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Kompakte Mengen in R besitzen ein Min/Max
Universität / Fachhochschule
Mengentheoretische Topologie
Tags: Mengentheoretische Topologie
 
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Hi Ich schaue mir gerade den Beweis dafür an, dass kompakte Mengen . abgeschlossen und beschränkt) in ein Minimum bzw. Maximum besitzen. Ich würde gerne den Beweis Schritt für Schritt durchgehen da ich mehrere Sachen nicht verstehe. Er beginnt wie folgt: Sei kompakt. Dann schauen wir uns Folgendes an: mit inf Meine Frage schon mal: Wie wissen wir überhaupt, dass es eine Folge in gibt, dass gegen das Infimum konvergiert? Woraus folgt das? LG und Danke |
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Hallo, das folgt aus der Definition des inf: Sei A:=inf(K). Dann sind für die Zahlen keine untere Schranke, also ex mit . Gruß pwm |
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Ah, interessant. Dass du aber ein zwischen A und der Folge "quetschen" kannst folgt aus der Vollständigkeit von ist das richtig? Und weiter: Da kompakt ist, gibt es eine Teilfolge Λ ⊂ ∈ mit → a → ∞, ∈ Λ), und (k→∞, k∈Λ) = inf Dass (bzw in unserem Fall jetzt eigentlich eine konvergente Teilfolge mit Häufungspunkt in hat, ist klar. Aber wie sieht man, dass der Grenzwert dieser konvergenten Teilfolge dem Infimum entspricht? Grenzwert der ursprünglichen Folge und der Teilfolge müssen sich ja nicht entsprechen.. |
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Miau? |
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Hallo, zu Deiner ersten Frage: Dass es solche gibt ist eine Folge der Definition von unterer Schranke: Wenn keine untere Schranke ist, muss es Elemente in geben, die kleiner sind. Zu Deiner zweiten Frage: Auch für die Teilfolge gilt: . Also . Gruß pwm |
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ok. super, danke. Aber noch etwas: Du sagst die Antwort auf meine erste Frage folgt aus der Definition von Schranke. Aber warum gilt selbiges nicht für Q? Also bei einer durch nach oben beschränkten Menge in würde ja das Supremum nicht in der Menge liegen? Und noch eine konkrete Frage zum Beweis: Am Schluss wird gesagt "Insbesondere ist inf −∞" - das folgt jetzt einfach aus der Definition der Beschränktheit, oder? Wenn ja, warum stand im Beweis weiter oben noch → inf ≥ −∞ (und nicht strikt grösser als ? |
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Hallo, es gehört zu den charakteristischen Eigenschaften von dass nach oben beschränkte Mengen ein Supremum in haben haben. Dies gilt eben für nicht. Gruß pwm |
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Eine andere Frage: Dieser Beweis ist ja sowieso nur für kompakte Mengen gedacht - gibt es überhaupt solche Teilmengen von Q? |
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Endliche Teilmengen von sind kompakt. Gruß pwm |
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ok,vielen Dank! |
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