Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Kommutativer Ring einer Restklasse

Kommutativer Ring einer Restklasse

Universität / Fachhochschule

Ringe

Tags: restklassen, Ring

KlausHermann aktiv_icon

23:45 Uhr, 17.11.2014

Hallöchen,

wir bräuchten mal Hilfe bei folgender Aufgabenstellung zum Thema Restklassenring:

"Zeigen Sie, dass

(ℤ 5, +, \cdot)

ein kommutativer Ring mit 1 bezüglich der Addition

(+)

und Multiplikation

(\cdot)

Modulo 5 ist."

Die Definition von Ringen besagt, dass:
-der Ring

(ℝ, +)

eine kommutative Gruppe mit 0 als neutralem Element ist
-bei einem Ring das Assoziativgesetz gilt, also

(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)

.
-bei einem Ring auch das Distributivgesetz

a \cdot c + a \cdot b = a \cdot (b \cdot c)

gilt.
außerdem ist

(\cdot)

kommutativ und hat zudem das neutrale Element 1.

Soweit so gut. Wir sollen also alles das beweisen, was ich da oben aufgeführt habe.

Also fange ich an beim Beweis, dass der Ring

(ℝ, +)

eine kommutative Gruppe mit 0 als neutralem Element ist. Dazu muss ich beweisen, dass das Assoziativgesetz und das Kommutativgesetzt gilt, sowie das neutrale Element 0 ist und das inverse Element

i (a) = - a

. Theoretisch verstehe ich das schon, nur wie mache ich das? Wenn das jemand zeigen könnte und dazu ein paar Wörter verlieren würde wäre das eine echte Hilfe. Ich verstehe was gemacht werden soll, aber das formalisieren ist noch nicht so ganz bis zu mir durchgedrungen.

Es gibt auch noch eine zwei weitere Teilaufgaben, die würde ich aber lieber später hier posten. Die haben es meiner Ansicht nach ziemlich in sich.

Grüße

KlausHermann aktiv_icon

09:07 Uhr, 18.11.2014

Zeigen sie, dass für beliebige kommutative Ringe mit Eins

R

die Menge

R [x] = {p (x) = p_{n} x^{n} + . .

+ p_{1} x + p 0 | p_{i} \in R \forall 0 \leq i \leq n}

mit den Rechenoperationen

(p + q) (x) = \sum_{i = 0}^{max {n_{p} . n_{q}}} (p_{i} + q_{i}) x^{i}

(p \cdot q) (x) = \sum_{k = 0}^{n_{p} + n_{q}} \sum_{j = 0}^{k} p_{i} + q_{k - i} x^{k}

ein kommutativer Ring mit 1 ist.

(n_{p}

bezeichnet den höchsten Index so dass

p_{n_{p}} \neq 0)

.

Das ist die zweite Teilaufgabe, die ich gestern erwähnt hatte.
Ich bin so weit zu verstehen, dass es sich um ein Polynom handelt. Aber keine Ahnung was ich damit anfangen soll. Ein erster Ansatz wäre auch schon hilfreich.

Danke und Grüße

DrBoogie aktiv_icon

12:56 Uhr, 18.11.2014

"Theoretisch verstehe ich das schon, nur wie mache ich das?"

Indem Du viel schreibst und alle langweilige und absolut offensichtliche Tatsachen, die Du brauchst, einfach auflistest.
Für Kommutativität schreibst Du z.B. :
für beliebige zwei ganze Zahlen

n, m

gilt

n + m = m + n

(mod 5) =>

\bar{n} + \bar{m} = \bar{m} + \bar{n}

Z_{5}

.
Für Nullelement:
für beliebige ganze Zahl

n

gilt

n + 0 = n

(mod 5) =>

\bar{n} + \bar{0} = \bar{n}

Z_{5}

\bar{0}

ist eine additive Null in

Z_{5}

.

Usw. Das ist wirklich langweilig.

KlausHermann aktiv_icon

13:23 Uhr, 18.11.2014

Das es langweilig ist stimmt. Aber unkomplizierter macht es die langeweile auch nicht ;-)

"Zahl

n

gilt

n + 0 = n (mod 5) \Rightarrow

n¯+0¯=n¯ in

Z 5 \Rightarrow

0¯ ist eine additive Null in Z"

Wofür steht der Strich für den Term nach dem

\Rightarrow

? Einfach um auszudrücken, dass es sich um das Inverse in der Restklasse handelt?

DrBoogie aktiv_icon

13:39 Uhr, 18.11.2014

Auch für Polynome die Eigenschaften nachzuweisen hauptsächlich langweilige Schreibarbeit ist. Nur für ein paar Eigenschaften muss man ein bisscen überlegen.

Die additive Kommutativität z.B. geht so:

P + Q = \ s u m (p_k + q_k) x^k = \ s u m (q_k + p_k) x^k = Q + P

.

Ich zeige auch eine von etwas schwierigeren Eigenschaften, nämlich

P \ c d o t (Q + S) = P \ c d o t Q + P \ c d o t S

(Distributivgesetz):

P \ c d o t (Q + S) = \ s u m_k \ s u m_{j = 1}^k p_j (q_{k - j} + s_{k - j}) x^k =

= \ s u m_k \ s u m_{j = 1}^k p_j q_{k - j} x^k \ s u m_k \ s u m_{j = 1}^k p_j q_{k - j} = P \ c d o t Q + P \ c d o t S

DrBoogie aktiv_icon

13:46 Uhr, 18.11.2014

"Wofür steht der Strich für den Term nach dem "

Um Elemente von

Z_{5}

von "normalen" Zahlen zu unterscheiden.

\bar{1}

ist z.B. ein Element aus

Z_{5}

und keine Zahl. Elemente aus

Z_{5}

sind in Wirklichkeit Restklassen Modulo

5

, also gilt z.B.

\bar{1} = {1 + 5 k ∣ k \in Z}

, wenn man

Z_{5}

wirklich als Restklassenring realisiert. Alternativ kann man

Z_{5}

natürlich einfach durch Verknüpfungstabellen (Addition und Multiplikation) definieren, dann aber würde der Beweis der Eigenschaften viel mühseliger.

KlausHermann aktiv_icon

14:23 Uhr, 18.11.2014

Und die Gleichung macht uns sorgen:

R [x] = {p (x) = p_{n} x^{n} + . .

+ p_{1} x + p 0 | p_{i} \in R \forall 0 \leq i \leq n}

.

Die hast du ja vollkommen außen vor gelassen?

Grüße

DrBoogie aktiv_icon

14:26 Uhr, 18.11.2014

Das ist keine Gleichung, sondern Definition des Polynomrings.
Warum macht sie Dir Sorgen? Sie sagt doch gar nichts außer, was

R [X]

ist.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1200148

1200082

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?