 |
 |
 |
 |
 |
 |
Startseite » Forum » Kompaktheit
Kompaktheit
Universität / Fachhochschule
Tags: Analysis
 
|
anonymous 22:02 Uhr, 23.02.2005  |
|
|---|---|
|
Hallo, wir haben die Kompaktheit so definiert: Eine Teilmenge K von M heißt kompakt, wenn jede offene Überdeckung von K eine endliche Teilüberdeckung besitzt. Meine Frage, wie kann ich hier beweisen, dass eine Menge kompakt ist? Vielen Dank, Tommy |
|
| |
 |
|
|
Hallo Tommy! Du musst dann halt so anfangen: Sei U irgendeine offene Überdeckung von K. Dann folgt... => Es gibt (mit einem festen n aus IN) U_1, ..., U_n aus U, so dass die Vereinigung der U_1 bis U_n K überdeckt. Daraus folgt die Behauptung! Deine Frage ist leider sehr allgemein, daher ist auch die Antwort sehr allgemein. Aber du gehst doch ähnlich bei dem Nachweis der Stetigkeit vor: Da geht man so ran: Sei epsilon > 0 gegeben => ... . Da epsilon > 0 bel. => Behauptung. In diesem Falle ist es halt ähnlich: Sei U irgendeine offene Überdeckung von K => ... => Da U eine beliebige offene Überdeckung war => Behauptung. Anstelle der ... braucht man natürlich immer griffige Argumente, die variieren, je nachdem, von was für einer Menge K man die Kompaktheit nachweisen soll. Das war jetzt die prinziplielle Vorgehensweise, aber du hast ja auch eine prinzipielle Frage gestellt ;-). Viele Grüße, Marcel |
|
anonymous 16:57 Uhr, 25.02.2005 |
|
|
Kompaktheit ist ja im engeren Sinn so definiert: Eine Menge ist kompakt, falls sie beschränkt und abgeschlossen ist. Also beweise beides und du hast die Kompaktheit! Also schau 1. ob die Menge durch irgendein Element beschränkt ist und 2. ob der Grenzwert der Menge in der Menge drinliegt -> Dann ist sie abgeschlossen, also kompüakt! |
|
|
|
|
|
Hallo Jakob (oder Claus?)! Leider stimmt die Aussage, dass eine Menge kompakt ist, genau dann, wenn sie beschränkt und abgeschlossen ist, im Allgemeinen nicht. Das stimmt nur unter gewissen Voraussetzungen! (Es stimmt z.B. im IR^n.) (Wer's nicht glaubt, der lese sich das Beispiel von Sastra hier durch: click it!) In irgendwelchen topologischen Räumen wird Kompaktheit so wie ganz oben angegeben definiert. Und dann muss man den Nachweis halt entweder mit dieser Definition führen oder halt Sätze benutzen, die die Komapktheit charakterisieren bzw. halt durch Anwendung gewisser Sätze die Komapktheit folgern! Viele Grüße, Marcel |
|
anonymous 19:53 Uhr, 27.02.2005 |
|
|
Hallo Marcel, hallo Jakob, vielen Dank für eure Antworten!! meine Aufgabe ist es wirklich die Kompaktheit anhand der Definition nachzuweisen, ohne eben die Eigenschaft in R zu verwenden, dass jede beschränkte und abgeschlossene Menge kompakt ist. Ich habe die Frage halt sehr allgemein gestellt, um nicht gleich die ganze Hausaufgabe vorgerechnet zu bekommen, sondern selber noch nachdenken muss:) Aber ich denke ich muss jetzt doch noch etwas detailierter fragen, ich soll nämlich beweisen, dass die Menge { 1/n ; n Element N } vereinigt mit { 0} Kompakt in R ist. Wie kann ich hier einfach eine beliebige offene Überdeckung wählen? Tommy |
|
|
|
|
|
Hallo Tommy! Wie gesagt: Du beginnst mit: Sei I irgendeine Indexmenge und sei Ü={ U_i: i aus I } eine offene Überdeckung von M:={ 0 } u { (1/n): n aus IN }. Dass Ü={ U_i: i aus I } eine offene Überdeckung von M ist, heißt nichts anderes, als das: Für jedes i aus I ist die Menge U_i (welche Element von Ü ist) offen in IR und: M ist Teilmenge von der (Vereingung über alle i aus I der U_i). Das bedeutet aber, es gibt ein i_0 aus I, so dass gilt: 0 ist Element von U_(i_0). Da U_(i_0) offen in IR ist, gibt es ein epsilon > 0, so dass der epsilon-Ball B(0,epsilon):={ r aus IR: |r| < epsilon } Teilmenge von U_(i_0) ist. Dann liegen aber nur noch endlich viele Punkte der Art (1/m) (m aus IN) außerhalb dieses epsilon-Balles (nämlich all jene Punkte, für die gilt: 1/m >= epsilon, d.h. es gibt höchstens (wegen m <= [1/epsilon]=:n) n solche Punkte); und da der epsilon-Ball eine Teilmenge von U_(i_0) ist, liegen auch nur noch endlich viele der Art (1/m) (m aus IN) außerhalb von U_(i_0), d.h. es gibt nur noch endlich viele Punkte der Menge M, die nicht in U_(i_0) liegen. Da Ü die Menge M überdeckt, existieren (für n:=[1/epsilon], wobei [.] die Gaußklammer sei) n Indizes i_1, ..., i_n aus I so, dass gilt: (1/t) ist Element von I_t (für t=1,...,n). Also finden wir zu Ü endliche viele Indizes i_0; i_1, ...; i_n (also maximal n+1 Indizes), so dass gilt: M ist Teilmenge von U_(i_0) u U(i_1) u ... u (U_(i_n)). Da Ü eine beliebige offene Überdeckung von M war, existiert zu jeder offenen Überdeckung von M eine endliche Teilüberdeckung. Also ist M kompakt in IR. PS: Das kleine u, also z.B. bei A u B, bedeutet: A vereinigt mit B Anstatt z.B. "i Element von I" schreibe ich: i aus I. PPS: Ohne Garantie auf Richtigkeit. Aber ich denke, die Grundidee/der Grundgedanke sollte stimmen! ;-) Achja, eigentlich hättest du auch angeben müssen, mit welcher Topologie IR versehen sein soll. Ich habe einfach mal angenommen, dass es die "von der Betragsmetrik erzeugte Topologie" ist, da ihr vermutlich eh noch keine andere auf IR kennengelernt habt ;-). Viele Grüße, Marcel |
|
anonymous 14:28 Uhr, 28.02.2005 |
|
|
Hi Marcel, vielen Dank für die Antwort und deine Hilfe! Deine Antwort war nicht nur fachlich außerordentlich gut, sondern du hast es auch sehr gut erklärt (auch wenn ich mir wegen der Abstraktheit des Stoffes das Ganze natürlich schon öfter durchlesen musste:) ) und das ist nicht selbstverständlich. Zu deiner Anmerkung noch, wir haben Metrische Räume kennengelernt, aber wenn nichts anderes angegeben war sind wir immer von der natürlichen Metrik ausgegangen, also du hast das intuitiv komplett richtig gemacht;-) P.S. Wie fandest du das Niveau dieser Aufgabe, für einen Erstsemsester, bzw. in welchem Semester bist du und war sie für dich ganz einfach? Liebe Grüße , Tommy |
|
|
|
|
|
Hallo Tommy! > Hi Marcel, > vielen Dank für die Antwort und deine Hilfe! Gern geschehen! > Deine Antwort war nicht nur fachlich außerordentlich gut, sondern du hast es > auch sehr gut erklärt (auch wenn ich mir wegen der Abstraktheit des Stoffes > das Ganze natürlich schon öfter durchlesen musste:) Das ist auch normal, vor allem, wenn man selber nicht auf die Lösung kommt. Aber ich musste das auch mehrmals durchlesen und Kleinigkeiten verbessern, bevor ich das mit einem einigermaßen gutem Gewissen abschicken konnte ;-). > ) und das ist nicht selbstverständlich. Bzgl. deiner Komplimente: Danke! :-) > Zu deiner Anmerkung noch, wir haben Metrische Räume kennengelernt, aber wenn > nichts anderes angegeben war sind wir immer von der natürlichen Metrik > ausgegangen, also du hast das intuitiv komplett richtig gemacht;-) Ja, aber eine Topologie ist ja schon wieder was (ganz) anderes als eine Metrik, und im Prinzip müßte bei der Aufgabe stehen: Wobei IR mit der durch die natürliche Metrik erzeugte Topologie versehen sei. Aber wenn ihr den Begriff des Topologischen Raumes noch nicht kennengelernt habt (und ich glaube, dass ihr das noch nicht habt), dann brauch ich auch nicht davon zu reden; das verwirrt dich vielleicht doch zu sehr ;-). Wenn's dich interessiert, dann kannst du dich ja z.B. mal bei www.wikipedia.de umgucken :-). > P.S. Wie fandest du das Niveau dieser Aufgabe, für einen Erstsemsester, bzw. > in welchem Semester bist du und war sie für dich ganz einfach? Ohje, ich komme jetzt schon ins 8e Semester, und ja, falls meine Lösung stimmt, dann habe ich etwa 10 Minuten gebraucht, um zu dieser Lösung zu kommen. Aber im ersten Semester, da hätte ich bestimmt auch einige Stunden daran gesessen, wenigstens mal eine, denke ich. Aber sie ist machbar und ich finde die Aufgabe nicht unbedingt zu schwer für einen Erstsemester. Aber das ist nur meine persönliche Einschätzung ;-), andere sehen das vielleicht ganz anders... Liebe Grüße, Marcel |
444134
444127