Matrix und keine Zeilenvektor, die Dimensionen sind schon richtig. Und noch ein bisschen mehr Kontext.
Der Autor vereinfacht in seinem Beispiel ein Ausdruck für ein konvexes Optimierungsproblem, in diesem Ausdruck kommen die erwähnten Terme vor, und werden zusammengefasst. Vielleicht habe ich es auch falsch verstanden, und es wird gar keine Aequivalenzumformung gemacht.


Ich habe mal den Author vom Paper füer Details angefragt - mal sehen ob ich eine Antwort kriege.


Ich sehe, dass es sich hier um etwas sehr spezifisches handelt, und dass sich nicht etwas völlig generisches Uebersehen habe.

Danke für alle Antworten


Andrej