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Kommutator bestimmen

Schüler Allgemeinbildende höhere Schulen, 11. Klassenstufe

Tags: Bestimmung, Kommutator, physikalische Mathematik

SonjaSonnenkind7 aktiv_icon

20:10 Uhr, 30.01.2016

Hey, leider weiß ich nicht, ob das Thema ,,Operatoren und Kommutatoren" in dieses Mathe-Forum passt. Wir haben in der Schule einen Naturwissenschaftszusatzkurs, in welchem wir zur Zeit ein wenig aus der Quantenmechanik machen. Ich hoffe, dass ihr mir vielleicht trotdem helfen könnt :-)

Es geht um folgende Aufgabenstellung:

a)

Bestimme:

[X, P_{x}],

wobei

X

der Ortsoperator in x-Richtung und

P_{x}

der Impulsoperator in x-Richtung ist.

b)

Bestimme

[Y, P_{x}]

Meine Lösungen:

a) X P_{x} f (x) - P_{x} X f (x)

Dabei soll

f

irgendeine beliebige Eigenfunkton (abhängig von

x)

sein.

= x \cdot (- i h') \frac{\partial}{\partial x} f (x) - (- i h') \frac{\partial}{\partial x} (x \cdot f (x))

h'

soll dabei das reduzierte Planck'sche Wirkungsquantuum sein

(h' = \frac{h}{2 π})

Nun wende ich die Produktregel zum Differenzieren an:

= x \cdot (- i h') \frac{\partial}{\partial x} f (x) - (- i h') [\frac{\partial x}{\partial x} \cdot f (x) + x \cdot \frac{\partial}{\partial x} f (x)]

= - x \cdot i h' \frac{\partial}{\partial x} f (x) + i h' f + x \cdot \frac{\partial}{\partial x} f (x)

= i h' f (x)

Daraus folgt:

[X, P_{x}] = i h' \to

Die Operatoren

X

und

P_{x}

kommutieren nicht.

b) Y P_{x} f (x) - P_{x} Y f (x)

= y \cdot (- i h') \frac{\partial}{\partial x} f (x) - (- i h') \frac{\partial}{\partial x} (y \cdot f (x))

= y \cdot (- i h') \frac{\partial}{\partial x} f (x) - (- i h') y \cdot \frac{\partial}{\partial x} f (x)

= 0

Daraus folgt:

[Y, P_{x}] = 0 \to

Die Operatoren

Y

und

P_{x}

kommutieren.

Leider bin ich mir bei der Bearbeitung dieser Aufgabe sehr unsicher gewesen. Zusätzlich finde ich wenig im Internet und ein Buch, das ich mir bestellt habe, ist leider noch nicht da.

Für jede Hilfe bin ich sehr dankbar.

Liebe Grüße

Sonja :-)

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