Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Kommutative Gruppe, Beweis??

Kommutative Gruppe, Beweis??

Universität / Fachhochschule

angewandte lineare Algebra

Tags: Gruppe, kommutative Gruppe, neutrales Element

anonymous

14:11 Uhr, 25.10.2010

Ich habe ein Problem bei dieser Aufgabe:

Sei

(G, x)

eine Gruppe mit dem neutralen Element

e

. Beweise:

\times = e

für alle

x \in G,

so ist

G

kommutativ.
Hinweis: (xy)^-1=....

Leider hab ich überhaupt keine Ahnung, wie ich anfangen soll. Der Hinweis hilft mir auch nicht wirklich weiter, ich mein soweit bin ich gekommen: (xy)^-1=

y^{- 1} x^{- 1}

aber weiter nicht. Wäre dankbar wenn mich jemand in die richtige Richtung schubsen könnte :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

teppich aktiv_icon

14:23 Uhr, 25.10.2010

Kann es sein, dass in deiner Aufgabenstellung das ein oder andere Zeichen abhanden gekommen ist?

Deine Voraussetzung wird bei mir als

\times = e

dargestellt.

heimdall aktiv_icon

14:29 Uhr, 25.10.2010

Denke du meinst

x^{2} = e

. Wie sieht denn dann

x^{- 1}

aus?

anonymous

15:51 Uhr, 25.10.2010

Ups sorry, das soll natürlich

x \cdot x = e

heißen. und

{(x \cdot x)}^{- 1}

ist dann

x^{- 1} x^{- 1}

??? aber was mach ich dann damit??

hagman aktiv_icon

16:04 Uhr, 25.10.2010

Nein. ie Frage war:
Wenn bekannt ist, dass

x \cdot x = e,

was kann man dann über das Element names

x^{- 1}

sagen, das durch die Gleichung

x \cdot x^{- 1} = e

eindeutig bestimmt ist?

anonymous

17:13 Uhr, 25.10.2010

Wenn

x \cdot x = e

und

x + x^{- 1} = e

dann ist

x = x^{- 1}

??? Tut mir leid, ich steh da echt auf der Leitung...

heimdall aktiv_icon

23:48 Uhr, 25.10.2010

Wenn

x \cdot x = e

dann ist

x^{- 1} = x,

richtig. Denk dran dass es in einer Gruppe nur eine Verknüpfung gibt,

x + x

gibt es also hier nicht.

x^{- 1} = x

gilt hier also für alle Elemente aus

G,

also ist natürlich auch

y^{- 1} = y

und

{(x \cdot y)}^{- 1} = x \cdot y

etc. Da du

{(x \cdot y)}^{- 1} = y^{- 1} \cdot x^{- 1}

schon weißt bist du ja dann schon fast fertig...

teppich aktiv_icon

01:43 Uhr, 26.10.2010

Gegeben ist eine Gruppe

(G, ⊙) .

Zu beweisen: "Wenn für jedes

x

aus

G

gilt:

x ⊙ x = e

, dann ist die Gruppe kommutativ"?

Wir müssen also zeigen, dass für beliebige

x, y \in G

gilt:

x ⊙ y = y ⊙ x

Der Hinweis,

(x ⊙ y)^{- 1}

zu betrachten ist durchaus hilfreich, denn nach Voraussetzung gilt für jedes Gruppenelement - also auch für

(x ⊙ y)

(x ⊙ y) ⊙ (x ⊙ y) = e

Von diesem Ansatz ausgehend kommst du mit den Gruppeneigenschaften (Assoziativität und Existenz einer Inversen bzgl. der Verknüpfung

⊙

) bequem zum Ziel.

anonymous

17:02 Uhr, 26.10.2010

So jetz hab ichs glaub ich verstanden, ich muss zeigen

x \cdot y = y \cdot x

Kann ich jetzt einfach schreiben

{(x \cdot y)}^{- 1} = y^{- 1} \cdot x^{- 1}

und daraus folgt

y \cdot x

(da

x^{- 1} = x

und

y^{- 1} = y)

und das wars oder bin ich einfach zu blöd, das zu verstehen? Ich glaub ich sollte echt mal eine Pause machen, sonst wird das nix mehr.....

teppich aktiv_icon

17:19 Uhr, 26.10.2010

Genau richtig. Ergänzt du noch den Ansatz, hast du die Aufgabe gelöst:

(x • y) • (x • y) = e \Rightarrow x • y = (x • y)^{- 1} = y^{- 1} • x^{- 1} = y • x

anonymous

17:27 Uhr, 26.10.2010

Vielen vielen Dank für die Geduld, im Nachhinein betrachtet ja eigentlich gar nicht so schwer. Danke!!

809648

808978

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?