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Kommutativität von Gruppen

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Gruppen

Tags: Gruppen

lore1234ley aktiv_icon

21:33 Uhr, 28.10.2015

Hallo,

ich brauche Hilfe bei folgender Aufgabe :

"Man zeige, dass folgende vier Aussagen für eine Gruppe

G

äquivalent sind:
1.

G

ist kommutativ.
2. Die Multiplikation

G \times G \to G \times G, (a, b) \mapsto a b

ist ein Homomorphismus.
3. Die Invertierung

G \to G, a \mapsto a^{- 1}

ist ein Homomorphismus.
4. Die Quadrierung

G \to G, a \mapsto a^{2}

ist ein Homomorphismus."

Ein Homomorphismus ist ja definiert als Abbildung

f

mit

f (a b) = f (a) f (b)

. Da hier Definitionsbereich und Bild identisch sind, ist die Verknüpfung ja in beiden Fällen die Multiplikation. Für die Invertierung und die Quadrierung ist ja klar, was gemeint ist.

{(a \cdot b)}^{- 1} = a^{- 1} b^{- 1}

{(a \cdot b)}^{2} = a^{2} b^{2}

Die Multiplikation hat aber zwei Variablen. Welche Eigenschaft ist da gefordert, damit es ein Homomorphismus ist?

Darüber hinaus habe ich keine Idee, wie man 4.

\to 1

. zeigen soll. Wie kommt man da auf

a \cdot b = b \cdot a

?

Es wäre lieb wenn ihr mir die Homomorphismus-Eigenschaft für die Multiplikation nennen könntet (hab viel überlegt, komme nicht sicher drauf, will es nicht falsch machen) und den Beweisschritt von

4 .)

nach

1 .)

.

Danke im Voraus!

loreley

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

ledum aktiv_icon

21:53 Uhr, 28.10.2015

Hallo
es muss klar sein was

a^{2}

bedeutet:a*a.also (ab)^2=abab das ist aber gleich aa*bb
kommst du damit weiter?
Gruß ledum

lore1234ley aktiv_icon

22:27 Uhr, 28.10.2015

Danke für die Antwort. Also dann :

Die Quadrierung

G \to G, a \mapsto a^{2}

ist ein Homomorphismus.

\Leftrightarrow {(a \cdot b)}^{2} = a^{2} b^{2}

\Leftrightarrow a b a b = a a b b | \cdot a^{- 1}

(links)

\Leftrightarrow b a b = a b b | \cdot b^{- 1}

(rechts)

\Leftrightarrow b a = a b

\Leftrightarrow G

ist kommutativ

?

Fehlt dann nur noch die Folgerung daraus, dass die Multiplikation ein Homomorphismus ist. Wie wende ich die für eine Variable geschriebene Definition des Homomorphismus auf die Multiplikation mit 2 Variablen an?

Vielleicht so?
Mult(a

\cdot a', b \cdot b') =

Mult(a

\cdot a') \cdot

Mult(b

\cdot b')

Aber die Folgerung daraus ist :

(a \cdot a') \cdot (b \cdot b') = a \cdot a' \cdot b \cdot b'

, was trivial ist und mich nicht weiterbringt. Was folgt daraus, dass die Multiplikation ein Homomorphismus ist und nicht trivial ist?

ledum aktiv_icon

00:31 Uhr, 29.10.2015

Hallo
steht da wirklich
Die Multiplikation G×G→G×G,(a,b)↦ab ist ein Homomorphismus und nicht
Die Multiplikation G×G→G,(a, b)↦ab ist ein Homomorphismus.? dann hast du ja wieder eine

A

nach

G

Gruss ledum

lore1234ley aktiv_icon

05:59 Uhr, 29.10.2015

Das hatte mich auch sehr gewundert, aber ja, es steht wirklich

G \times G \to G \times G

. Es könnte aber natürlich ein Tippfehler auf dem Übungszettel sein.

In dem Falle wäre es dann vielleicht

Mult(

a, a') \cdot

Mult(

b, b') =

Mult(

(a, a') \cdot (b, b'))

Wenn das jetzt die Skalarmultiplikation wäre es aber Mult(a,

b) +

Mult(a'

\cdot b'),

also kein Homomorphismus nach

G

da die zweite Verknüpfung eine andere ist, aber zur selben Gruppe gehören soll, oder?

lore1234ley aktiv_icon

06:25 Uhr, 29.10.2015

Ok, mit elementweiser Multiplikation kommt es schon besser hin :

Mult

(a, a') \cdot

Mult

(b, b') =

Mult

(a \cdot b, a' \cdot b') =

Mult

(a, b) \cdot

Mult

(a', b')

4397850216 aktiv_icon

16:14 Uhr, 29.10.2015

Da die Abbildung von

G \times G

nach

G \times G

gehen soll, kann ja nur die komponentenweise Multiplikation gemeit sein. Bei der Skalarmultiplikation hättest du nur einen festen Funktionswert.

Aus deiner Formel kannst du leicht die Kommutativität herleiten, mit der du wiederum zeigen kannst, dass die Invertierung ein Homomorphismus ist. Von Kommutativität auf deine Formel zu kommen

(4 \to 1)

sollte nicht so schwer sein.

Gruß

lore1234ley aktiv_icon

19:43 Uhr, 29.10.2015

Danke an euch beide, hab es jetzt weitgehend hinbekommen.

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