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Kommutator, Normalteiler, G/N abelsch

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17:11 Uhr, 18.11.2014

Sei

G

eine Gruppe. Die Kommutatorgruppe von

G

wird definiert als

[G; G] := < {a b a^{- 1} b^{- 1}, a, b \in G} >

(a)

Zeigen sie, dass

[G, G]

Normalteiler von

G

ist.

(b)

Zeigen Sie, für einen Normalteiler

N

von

G

die Faktorgruppe

G / N

genau dann abelsch ist, wenn

[G; G] \in N

.

zu

(a) :

Ich habe folgenden Beweis gefunden:

x [a; b] x^{- 1} = x a b a^{- 1} b^{- 1} x^{- 1} = (x a x^{- 1}) (x b x^{- 1}) (x a^{- 1} x^{- 1}) (x b^{- 1} x^{- 1}) =

(x a x^{- 1}) (x b x^{- 1}) {(x a x^{- 1})}^{- 1} {(x b x^{- 1})}^{- 1} = [x a x^{- 1}; x b x^{- 1}] \in [G; G]

.

Kann mir jemand von euch erklären, warum die Gleichheit zwischen

x a b a^{- 1} b^{- 1} x^{- 1} = (x a x^{- 1}) (x b x^{- 1}) {(x a x^{- 1})}^{- 1} {(x b x^{- 1})}^{- 1}

besteht?

Des Weiteren muss für den Normalteiler auch gezeigt werden, dass

[G; G]

eine Untergruppe von

G

ist. Nach unserer Vorlesung muss gezeigt werden, dass

\forall u, v \in [G; G]

mit

u := u_{1} u_{2} u_{1}^{- 1} u_{2}^{- 1}

und

v := v_{1} v_{2} v_{1}^{- 1} v_{2}^{- 1}

gilt:

u v^{- 1} \in [G; G]

.

Beweis:

u v^{- 1} = u_{1} u_{2} u_{1}^{- 1} u_{2}^{- 1} {(v_{1} v_{2} v_{1}^{- 1} v_{2}^{- 1})}^{- 1} = u_{1} u_{2} u_{1}^{- 1} u_{2}^{- 1} v_{2} v_{1} v_{2}^{- 1} v_{1}^{- 1}

...weiter weiß ich a dieser Stelle bereits nicht mehr. Gibt es einen Beweis, der für diese Aufgabe geeigneter ist?

Vielen Dank im Voraus

Paul

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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17:29 Uhr, 18.11.2014

"Kann mir jemand von euch erklären, warum die Gleichheit zwischen xaba−1b−1x−1=(xax−1)(xbx−1)(xax−1)−1(xbx−1)−1 besteht?"

Du kannst die Klammern fallen lassen und dann

x x^{- 1} = x^{- 1} x = e

nutzen.

"...weiter weiß ich a dieser Stelle bereits nicht mehr."

Weil Du schon einen Fehler gemacht hast.
Richtig ist

(u v)^{- 1} = v^{- 1} u^{- 1}

und nicht

(u v)^{- 1} = u^{- 1} v^{- 1}

, was Du machst.

OhMeinP aktiv_icon

17:41 Uhr, 18.11.2014

Danke, jetzt wirds klar!

Zum anderen: Den Fehler habe ich doch gar nicht begangen, oder?

zu zeigen:

u {(v)}^{- 1} \in [G; G]

. Setze

u

und

v

nun ein ergibt:

u {(v)}^{- 1} = u_{1} u_{2} u_{1}^{- 1} u_{2}^{- 1} {(v_{1} v_{2} v_{1}^{- 1} v_{2}^{- 1})}^{- 1} = u_{1} u_{2} u_{1}^{- 1} u_{2}^{- 1} {(v_{2}^{- 1})}^{- 1} {(v_{1}^{- 1})}^{- 1} v_{2}^{- 1} v_{1}^{- 1} = u_{1} u_{2} u_{1}^{- 1} u_{2}^{- 1} v_{2} v_{1} v_{2}^{- 1} v_{1}^{- 1}

DrBoogie aktiv_icon

18:10 Uhr, 18.11.2014

Stimmt, sorry, habe übersehen.
Aber Du machst eine falsche Annahme, Du glaubst, dass

[G, G]

nur aus Elementen

u v u^{- 1} v^{- 1}

besteht, also dass

[G, G] = {u v u^{- 1} v^{- 1}}

gilt.
In Wirklichkeit ist

[G, G]

als eine Untergruppe definiert, welche von

u v u^{- 1} v^{- 1}

erzeugt wird, also

[G, G] = < {u v u^{- 1} v^{- 1}} >

. Damit ist

[G, G]

automatisch eine Untergruppe, das muss man nicht zeigen. Wäre auch schwierig, denn Du weißt auch nicht, wie die Elemente aus

[G, G]

genau aussehen. Auf jeden Fall gibt's in

[G, G]

normalerweise nicht nur Elemente der Form

u v u^{- 1} v^{- 1}

.

Was Deine Aufgabe angeht, so gibt' hier die Lösung:
http//www.math.kit.edu/iag3/lehre/einfalgzahl2011s/media/%C3%9Cbungsblatt%203%20-%20musterl%C3%B6sung.pdf

OhMeinP aktiv_icon

18:33 Uhr, 18.11.2014

Danke, die Lösung hatte ich auch schon gefunden, ich hate mich nur gewundert, dass klar zu sein scheint, dass

[G; G]

bzw. die Menge

H = < M >

eine Untergruppe darstellt. Kannst du mir sagen, warum das mit dem Erzeugnis gegeben ist? Ist es darin begründet, dass

[G; G]

durch

a b a^{- 1} b^{- 1}

erzeugt wird und damit automatisch das inverse, also

b a b^{- 1} a^{- 1}

auch enthalten ist?

OhMeinP aktiv_icon

18:36 Uhr, 18.11.2014

Noch eine weitere Frage: Warum haben normalerweise nicht alle Elemente vom Span dieser Menge die Form

u v u^{- 1} v^{- 1}

? Welche Form können sie noch haben?

DrBoogie aktiv_icon

18:40 Uhr, 18.11.2014

Es kann alles vorkommen, was von diesen Elementen erzeugt wird.
Z.B.

u_{1} v_{1} u_{1}^{- 1} v_{1}^{- 1} u_{2} v_{2} u_{2}^{- 1} v_{2}^{- 1} u_{3} v_{3} u_{3}^{- 1} v_{3}^{- 1}

. Im allgemeinen Fall kann man solche Ausdrücke überhaupt nicht "kürzen". Und sie können seeehr lang werden. :-))

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