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angewandte lineare Algebra

Vektorräume

Tags: Komplement, Vektorraum

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14:48 Uhr, 26.01.2019

Seien

U = 〈 (- 4, 2, 1) 〉 \subseteq ℚ^{3}

und

V = {(x, y, z) \in ℚ^{3} ∣ x + y + z = 0} \subseteq ℚ^{3}

1. Wie erkennt man am schnellsten, dass

V

und

U

komplementär zueinander sind?

2. Geben Sie eine Basis

B

für

V

an. Wie erkennt man an

{(- 4, 2, 1)}

und

B

, dass

U

und

V

komplementär zueinander sind?

Lösungsansatz:
Also falls

V

und

U

komplementär zueinander sind, dann muss gelten, dass

V \neq U

und

U \cup V

die Grundmenge ist und

U \cap V = {}

Aber weiter komme ich leider nicht momentan. Für Ansätze und denk Hilfen wäre ich sehr dankbar

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

16:08 Uhr, 26.01.2019

Hallo,

> Lösungsansatz:
> Also falls V und U komplementär zueinander sind, dann muss gelten, dass V≠U und U∪V die Grundmenge ist
> und U∩V={}

Magst du das nicht lieber noch einmal nachschauen?
Vgl. de.wikipedia.org/wiki/Komplement%C3%A4rraum#Definition

Mfg Michael

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16:25 Uhr, 26.01.2019

Also gilt:

U \cap V = {0}

U + V = {u + v ∣ u \in U, v \in V} = ℚ^{3}

dim

(ℚ^{3})

= dim

(V)

+ dim

(U)

Weiter ?

michaL aktiv_icon

17:15 Uhr, 26.01.2019

Hallo,

besser.
Wegen der Dimension und der Tatsache, dass

U + V = Q^{3}

gelten muss, solltest du dich fragen, wie es passieren könnte, dass die beiden Unterräume NICHT komplementär sein könnten.
?

Mfg Michael

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13:23 Uhr, 27.01.2019

Danke Michael für deine Antwort.

So wie ich das Komplement verstehe bedeute es:
Gegeben ist eine Grundmenge

G = {1, . . ., 10}

und eine Teilmenge

F = {2, 4, 6, 8, 10}

Das Komplement von

F

wäre ja dann die Menge

h = {1, 3, 5, 7, 9}

. Also die Grundmenge ohne die Elemente von

F

.

Dimension von U ist ja 1 und die Dimension von

Q^{3}

ist ja drei also muss ich noch die Dimension von V herausfinden.

x + y + z = 0

\Rightarrow

x = - y - z

(-y-z,y,z)

Ich würde mal eine Matrix erstellen und prüfen was ich da so rausbekomme. Aber müsste nicht einfach reichen, dass ein Element von den anderen beiden abhängig ist zu schließen, dass die dimenaion 2 ist

Gruß
Bianca

michaL aktiv_icon

17:19 Uhr, 27.01.2019

Hallo,

das Vektorraumkomplement ist vom mengentheoretischen Komplement verschieden (falls du das mit

G

und

F

und

h

meintest).

Solange dir das im Kopf herum spukt, wird es schwierig, an den mathematischen Kern heranzukommen.

Mfg Michael

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11:38 Uhr, 28.01.2019

Also noch mal von neuem.

Gegeben sind:

U = 〈 (- 4, 2, 1) 〉

Die Lineare Hülle ist wie folgt definiert:

〈 A 〉 = {\sum_{i = 1}^{n} λ_{i} a_{i} ∣ λ_{i} \in K, a_{i} \in A, n \in ℕ}

Daraus folgt:

U = 〈 (- 4, 2, 1) 〉 = {λ \cdot (- 4, 2, 1) ∣ λ \in ℚ}

Und

V = {(x, y, z) \in ℚ^{3} ∣ x + y + z = 0} \subseteq ℚ^{3}

Um zu eigen, dass Sie Komplementär sind muss ich zeigen, dass
1.

\forall x \in U, \forall y \in V : x + y \in ℚ^{3}

und
2.

U \cap V = {0}

Bei zwei würde ich sagen:

- 4 λ + 2 λ + λ = 0

λ (- 4 + 2 + 1) = 0 \Rightarrow λ (1) = 0 \Rightarrow λ = 0

Der Vektor ist nur Null, wenn

λ

gleich Null ist. Damit besteht der Schnitt nur aus dem Nullvektor.

Bin ich auf dem richiten Weg?

Ich glaube für die 2. Aufgabe brauche ich ja die Direkte Summe aber auch durch das Skript aus meiner Vorlesung und recherchen im Internt vertehe ich noch nicht was die Direkte Summe sein soll. Wie soll man sich die Direkte Summe vorstellen?

und danke Michael

ledum aktiv_icon

11:49 Uhr, 28.01.2019

Hallo
richtig. dass der Schnitt nur 0 enthält ist richtig,

x + y + z = 0

kann man mit

(0,1, - 1)

und

(1,0, - 1)

herstellen, welche dim hat es dann?
Gruß lul

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12:31 Uhr, 28.01.2019

Hallo lul,

(0, 1, - 1), (1, 0, - 1

ist die Basis von V und damit ist auch die Dimension 2 oder ?
Wie ist sonst der genaue Zusammenhang zwischen Basis und Dimension. Ich weiß nur, dass dim

(ℝ^{3})

= 3 und die Basis von

ℝ^{3}

ist

{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}

Um bei dem 2. Aufgabenteil muss ich nur zeigen, dass die basis und (-4,2,1) linear unabhängig voneinander sind und damit sind Sie auch komplementär, da dadurch der Schnitt nur den Nullvetor enthält oder ?

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