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Kompaktheit der diskreten Metrik
Universität / Fachhochschule
Mengentheoretische Topologie
Tags: kompaktheit, Mengentheoretische Topologie, Metrik
 
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Hallo zusammen, haben für eine Aufgabe das meiste schon zusammen, aber an einer Stelle hapert es noch: Zeigen Sie, dass vollständig ist, mit der diskreten Metrik. Zeigen Sie außerdem, dass genau dann kompakt ist, wenn Die Vollständigkeit haben wir schon gezeigt, aber bei der Kompaktheit hapert es gerade noch. Habe beim recherchieren gefunden, dass es wohl mit der Heine-Borelschen Überdeckungseigenschaft gehen soll, aber so richtig klar, wie das funktionieren soll, ist mir leider nicht :-) Vielleicht hilft es ja auch beim Beweis, dass vollständig ist? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Kompakt heißt: jede offene Überdeckung von enthält eine endliche Überdeckung von . Das gilt trivialerweise für jede endliche Menge , also wenn , ist die Lage klar. Wenn aber , nehme als offene Überdeckung einfach die Vereinigung aller Punkte aus , denn jeder Punkt ist ja offen. Diese Überdeckung enthält keine endliche Überdeckung von , denn dann wäre endlich. Also ist nicht kompakt. Fertig. |
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Wie kann ich das denn formal vernünftig aufschreiben? Also, man nehme an, und eine offene Überdeckung von sei Dann keine endliche Unterüberdeckung von X. nicht kompakt, wenn Aussage ist für wahr. Einfach nur so? Bei unseren üblichen Beweisen wirkt das irgendwie so dünn :-) |
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Diese Behauptung ist auch recht trivial, daher muss der Beweis nicht lang sein. Nur die Überdeckung besser so zu schreiben: . |
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Na gut, dann vielen Dank :-) |
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