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Kompaktheit der Summe zweier kompakter Mengen

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Sonstiges

Tags: kompaktheit

Mauthagoras aktiv_icon

16:33 Uhr, 11.06.2013

Hallo,

es seien

M, K \subseteq ℝ^{n}

kompakt. Nun möchte ich zeigen, dass auch

M + K

kompakt ist, und zwar explizit nach der ursprünglichen Definition (offene Überdeckung), dem Folgenkriterium (Existenz einer konvergenten Teilfolge) oder mit Heine- Borel (Abgeschlossenheit und Beschränktheit).

Bei der ersten Möglichkeit komme ich auf nichts zufriedenstellendes.

Bei der zweiten Variante ergibt sich folgendes Problem: Sei

{(u_{n})}_{n \in ℕ}

eine Folge in

L + K

. Dann gilt nach Konstruktion für eine gewisse Folge

(l_{n})_{n \in ℕ}

L

bzw. eine gewisse Folge

(k_{n})_{n \in ℕ}

K

, dass

(u_{n})_{n \in ℕ} = (l_{n} + k_{n})_{n \in ℕ}

. Da

M

und

K

bereits kompakt sind, besitzen die beiden soeben gewählten Folgen jeweils eine in

M

bzw.

K

konvergente Teilfolge. Daraus würde man natürlich gerne eine konvergente Teilfolge von

(u_{n})_{n \in ℕ}

basteln, was aber nicht ohne Weiteres geht, da die beiden gewählten Teilfolgen in aller Regel nicht bezüglich der selben Indizes definiert sind.

Bei der dritten Möglichkeit stoße ich auf ein ähnliches Problem, wenn ich Abgeschlossenheit zeigen möchte. Sei

(u_{n})_{n \in ℕ}

einschließlich der Summendarstellung wie oben, diesmal aber konvergent gegen

l \in ℝ^{n}

. Zu zeigen ist

l \in (M + K)

. Dafür würde ich natürlich am liebsten den Limes

lim_{n \to \infty} (l_{n} + k_{n})

auseinanderziehen und die Abgeschlossenheit von

L

und

K

benutzen, aber man kann nicht garantieren, dass beide Grenzwerte existieren.

Also komme ich nicht weiter...

Habt Ihr eine Idee?

Gruß Mauthagoras

Mauthagoras aktiv_icon

18:46 Uhr, 11.06.2013

Ich habe eine Reparatur für die zweite Möglichkeit:

Man wählt tatsächlich eine gegen

l_{1} \in L

konvergente Teilfolge

(l_{n_{j}})_{j \in ℕ}

von

(l_{n})_{n \in ℕ}

, schränkt dann

(k_{n})_{n \in ℕ}

auf

(k_{n_{j}})_{j \in ℕ}

ein und wählt daraus eine gegen

k_{1}

konvergente Teilteilfolge

(k_{n_{j_{p}}})_{p \in ℕ}

. Der Grenzwert von

(l_{n_{j_{p}}})_{p \in ℕ}

ist dann immernoch

l_{1}

, also ist schließlich

(u_{n_{j_{p}}})_{p \in ℕ}

tatsächlich eine gegen

l_{1} + k_{1} \in (L + K)

konvergente Teilfolge von

(u_{n})_{n \in ℕ}

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