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Kommutator berechnung

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Tags: richtig oder falsch?

iTee93 aktiv_icon

20:43 Uhr, 24.09.2014

Hi Leute,

also die Aufgabe: Bestimmen Sie den Kommutator der beiden Operatoren A und B.

A = \frac{d}{d x} - x

B = \frac{d}{d x} + x

(Allg. Formel ist ja

[A, B] = A \cdot B - B \cdot A)

Nun setze ich die Operatoren in die Formel ein und wende sie auf eine Funktion an.

(\frac{d}{d x} - x) \cdot ((\frac{d}{d x} + x) \cdot f (x)) - (\frac{d}{d x} + x) \cdot ((\frac{d}{d x} - x) \cdot f (x))

Wenn man sie nun ausmultipliziert bekomme ich:

\frac{d^{2}}{{d x}^{2}} \cdot f (x) + \frac{d}{d x} \cdot f (x) \cdot x - f (x) \cdot \frac{d}{d x} \cdot x - f (x) \cdot x^{2} - \frac{d^{2}}{{d x}^{2}} \cdot f (x) - \frac{d}{d x} \cdot f (x) \cdot x + \frac{d}{d x} \cdot f (x) \cdot x - f (x) \cdot x^{2}

Nun kürze ich die Teile die sich aufheben und es bleibt

= - 2 \cdot x^{2} \cdot f (x)

übrig

= - 2 \cdot x^{2}

kann das stimmen?

Wenn ich den Kommutator ohne Funktion

f (x)

berechne multipliziere ich die Teile als Binomische Formel und bekomme

(\frac{d^{2}}{{d x}^{2}} + \frac{d}{d x} \cdot x - \frac{d}{d x} \cdot x - x^{2}) - (\frac{d^{2}}{{d x}^{2}} - \frac{d}{d x} \cdot x + \frac{d}{d x} \cdot x - x^{2})

= (0 + 1 - 1 - x^{2}) - (0 - 1 + 1 - x^{2})

= - x^{2} + x^{2} = 0

Ich bin mir grad sehr unsicher was richtig und was falsch ist....und ob überhaupt etwas richtig ist^^.

Danke schon mal für jede Antwort

gruß

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

DrBoogie aktiv_icon

20:55 Uhr, 24.09.2014

"Wenn ich den Kommutator ohne Funktion f(x) berechne multipliziere ich die Teile als Binomische Formel und bekomme"

In diesem Fall darfst Du nicht so einfach binomische Formel anwenden.
Du musst berücksichtigen, dass

\frac{d}{d x} \cdot x \neq x \cdot \frac{d}{d x}

.
Also, wenn Du es ohne

f

berechnen willst, dann geht das so:

(\frac{d}{d x} + x) (\frac{d}{d x} - x) = \frac{d^{2}}{d x^{2}} + x \cdot \frac{d}{d x} - \frac{d}{d x} \cdot x - x^{2}

(\frac{d}{d x} - x) (\frac{d}{d x} + x) = \frac{d^{2}}{d x^{2}} - x \cdot \frac{d}{d x} + \frac{d}{d x} \cdot x - x^{2}

und dann

[A, B] = 2 \frac{d}{d x} \cdot x - 2 x \cdot \frac{d}{d x} = 2

,denn

(2 \frac{d}{d x} \cdot x - 2 x \cdot \frac{d}{d x}) (f) = 2 (f \cdot x)^{ʹ} - 2 x f^{ʹ} = 2 f^{ʹ} x + 2 f - 2 x f^{ʹ} = 2 f

DrBoogie aktiv_icon

20:56 Uhr, 24.09.2014

In Deiner ersten Berechnung hast Du übrigens auch Fehler gemacht, konkret bei Vorzeichen.

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