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Kompl. quadratische Gleichung mit 2 Unbekannten

Universität / Fachhochschule

Tags: Gleichung., Grad, Quadratisch, zwei Unbekannte

IB361 aktiv_icon

11:21 Uhr, 23.03.2023

Guten Tag zusammen.
Hier noch eine hübsche, gemischte quadratische Gleichung:

x^{2} + y^{2} - 15 x \cdot y + 225 = 0

x, y

sind positive, ganze Zahlen.
Und als Einschränkung gilt, dass

x \cdot y

nicht grösser als 667sein soll.

Damit ergeben sich offenbar die folgenden drei Lösungspaare für

x, y :

3, 6

3, 39

6, 87

Meine Frage: Wie sieht der Lösungsweg aus?

Ich kann beispielsweise umformulieren:

{(x + y)}^{2} - 17 x \cdot y + 225 = 0

dann

z . B

a = x + y

setzen und

b = x \cdot y

und erhalte

a^{2} - 17 b + 225 = 0

und daraus einfach

I)

a = \sqrt{17 b - 225}

oder
II)

b = \frac{a^{2} + 225}{17}

Zur Erinnerung:

b

(also

x \cdot y)

ist

< 700

.

Da kann man einen kleinen Algorithums schreiben und erhält rasch die Lösung.
ABER: An diesem Mathe-Wettbewerb durften keine Hilfsmittel wie Taschenrechner/Mobile etc. verwendet werden, das heisst alles von Hand rechnen. Da rechnet man sich für alle Lösungen noch immer ganz schön die Finger wund und den Bleistift stumpf. Also muss es einen besseren Weg geben...

Any Idea? Thx

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

KL700 aktiv_icon

11:42 Uhr, 23.03.2023

Man könnte Lösungen in Abhängigkeit von

x

und

y

formulieren und mit der pq-Formel arbeiten.

x_{1,2} = 7,5 y \pm \sqrt{56,25 y^{2} - y^{2} - 225} = . .

y_{1,2} = 7,5 x \pm \sqrt{56.25 x^{2} - x^{2} - 225} = . .

.

Das wäre meine spontane Idee dazu.
Vlt. hilft sie weiter.

IB361 aktiv_icon

12:00 Uhr, 23.03.2023

Oje, das sieht ja schlimm aus, alles verhackt, ich hoffe, man kann meine Aufgabestellung noch lesen.

Besten Dank für Deine Antwort. Das habe ich als erstes probiert.
Da rechnet man sich noch immer schlapp.
Und da finde ich auch meine Variante mit

x, y

ersetzen durch

a, b

eleganter.
Gleichung von ähnlichem Format, aber mit ganzen Zahlen, irgendwie "sauberer".

HAL9000

13:01 Uhr, 23.03.2023

x, y

müssen beide durch 3 teilbar sein. Sobald es nämlich mindestens eine nicht ist, dann ist auch die Summe

x^{2} + y^{2}

nicht durch 3 teilbar, Widerspruch

Damit haben wir

x = 3 u, y = 3 v

sowie die Gleichung

u^{2} + v^{2} = 15 u v - 25

mit

u v \leq 74

sowie

u^{2} + v^{2} \leq 1085

. Mit o.B.d.A.

u \leq v

bekommen wir damit

u \leq 8

sowie

v \leq 32

. Kommt drauf an, wieviel Zeit man nun hat, die 8 Möglichkeiten durchzuprobieren...

EDIT: Ok, es geht noch etwas weiter: Aus

0 = 4 u^{2} - 60 u v + 4 v^{2} + 100 = {(15 u - 2 v)}^{2} - 221 u^{2} + 100

folgt

{(15 u - 2 v)}^{2} = 221 u^{2} - 100

. (*)

Mit

u \leq v

folgt aber

15 u - 2 v \leq 13 u

. Wir unterscheiden nun noch zwei Fälle:

1.Fall

15 u - 2 v \geq - 13 u

: Hier ist dann

(15 u - 2 v)^{2} \leq 169 u^{2}

, damit folgt laut (*)

221 u^{2} - 100 \leq 169 u^{2}

bzw.

52 u^{2} \leq 100

und somit

u \leq 1

. Für die einzig verbliebene Variante

u = 1

bekommen wir mit (*) rasch die Lösungen

2 v = 15 \pm 11

, also

v = 2

und

v = 13

.

2.Fall

15 u - 2 v < - 13 u

: also

v > 14 u

. Da wir außerdem auch noch Bedingung

v \leq 32

haben, bleibt allenfalls noch

u = 2

zum Testen übrig. Und ja, das ergibt dann mit (*) ein zugehöriges

v = 29

.

Die gefundenen drei

(u, v)

-Paare

(1, 2)

(1, 13)

und

(2, 29)

entsprechen nun deinen drei oben angegebenen

(x, y)

-Paaren.

P.S.: Lässt man die Bedingung

x y \leq 667

bzw. übersetzt

u v \leq 74

fallen, so bekommt man mit

u_{0} = 1, u_{1} = 2

sowie Iteration

u_{n} = 15 u_{n - 1} - u_{n - 2}

unendlich viele Lösungspaare

(u_{n}, u_{n + 1})

von

u^{2} + v^{2} = 15 u v - 25

. Gleiches gilt für dieselbe Iteration mit dem anderen zweiten Startwert

u_{1} = 13

. Das ganze hängt mit der sog. "Pellschen Gleichung" zusammen.

IB361 aktiv_icon

22:25 Uhr, 23.03.2023

Besten Dank, HAL9000, sehr schön, so macht das Freude...
Ich hatte noch gestutzt wegen

x^{2} + y^{2}

muss durch

15

teilbar sein, dann müssen

x

und

y

durch 3 teilbar sein - warum?

Frage 1: Warum müssen

x

und

y

nicht auch durch 5 teilbar sein?
Einfaches Gegenbeispiel,

x = 3

und

x = 4,

sind beide nicht durch 5 teilbar, aber die Summe deren Quadrate schon

9 + 16 = 25

Frage 2: Warum durch

3,

das hat mich etwas länger beschäftigt.
Es könnte doch wohl sein, dass beide nicht durch drei teilbar sind, zusammengezählt dann aber doch, so wie bei der Frage 1 oben mit dem Teiler 5. Ich glaube nicht, dass das so klar auf der Hand liegt, oder?
Dem wollte ich auf alle Fälle noch etwas auf den Grund gehen...
Es gibt 3 Arten von Zahlen:

i)

durch 3 teilbar
ii) Rest 1 bei Teilung durch 3
iii) Rest 2 bei Teilung durch 3

nehmen wir für die obigen 3 Fälle

3 s, 3 s + 1

und

3 s + 2

und quadrieren

i) {(3 s)}^{2} = 9 s^{2}

ist offensichtlich durch 3 teilbar (ergibt

3 s^{2})

.
ii)

{(3 s + 1)}^{2} = 9 s^{2} + 6 s + 1,

die ersten beiden Terme sind wiederum offensichtlich durch 3 teilbar und der letzte ergibt einen Rest von 1.
iii)

{(3 s + 2)}^{2} = 9 s^{2} + 12 s + 4,

die ersten beiden Terme wiederum offensichtlich durch 3 teilbar und der letzte, nun

4,

ergibt auch einen Rest von 1.

Das bedeutet, dass jede Quadratzahl, die man durch 3 teilt, entweder einen Rest 0 oder einen Rest 1 ergibt (niemals einen Rest

2)

. Vorausgesetzt also, dass die Summe zweier Quadratzahlen durch 3 teilbar sein muss, bedingt, dass beide durch 3 teilbar sein müssen.

Nochmals besten Dank für diese schöne Lösung.

HAL9000

07:53 Uhr, 24.03.2023

Zu Frage 2: Das hast du richtig begründet. Mit Modulo-Rechnung ist die Begründung natürlich erheblich kürzer.

Aus

x^{2} + y^{2} = 3 \cdot (5 x y - 75)

folgt, dass die linke Seite durch 3 teilbar sein muss.

Nun gibt es modulo 3 aber nur die quadratischen Reste

0^{2} = 0

und

{(\pm 1)}^{2} = 1

. Unter den Summen-Kombinationen 0+0, 0+1 und 1+1 erfüllt aber nur die erste die Bedingung

\equiv 0 mod 3

, und diese Kombination bedeutet ja die Teilbarkeit beider Zahlen

x, y

durch 3.

Bei modulo 5 klappt das nicht, denn dort gilt unter den Summen-Kombinationen der Reste

0^{2} = 0

{(\pm 1)}^{2} = 1

und

{(\pm 2)}^{2} = 4

0 + 0 \equiv 1 + 4 \equiv 0 mod 5

.

-----------------------------------------------------------------------------------

Als Abrundung betrachte ich mal noch die Diophantische Gleichung

u^{2} + v^{2} - 15 u v = - 25

OHNE die einschränkenden Nebenbedingungen, d.h. für ALLE ganzzahligen

u, v

:

1) Klar ist, dass es keine Lösungen mit unterschiedlichen Vorzeichen bei

u, v

geben kann, und auch keine mit

u = 0

oder

v = 0

: Denn in diesem Fall ist

u^{2} + v^{2} - 15 u v \geq 0 > - 25

.

2) Mit

(u, v)

ist auch

(- u, - v)

Lösung, wir können uns daher auf

u > 0, v > 0

konzentrieren.

3) Der Symmetrie wegen ist mit

(u, v)

auch

(v, u)

Lösung, daher können wir im folgenden o.B.d.A.

0 < u \leq v

annehmen.

4) Im Fall

v \leq 14 u

gilt

221 u^{2} - 100 = {(15 u - 2 v)}^{2} \leq {(13 u)}^{2}

, also

52 u^{2} \leq 100

, und damit

u \leq 1

. Für dieses

u = 1

führt die entstehende Gleichung

121 = {(15 - 2 v)}^{2}

zu den beiden Lösungen

v = 2

und

v = 13

.

5) Aus 4) folgt, dass für alle anderen Lösungen zwingend

v > 14 u

sowie

u \geq 2

gilt. Andererseits ist

v \geq 15 u

auch nicht möglich, denn dann wäre

u^{2} + v^{2} - 15 u v \geq u^{2} > - 25

. Im Fall

u \geq 2

gilt daher stets

14 u < v < 15 u

.

6) Ist

(u, v)

eine Lösung der Diophantischen Gleichung, dann auch

(u^{ʹ}, v^{ʹ}) := (15 u - v, u)

, das folgt direkt aus

{(15 u - v)}^{2} + u^{2} - 15 (15 u - v) u = - v (15 u - v) + u^{2} = u^{2} + v^{2} - 15 u v

.

Wir merken an, dass in 5) - d.h. unter den Bedingungen

2 \leq u \leq v

- dann auch

0 < 15 u - v < u

gilt, d.h. jedes solche Paar

(u, v)

kann nur aus einem "kleinerem" Paar

(u^{ʹ}, v^{ʹ})

durch die Operation

u = v^{ʹ}, v = 15 v^{ʹ} - u^{ʹ}

entstanden sein ("kleiner" im Sinn

0 < u^{ʹ} < u

) - andere Möglichkeiten gibt es nicht.

Diese Kette

(u, v) \to (u^{ʹ}, v^{ʹ}) \to \dots

muss unweigerlich nach endlich vielen Schritten bei einem Paar

(1, v)

enden, und von denen es gibt es (siehe 4) nur die beiden

(1, 2)

und

(1, 13)

. Daher sind die beiden Lösungsfolgen aus meinem P.S. des Beitrags 23.03.2023, 13:01 die einzigen positiven Lösungspaare mit

0 < u \leq v

. Zusammen mit der "Vervierfachung" per 2)3) hat man dann wirklich alle ganzzahligen Lösungspaare.

(1,2) , (2,29), (29,433), (433,6466), (6466,96557), (96557,1441889), (1441889,21531778), ...
(1,13), (13,194), (194,2897), (2897,43261), (43261,646018), (646018,9647009), (9647009,144059117), ...

IB361 aktiv_icon

15:10 Uhr, 24.03.2023

Ein Bonustrack - besten Dank, appreciated.
Das schaue ich mir gerne in Ruhe an und melde mich ggfalls wieder.
Schon bald ein gutes Wochenende, liebe Grüsse
PS: Emojis mag er nicht, der Text bricht nach dem ersten einfach ab...

IB361 aktiv_icon

16:38 Uhr, 26.03.2023

Lieber HAL9000
Danke nochmals, sehr schön.
Vorab: Ich liebe das Lösen von diophantischen Gleichungen, habe mich bisher immer nur mit linearen probiert, wie

z . B

13 x + 19 y = 671

mit den Lösungen

x = 56 - 19 a

und

y = 13 a - 3

für beliebige

a,

natürlich sehr viel einfacher.

1) - 4)

verstehe ich sehr gut

5)

auch, sehr schön mit der Einschränkung

14 u < v < 15 u

6)

Da wird es interessant: Sehr schön, denn damit bestimmst Du die «Logik der Lösungskette». Ich kann gut nachvollziehen, dass das korrekt ist. Wenn ich aber alleine darauf kommen müsste

\to

keine Chance.

Da gerne meine erste Frage:
Wie bist Du darauf gekommen, dass wenn

(u, v)

Lösungspaar

\to (15 u - v, u)

auch Lösungspaar?
Hat das mit besserer Kenntnis der Pellschen Gleichungen zu tun?

Das weitere ist wiederum klar, diese beiden «Lösungsstränge» und auch sehr hübsch, dass die Folge bei

(1, v)

enden muss (oder starten. In unserem Fall macht es Sinn, das «umzudrehen», da wir die beiden (1,v)-Lösungen kennen und damit die Folge hochgenerieren können).
Damit ist klar, dass es keine anderen Lösungen geben kann, sprich alle möglichen Lösungen abgedeckt sind…

Die Pell’sche Gleichung dünkt mich einfacher:

x^{2} - n y^{2} = 1

Weil wir da keine gemischten Glieder xy haben?!
Ich bin schon öfters auf Archimedes gestossen (hier im Zusammenhang mit der Pell’schen Gleichung und seinem Rinderproblem), habe das Buch über seine Manuskripte gelesen, muss ein Genie von unvorstellbarem Format gewesen sein und das vor so langer Zeit.

HAL9000

16:56 Uhr, 26.03.2023

> Hat das mit besserer Kenntnis der Pellschen Gleichungen zu tun?

Ja, denn via

w := 15 u - 2 v

liegt hier dann mit

w^{2} - 221 u^{2} = - 100

eine solche Pellsche Gleichung vor.

Zudem hat mich dieser "Übergang"

(u, v) \to (15 u - v, u)

an die Beweistechnik

de.wikipedia.org/wiki/Vieta_jumping

erinnert, da scheint ebenfalls eine gewisse Verwandtschaft zu bestehen. ;-)

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