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Kompakte Menge - Funktion
Universität / Fachhochschule
Mengentheoretische Topologie
Tags: Mengentheoretische Topologie
 
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Hallo zusammen, ich habe folgende Aufgabe vor mir liegen und weiß irgendwie so gar nicht weiter: Man muss entscheiden, ob folgende Menge kompakt ist oder nicht (mit Beweis): in IR^3: als Teilmenge von IR^3. Es handelt sich um eine Teilmenge des IR^n, deshalb hatte ich überlegt, dass ich den Satz von Heine-Borel anwenden könnte und prüfen könnte, ob die gegebene Menge abgeschlossen und beschränkt ist. Trifft beides zu, müsste sie ja nach dem Satz kompakt sein. Nach einem weiteren Satz aus der Vorlesung gilt, dass bei einer abgeschlossenen Menge auch ihr Urbild bezüglich einer stetigen Funktion abgeschlossen ist. Demnach müsste ich mir ja überlegen, ob die gegebene Funktion stetig ist. Da Polynome/Monome und die Exponentialfunktion stetig sind und die Summe von stetigen Funktionen wieder stetig ist, müsste die Funktion ja stetig sein. Da außerdem ein abgeschlossenes Intervall ist, sollte also auch das Urbild von bezüglich abgeschlossen sein. Wenn das alles so richtig ist, muss ich noch die Beschränktheit zeigen/widerlegen. Aber ich weiß überhaupt nicht, wie ich das anstellen soll. Beschränkt heißt ja, dass die Menge eine obere und eine untere Schranke hat (Supremum bzw. Infimum), bzw. dass diese Menge vollständig in einer -Kugel liegt, wenn entsprechend groß gewählt wird. Wir haben außerdem für Stetigkeit eine etwas andere Formulierung gelernt: f(Bd(x)) ist eine Teilmenge von wobei der Ball um mit Radius sein soll und der Ball um mit Radius . Ich habe versucht, einen Zusammenhang zu finden, bin aber nicht weiter gekommen... Hoffe, ihr könnt mir helfen. Vielen Dank schon mal! Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Funktion (Mathematischer Grundbegriff) |
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Hallo Fliege, betrachte mal die Punkte mit in deiner Menge. Sagen dir die etwas über die Beschränktheit? Gruß ermanus |
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Hallo, vielen Dank. Ich habe mir das jetzt angeschaut, aber ich glaube, es scheitert daran, dass ich mir unsicher bin, wann man im IR^3 eine Menge als beschränkt bezeichnet... Nach Definition muss eine beschränkte Menge eine obere und eine untere Schranke haben bzw. vollständig in einem Ball unterzubringen sein, wenn der Radius ausreichend groß ist. Aber wie ist das dann im IR^3? Wenn ich an eine Kugel denke, dann passt alles... aber das bedeutet ja, dass alle 3 Koordinaten eine obere und eine untere Schranke haben müssen, oder? Also hier trotzdem mal meine Überlegungen zur Aufgabe: Für liegen alle Funktionswerte (wegen der e-Funktion) zwischen 3 und 2 und damit in dem vorgegebenen Intervall. Die Werte der e-Funktion für liegen ja zwischen 0 und 1. . darf (je nach zwischen 1 und 5 liegen. Lässt man für Werte zu, dann muss zwischen 0 und 2 liegen (je nach . Aber kann ich ja unendlich klein werden lassen, weil dann einfach gegen 0 konvergiert. und haben gerade Exponenten, . das Vorzeichen spielt keine Rolle, und schon bei Zahlen oder für oder oder beide ist die Vorgabe nicht mehr erfüllt. und wären also nach und nach - unendlich beschränkt. ist aber nur nach unendlich beschränkt (schon bei ist die Vorgabe nicht mehr erfüllt, selbst wenn und gleich 0 sind), aber ist nicht nach - unendlich beschränkt... Deshalb hätte ich jetzt nach obiger Definition gesagt, die Menge ist nicht beschränkt. Wäre froh, wenn ihr mir nochmal helfen könntet :-). |
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Hallo, vielen Dank. Ich habe mir das jetzt angeschaut, aber ich glaube, es scheitert daran, dass ich mir unsicher bin, wann man im IR^3 eine Menge als beschränkt bezeichnet... Nach Definition muss eine beschränkte Menge eine obere und eine untere Schranke haben bzw. vollständig in einem Ball unterzubringen sein, wenn der Radius ausreichend groß ist. Aber wie ist das dann im IR^3? Wenn ich an eine Kugel denke, dann passt alles... aber das bedeutet ja, dass alle 3 Koordinaten eine obere und eine untere Schranke haben müssen, oder? Also hier trotzdem mal meine Überlegungen zur Aufgabe: Für liegen alle Funktionswerte (wegen der e-Funktion) zwischen 3 und 2 und damit in dem vorgegebenen Intervall. Die Werte der e-Funktion für liegen ja zwischen 0 und 1. . darf (je nach zwischen 1 und 5 liegen. Lässt man für Werte zu, dann muss zwischen 0 und 2 liegen (je nach . Aber kann ich ja unendlich klein werden lassen, weil dann einfach gegen 0 konvergiert. und haben gerade Exponenten, . das Vorzeichen spielt keine Rolle, und schon bei Zahlen oder für oder oder beide ist die Vorgabe nicht mehr erfüllt. und wären also nach und nach - unendlich beschränkt. ist aber nur nach unendlich beschränkt (schon bei ist die Vorgabe nicht mehr erfüllt, selbst wenn und gleich 0 sind), aber ist nicht nach - unendlich beschränkt... Deshalb hätte ich jetzt nach obiger Definition gesagt, die Menge ist nicht beschränkt. Wäre froh, wenn ihr mir nochmal helfen könntet :-). |
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Hallo Fliege, das hast du alles richtig überlegt. Die Menge ist wegen beliebig großer nicht beschränkt, also auch nicht kompakt. Gruß ermanus |
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Hallo, wenn alles klar ist, bitte abhaken! Gruß ermanus |
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Sorry... danke für den Hinweis. Hatte es vergessen :-) |
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